$8x^4y^3z^2 - 6x^5y^2$各项的公因式是，分解因式的结果是。

公因式为$2x^4y^2$，分解因式的结果是$2x^4y^2(4yz^2-3x)$

【分析】
解决这道题需要分两步思考：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步用提公因式法分解因式。找公因式的通用思路是：①先看系数，取各项系数绝对值的最大公约数；②再看字母，找两项都包含的相同字母，只在单一项里出现的字母不纳入公因式；③最后看次数，相同字母取次数最低的幂。确定公因式后，用多项式的每一项分别除以公因式，把得到的商作为括号内的项，公因式写在括号外，就能得到分解因式的结果。
【解析】
1. 确定公因式：
系数部分：两项系数8和-6的绝对值的最大公约数是2；
字母部分：两项都含有的字母是x、y，z仅在第一项出现，不属于公共字母；
次数部分：x的最低次数是4，y的最低次数是2；
综上，公因式为$2x^4y^2$。
2. 提公因式分解因式：
用每一项除以公因式，得到剩余项：
$8x^4y^3z^2 ÷ 2x^4y^2 = 4yz^2$，$-6x^5y^2 ÷ 2x^4y^2 = -3x$
因此分解因式的结果为$2x^4y^2(4yz^2 - 3x)$。
【答案】
公因式为$2x^4y^2$，分解因式的结果是$2x^4y^2(4yz^2-3x)$
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题关键是熟练掌握公因式的确定规则，提取公因式后要注意核对剩余项的符号、次数，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8

1. 下列各组式子中，没有公因式的一组是（）.

A.$2xy$与$x$
B.$(a-b)^2$与$a-b$
C.$c-d$与$2(d-c)$
D.$x-y$与$x+y$

D

【分析】
解决本题首先要明确公因式的定义：两个或多个整式共同含有的因式，叫做它们的公因式。解题时逐一分析每个选项的两个式子，判断是否存在公共因式即可，遇到形式互为相反数的式子，可以先提取负号变形后再判断，避免漏看公因式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$2xy=2y· x$，$x=1· x$，两个式子都含有因式$x$，因此公因式为$x$，不符合题意；
B选项：$(a-b)^2=(a-b)·(a-b)$，和$a-b$都含有因式$a-b$，因此公因式为$a-b$，不符合题意；
C选项：先对$2(d-c)$变形，可得$2(d-c)=-2(c-d)$，和$c-d$都含有因式$c-d$（或$d-c$），因此有公因式，不符合题意；
D选项：$x-y$和$x+y$没有共同的因式，不存在公因式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.公因式的概念
2.代数式恒等变形
【点评】
本题是公因式判定的基础题，解题核心是熟练掌握公因式的定义，遇到符号相反的多项式时要先变形再判断，不要忽略符号带来的公因式。
【难度系数】
0.8

2. 把$2xy+4x^2y-2xy^2$提取公因式后，另一个因式是（）.

A.$2+4x-2y$
B.$1-2x+y$
C.$1+2x-y$
D.$2x-y$

C

【分析】
要解决这道提取公因式的题目，首先要明确提公因式法的核心步骤：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步用多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果就是提取公因式后剩下的另一个因式。确定公因式时要分两步：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式，计算时要注意不要漏掉首项提取公因式后剩下的1，也要注意各项的符号。
【解析】
步骤1：确定公因式
观察多项式$2xy+4x^2y-2xy^2$的各项：
① 系数部分：2、4、-2的最大公约数是2；
② 字母部分：各项都含有字母x和y，x的最低次数是1，y的最低次数是1，因此相同字母部分为$xy$；
综上，该多项式的公因式为$2xy$。
步骤2：提取公因式，计算剩余因式
将多项式的每一项都除以公因式$2xy$：
$2xy÷2xy=1$，$4x^2y÷2xy=2x$，$-2xy^2÷2xy=-y$
因此原式可分解为：$2xy+4x^2y-2xy^2=2xy(1+2x-y)$
所以提取公因式后，另一个因式是$1+2x-y$。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础考查题，解题的关键是准确找出公因式，提取公因式时需注意：首项提取公因式后剩下的1不能省略，各项的符号要和原式保持一致，避免因漏项或符号错误失分。
【难度系数】
0.7

3. 将多项式$a^n - a^{3n} + a^{n+2}$分解因式的结果是（）.

A.$a^n(1 - a^3 + a^2)$
B.$a^n(1 - a^{2n} + a^2)$
C.$a^n(-a^{2n} + a^2)$
D.$a^n(1 - a^3 + a^n)$

B

【分析】
这道题考查提公因式法分解因式，解题思路分两步：第一步先确定多项式各项的公因式，观察多项式的三项都含有a的幂次，最低次幂是$a^n$，因此公因式为$a^n$；第二步提取公因式，将每一项都除以公因式，按照同底数幂相除、底数不变指数相减的规则计算每一项剩余的部分，最后合并得到分解结果，再对应选项选出答案即可。
【解析】
首先确定多项式$a^n - a^{3n} + a^{n+2}$的公因式为$a^n$，接下来提取公因式：
$\begin{aligned}a^n - a^{3n} + a^{n+2}&=a^n · 1 - a^n · a^{2n} + a^n · a^2 \\&=a^n(1 - a^{2n} + a^2)\end{aligned}$
对比选项，结果与B选项一致。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，同底数幂的运算
【点评】
本题属于基础题，核心是正确确定公因式，提取公因式时要注意同底数幂的指数运算规则，避免出现指数计算错误，比如将$a^{3n}÷ a^n$误算为$a^3$是常见的失分点。
【难度系数】
0.8

4. 把多项式$m^2(a-2)-m(a-2)$分解因式，结果正确的是（）.

A.$(a-2)(m^2 - m)$
B.$m(a-2)(m+1)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(2-a)(m+1)$

C

【分析】
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式，先观察两项都含有的公共因式，既含整式$(a-2)$，又含字母$m$，公因式取相同因式的最低次幂，因此公因式为$m(a-2)$；第二步提取公因式，计算剩余的因式；第三步检查分解是否彻底，同时核对符号是否正确，最后匹配选项即可。
【解析】
首先观察多项式$m^2(a-2)-m(a-2)$的两项：
1. 确定公因式：两项都含有因式$m$和$(a-2)$，且最低次幂都是1次，因此公因式为$m(a-2)$。
2. 提取公因式：将公因式提出后，第一项剩余$m$，第二项剩余$-1$，因此原式可变形为：
$m^2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1)$
3. 核对选项：
A选项中$(m^2 - m)$还能继续提取公因式$m$，分解不彻底，错误；
B选项剩余因式为$m+1$，与计算结果不符，错误；
C选项与计算结果一致，正确；
D选项将$(a-2)$改写为$(2-a)$时符号出错，且剩余因式错误，排除。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，提取公因式时要注意剩余项的符号和项数，避免出现漏项、符号错误或者分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.8

5. 已知$a - b = 2$，$ab = -3$，则$2a^2b - 2ab^2$的值是。

-12

【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现代数式的两项含有公因式2ab，因此先利用提公因式法对所求代数式进行因式分解，分解后可整理为含已知条件$a-b$和$ab$的形式，再将已知的$a-b=2$、$ab=-3$整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解$a$、$b$的数值，能简化运算过程。
【解析】
先对所求代数式提取公因式分解因式：
$2a^2b - 2ab^2 = 2ab(a - b)$
将$a - b = 2$，$ab = -3$代入上式可得：
原式$= 2×(-3)×2 = -12$
【答案】
$-12$
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入的思路求解，比单独求解未知数的值更简便，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8

6. $2^{2024} + (-2)^{2025}$ 的计算结果是。

$-2^{2024}$

【分析】
解题时先根据乘方的符号性质化简含负数的幂项，观察发现化简后的两项存在公因式$2^{2024}$，再通过提取公因式即可简化计算得到结果。具体思考步骤：第一步，先判断$(-2)^{2025}$的符号，2025是奇数，所以负数的奇次幂为负，且可拆成$(-2)^{2024}×(-2)$，而$(-2)^{2024}$是偶次幂，等于$2^{2024}$；第二步，将原式转化为同底数幂相加的形式，提取公因式后计算剩余部分即可。
【解析】
首先根据乘方的符号性质化简：
因为2025是奇数，2024是偶数，所以
$(-2)^{2025}=(-2)^{2024}×(-2)=2^{2024}×(-2)$
代入原式得：
$2^{2024} + (-2)^{2025}$
$=2^{2024} + 2^{2024}×(-2)$
提取公因式$2^{2024}$：
$=2^{2024}×(1 - 2)$
$=2^{2024}×(-1)$
$=-2^{2024}$
【答案】
$-2^{2024}$
【知识点】
乘方的符号规律、提公因式法、有理数混合运算
【点评】
本题考查幂的相关性质与因式分解的结合应用，解题核心是先统一幂的底数形式，再通过提取公因式简化高次幂的运算，熟练掌握幂的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 分解因式：$2(x-y)-(y-x)^2=$.

$(x-y)(2-x+y)$

【分析】
本题可通过提公因式法分解因式，解题思路如下：首先观察式子的两项，发现含有$(x-y)$和$(y-x)$两种相关因式，根据偶次幂的性质可知$(y-x)^2=(x-y)^2$，先将两项的因式统一为$(x-y)$，进而确定公因式为$(x-y)$，提取公因式后对剩余的项进行化简整理即可得到结果。
【解析】
首先利用平方的非负性变形：
$\because (y-x)^2=(x-y)^2$
$\therefore$ 原式$=2(x-y)-(x-y)^2$
提取公因式$(x-y)$，可得：
$=(x-y)[2-(x-y)]$
对括号内的式子去括号化简：
$=(x-y)(2-x+y)$
【答案】
$(x-y)(2-x+y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；偶次幂的符号性质
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题的关键是准确识别出隐含的公因式，易错点在于对$(y-x)^2$变形时符号处理错误，以及提取公因式后去括号时出现符号偏差，计算时要注意核对每一步的符号是否正确。
【难度系数】
0.7

8. 若$ a $是实数，则整式$ a^2(a^2 - 2) - 2a^2 + 4 $的值（）.

A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.不等于0

A

【分析】
要判断该整式的取值范围，需先对整式进行化简，优先采用因式分解的方法简化式子。首先观察整式结构，可先将后两项提取公因式-2，得到与前半部分相同的因式$a^2-2$，再提取公因式将原式转化为完全平方的形式，最后根据平方的非负性即可判断整式的取值。
【解析】
对原式进行因式分解化简：
$\begin{aligned}a^2(a^2 - 2) - 2a^2 + 4&=a^2(a^2 - 2) - 2(a^2 - 2)\\&=(a^2 - 2)(a^2 - 2)\\&=(a^2 - 2)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方均为非负数，所以$(a^2 - 2)^2≥0$，即整式的值不是负数。
当$a^2=2$时，整式的值为0，因此选项B、C、D均不符合，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方式，平方的非负性
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题的关键是观察式子结构，通过两次提取公因式将原式化简为平方的形式，再结合平方的非负性判断取值，解题时需注意不要忽略整式的值可取0的情况，避免误选恒为正数的选项。
【难度系数】
0.7

9. 分解因式：$x^2 - 2x + (x - 2) =$ .

$(x+1)(x-2)$

【分析】
拿到这道分解因式的题目，首先观察式子结构：式子前两项$x^2-2x$含有公因式$x$，先对前两项提取公因式$x$，可得到$x(x-2)$，此时整个式子转化为$x(x-2)+(x-2)$，会发现两项含有公共的多项式因式$(x-2)$，再将$(x-2)$作为整体提取即可完成分解，注意提取公因式后单独的$(x-2)$项剩下的系数是1，不要遗漏。
【解析】
解：
$\begin{aligned}x^2 - 2x + (x - 2)&=(x^2 - 2x)+(x - 2)\\&=x(x - 2)+1·(x - 2)\\&=(x - 2)(x + 1)\end{aligned}$
【答案】
$(x+1)(x-2)$
【知识点】
提公因式法，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的灵活应用，解题时需先观察式子特征，通过分组构造公共因式，提取公因式时注意不要漏写常数项1。
【难度系数】
0.8