登录
7. $3a^2 -6ab +a$ 提出公因式a后，另一个因式是
$3a-6b+1$
。答案
7. $3a-6b+1$
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式法的本质是逆用乘法分配律，要将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式。题目已经给出公因式为a，我们只需将原多项式的每一项分别除以公因式a，把所得的商相加即可得到另一个因式，注意不要漏写原多项式最后一项除以a得到的1。
【解析】
对多项式$3a^2 -6ab +a$提取公因式$a$时，将每一项分别除以$a$：
第一项：$3a^2 ÷ a = 3a$
第二项：$-6ab ÷ a = -6b$
第三项：$a ÷ a = 1$
将上述结果相加，即可得到提取公因式$a$后的另一个因式。
【答案】
$3a-6b+1$
【知识点】
提公因式法分解因式，单项式除以单项式
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，重点考察提取公因式后剩余项的计算能力，易错点是容易遗漏原多项式最后一项提取公因式后剩余的1，解题时需逐项计算，避免漏项。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式法的本质是逆用乘法分配律，要将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式。题目已经给出公因式为a，我们只需将原多项式的每一项分别除以公因式a，把所得的商相加即可得到另一个因式，注意不要漏写原多项式最后一项除以a得到的1。
【解析】
对多项式$3a^2 -6ab +a$提取公因式$a$时，将每一项分别除以$a$：
第一项：$3a^2 ÷ a = 3a$
第二项：$-6ab ÷ a = -6b$
第三项：$a ÷ a = 1$
将上述结果相加，即可得到提取公因式$a$后的另一个因式。
【答案】
$3a-6b+1$
【知识点】
提公因式法分解因式，单项式除以单项式
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，重点考察提取公因式后剩余项的计算能力，易错点是容易遗漏原多项式最后一项提取公因式后剩余的1，解题时需逐项计算，避免漏项。
【难度系数】
0.8
8. 分解因式：$ab - b^2 + bc =$
$b(a-b+c)$
.答案
8. $b(a-b+c)$
解析
【分析】要对给定多项式进行因式分解，首先观察多项式各项的特征，判断适用提公因式法解题。第一步先确定公因式：先看各项系数，本题各项系数的最大公约数是1；再找公共字母，三项都含有字母b，且b的最低次数为1，因此确定公因式是b。第二步提取公因式，将原多项式每一项分别除以公因式b，把得到的商作为括号内的项，最后检查括号内的多项式是否还有公因式，保证分解彻底即可。
【解析】首先确定多项式$ab - b^2 + bc$各项的公因式为$b$，
提取公因式$b$：
$\begin{aligned}ab - b^2 + bc&=b· a - b· b + b· c\\&=b(a - b + c)\end{aligned}$
检查可知括号内的$a - b + c$没有公因式，分解完成。
【答案】$b(a - b + c)$
【知识点】提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式时要注意不要漏项、不要弄错各项符号，分解完成后需确认结果分解彻底。
【难度系数】0.9
【解析】首先确定多项式$ab - b^2 + bc$各项的公因式为$b$，
提取公因式$b$：
$\begin{aligned}ab - b^2 + bc&=b· a - b· b + b· c\\&=b(a - b + c)\end{aligned}$
检查可知括号内的$a - b + c$没有公因式，分解完成。
【答案】$b(a - b + c)$
【知识点】提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式时要注意不要漏项、不要弄错各项符号，分解完成后需确认结果分解彻底。
【难度系数】0.9
9. 把多项式$x^2+ax+b$分解因式，得$(x+1)(x-3)$，则$a$，$b$的值分别为（
A.2，3
B.$-2$，$-3$
C.$-2$，3
D.2，$-3$
B
）。A.2，3
B.$-2$，$-3$
C.$-2$，3
D.2，$-3$
答案
9. B
解析
【分析】
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题思路如下：首先明确因式分解后的式子与原多项式是恒等关系，因此我们可以先将因式分解的结果用多项式乘多项式的法则展开，再将展开后的式子与原多项式的同类项系数做对比，即可求出a、b的值。
【解析】
因为多项式$x^2+ax+b$分解因式得$(x+1)(x-3)$，所以两个式子恒等，即：
$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)$
先计算等号右侧的乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(x+1)(x-3)=x· x + x· (-3) + 1· x + 1× (-3)=x^2 -3x +x -3$
合并同类项得：$(x+1)(x-3)=x^2 -2x -3$
所以$x^2+ax+b=x^2 -2x -3$，对比等式两边同类项的系数可得：
一次项系数$a=-2$，常数项$b=-3$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系求解，只要熟练掌握多项式乘法的计算方法，正确展开乘积式后对比系数即可快速得出答案，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.85
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题思路如下：首先明确因式分解后的式子与原多项式是恒等关系，因此我们可以先将因式分解的结果用多项式乘多项式的法则展开，再将展开后的式子与原多项式的同类项系数做对比，即可求出a、b的值。
【解析】
因为多项式$x^2+ax+b$分解因式得$(x+1)(x-3)$，所以两个式子恒等，即：
$x^2+ax+b=(x+1)(x-3)$
先计算等号右侧的乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(x+1)(x-3)=x· x + x· (-3) + 1· x + 1× (-3)=x^2 -3x +x -3$
合并同类项得：$(x+1)(x-3)=x^2 -2x -3$
所以$x^2+ax+b=x^2 -2x -3$，对比等式两边同类项的系数可得：
一次项系数$a=-2$，常数项$b=-3$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系求解，只要熟练掌握多项式乘法的计算方法，正确展开乘积式后对比系数即可快速得出答案，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.85
10. 利用因式分解计算：$2025^2 + 2025 - 2025 × 2026$
答案
10. 解：$2025^2 + 2025 - 2025 × 2026$
$=2025×(2025+1-2026)$
$=2025×0=0.$
$=2025×(2025+1-2026)$
$=2025×0=0.$
解析
【分析】
观察算式可发现每一项都含有公因式2025，因此可以使用提公因式法简化计算，避免直接计算大数平方带来的繁琐运算。解题思路为：第一步先确定公因式是2025，第二步提取公因式，将原式变形为2025乘剩余各项的代数和的形式，第三步计算括号内的加减运算，最后计算乘法得出结果。
【解析】
解：$2025^2 + 2025 - 2025 × 2026$
$=2025×2025 + 2025×1 - 2025×2026$
$=2025×(2025 + 1 - 2026)$
$=2025×0$
$=0$
【答案】
$0$
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的基础应用，解题关键是准确识别出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的大数运算转化为简单的四则运算，有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.9
观察算式可发现每一项都含有公因式2025，因此可以使用提公因式法简化计算，避免直接计算大数平方带来的繁琐运算。解题思路为：第一步先确定公因式是2025，第二步提取公因式，将原式变形为2025乘剩余各项的代数和的形式，第三步计算括号内的加减运算，最后计算乘法得出结果。
【解析】
解：$2025^2 + 2025 - 2025 × 2026$
$=2025×2025 + 2025×1 - 2025×2026$
$=2025×(2025 + 1 - 2026)$
$=2025×0$
$=0$
【答案】
$0$
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的基础应用，解题关键是准确识别出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的大数运算转化为简单的四则运算，有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.9
11. 证明：$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$ 能被7整除.
答案
11. 证明：$3^{200} -4×3^{199}+10×3^{198}$
$=3^{198}×3^2 -4×3^{198}×3 +10×3^{198}$
$=3^{198}×(3^2 -12 +10)=7×3^{198}.$
因为$7×3^{198}$是7的整数倍，
所以$3^{200}-4×3^{199}+10×3^{198}$能被7整除.
$=3^{198}×3^2 -4×3^{198}×3 +10×3^{198}$
$=3^{198}×(3^2 -12 +10)=7×3^{198}.$
因为$7×3^{198}$是7的整数倍，
所以$3^{200}-4×3^{199}+10×3^{198}$能被7整除.
解析
【分析】
要证明一个整式能被7整除，只需将该整式变形为7与某个整数乘积的形式即可。观察原式各项均含有3的幂，其中最低次幂为$3^{198}$，因此可以先提取公因式$3^{198}$，再计算括号内的运算结果，判断结果是否含有因数7即可完成证明。
【解析】
证明：
$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$
$=3^{198}×3^2 -4×3^{198}×3 +10×3^{198}$
$=3^{198}×(9 - 12 + 10)$
$=7×3^{198}$
因为$3^{198}$是正整数，所以$7×3^{198}$是7的整数倍，因此原式能被7整除。
【答案】
$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$能被7整除。
【知识点】
提公因式法分解因式，整除的判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用，核心是通过提取公因式简化原式，将原式转化为含目标因数的乘积形式即可快速判断整除性，解题时要注意准确识别各项的公因式。
【难度系数】
0.8
要证明一个整式能被7整除，只需将该整式变形为7与某个整数乘积的形式即可。观察原式各项均含有3的幂，其中最低次幂为$3^{198}$，因此可以先提取公因式$3^{198}$，再计算括号内的运算结果，判断结果是否含有因数7即可完成证明。
【解析】
证明：
$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$
$=3^{198}×3^2 -4×3^{198}×3 +10×3^{198}$
$=3^{198}×(9 - 12 + 10)$
$=7×3^{198}$
因为$3^{198}$是正整数，所以$7×3^{198}$是7的整数倍，因此原式能被7整除。
【答案】
$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$能被7整除。
【知识点】
提公因式法分解因式，整除的判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用，核心是通过提取公因式简化原式，将原式转化为含目标因数的乘积形式即可快速判断整除性，解题时要注意准确识别各项的公因式。
【难度系数】
0.8
12. 先仔细阅读下面例题，再解答问题.
例题：已知将二次三项式$x^2 - 4x + m$分解因式后，有一个因式是$x + 3$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$x + n$，则$x^2 - 4x + m = (x + 3)(x + n)$，
即$x^2 - 4x + m = x^2 + (n + 3)x + 3n$.
所以$\begin{cases} n + 3 = -4, \\ 3n = m, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -21, \\ n = -7. \end{cases}$
故另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$.
仿照上面的方法解答下面的问题：
已知将二次三项式$2x^2 + 3x - k$分解因式后，有一个因式是$2x - 5$，求另一个因式以及$k$的值.
例题：已知将二次三项式$x^2 - 4x + m$分解因式后，有一个因式是$x + 3$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$x + n$，则$x^2 - 4x + m = (x + 3)(x + n)$，
即$x^2 - 4x + m = x^2 + (n + 3)x + 3n$.
所以$\begin{cases} n + 3 = -4, \\ 3n = m, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -21, \\ n = -7. \end{cases}$
故另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$.
仿照上面的方法解答下面的问题：
已知将二次三项式$2x^2 + 3x - k$分解因式后，有一个因式是$2x - 5$，求另一个因式以及$k$的值.
答案
12. 解：设另一个因式为$x + a$，则$2x^2 + 3x -k=(2x-5)(x+a)$，
即$2x^2 + 3x -k=2x^2 +(2a-5)x -5a.$
所以$\begin{cases}2a-5=3,\\-5a=-k,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=4,\\k=20.\end{cases}$
故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20.
即$2x^2 + 3x -k=2x^2 +(2a-5)x -5a.$
所以$\begin{cases}2a-5=3,\\-5a=-k,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=4,\\k=20.\end{cases}$
故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20.
解析
【分析】
本题属于方法模仿类的因式分解题型，可按照例题的思路求解：第一步先确定未知因式的形式：原二次三项式的二次项系数为2，已知因式$(2x-5)$的一次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数为1，可设为$x+a$；第二步根据因式分解与整式乘法是互逆运算，可得原二次三项式等于两个因式的乘积，将右边的乘积展开整理为多项式形式；第三步根据两个多项式相等时，同类项的系数对应相等，列出关于$a$和$k$的二元一次方程组；第四步解方程组得到$a$和$k$的取值，即可得到另一个因式和$k$的值。
【解析】
解：设另一个因式为$x + a$，则$2x^2 + 3x -k=(2x-5)(x+a)$，
即$2x^2 + 3x -k=2x^2 +(2a-5)x -5a$。
所以可得方程组$\begin{cases}2a-5=3,\\-5a=-k,\end{cases}$
解第一个方程：$2a=3+5=8$，得$a=4$，
将$a=4$代入第二个方程，得$-5×4=-k$，解得$k=20$。
故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20。
【答案】
另一个因式为$x+4$，$k$的值为$\boldsymbol{20}$。
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；多项式对应系数相等；解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的阅读模仿类题型，核心考查对例题方法的迁移应用能力，解题关键是理解多项式相等时同类项系数对应相等的性质，掌握该方法后即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
本题属于方法模仿类的因式分解题型，可按照例题的思路求解：第一步先确定未知因式的形式：原二次三项式的二次项系数为2，已知因式$(2x-5)$的一次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数为1，可设为$x+a$；第二步根据因式分解与整式乘法是互逆运算，可得原二次三项式等于两个因式的乘积，将右边的乘积展开整理为多项式形式；第三步根据两个多项式相等时，同类项的系数对应相等，列出关于$a$和$k$的二元一次方程组；第四步解方程组得到$a$和$k$的取值，即可得到另一个因式和$k$的值。
【解析】
解：设另一个因式为$x + a$，则$2x^2 + 3x -k=(2x-5)(x+a)$，
即$2x^2 + 3x -k=2x^2 +(2a-5)x -5a$。
所以可得方程组$\begin{cases}2a-5=3,\\-5a=-k,\end{cases}$
解第一个方程：$2a=3+5=8$，得$a=4$，
将$a=4$代入第二个方程，得$-5×4=-k$，解得$k=20$。
故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20。
【答案】
另一个因式为$x+4$，$k$的值为$\boldsymbol{20}$。
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性；多项式对应系数相等；解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的阅读模仿类题型，核心考查对例题方法的迁移应用能力，解题关键是理解多项式相等时同类项系数对应相等的性质，掌握该方法后即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
