7. 把下列各式分解因式：
(1) $(m+1)(m-9)+8m$；
(2) $x^2(m-2)+9y^2(2-m)$；
(3) $(3p+q)^2-(p-3q)^2$。

解：(1) $(m+1)(m-9)+8m = m^2-8m-9+8m=m^2-9=(m+3)(m-3).$
(2) $x^2(m-2)+9y^2(2-m)=x^2(m-2)-9y^2(m-2)=(m-2)(x^2-9y^2)=(m-2)(x+3y)(x-3y).$
(3) $(3p+q)^2-(p-3q)^2$
$=(3p+q+p-3q)(3p+q-p+3q)$
$=(4p-2q)(2p+4q)$
$=4(2p-q)(p+2q).$

【分析】
(1) 该式无法直接提取公因式或套用公式，因此先计算整式乘法展开$(m+1)(m-9)$，合并同类项后得到平方差形式的二项式，再用平方差公式完成分解。
(2) 观察到式中$(m-2)$和$(2-m)$互为相反数，先将$(2-m)$变形为$-(m-2)$，提取公因式$(m-2)$后，剩余部分仍符合平方差公式特征，继续分解至不可再分解即可。
(3) 该式是两个整式平方作差的形式，直接套用平方差公式分解，再对分解后的两个括号合并同类项，提取公因式保证分解彻底。
【解析】
(1) 先展开乘积再合并同类项，最后用平方差公式分解：
$\begin{aligned}(m+1)(m-9)+8m &= m^2-8m-9+8m \\&=m^2-9 \\&=(m+3)(m-3)\end{aligned}$
(2) 先统一公因式，提取后再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}x^2(m-2)+9y^2(2-m)&=x^2(m-2)-9y^2(m-2) \\&=(m-2)(x^2-9y^2) \\&=(m-2)(x+3y)(x-3y)\end{aligned}$
(3) 直接用平方差公式分解，再合并同类项、提取公因式：
$\begin{aligned}(3p+q)^2-(p-3q)^2&=(3p+q+p-3q)(3p+q-p+3q) \\&=(4p-2q)(2p+4q) \\&=4(2p-q)(p+2q)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(m+3)(m-3)$
(2) $(m-2)(x+3y)(x-3y)$
(3) $4(2p-q)(p+2q)$
【知识点】
整式乘法运算、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规思路，解题时需先观察式子结构，优先提取公因式，无法直接分解时可先做整式化简，再结合公式法分解，注意最终结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.75

8. 已知 m，n 互为相反数，且$(m+2)^2 - (n+2)^2 = 4$，求 m，n 的值.

解：$\because (m+2)^2-(n+2)^2=4,$
$\therefore (m+2+n+2)(m+2-n-2)=4,$
即$(m+n+4)(m-n)=4.$
$\because m+n=0,$
$\therefore m-n=1.$
$\therefore m=\frac{1}{2},\ n=-\frac{1}{2}.$

【分析】解题时先观察已知等式的结构，左边是两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可先利用平方差公式因式分解简化式子；再结合m、n互为相反数的性质，可知m+n=0，将其代入变形后的式子即可得到m与n的差的关系，最后联立两个关于m、n的关系式就能求出二者的值。
【解析】
$\because (m+2)^2-(n+2)^2=4,$
$\therefore$ 利用平方差公式因式分解得：$(m+2+n+2)(m+2-n-2)=4,$
化简得：$(m+n+4)(m-n)=4.$
$\because$ m，n互为相反数，$\therefore m+n=0,$
将$m+n=0$代入上式得：$4(m-n)=4,$
解得$m-n=1.$
联立$\begin{cases}m+n=0\\m-n=1\end{cases}$，两式相加得$2m=1$，即$m=\frac{1}{2}$，
把$m=\frac{1}{2}$代入$m+n=0$，得$n=-\frac{1}{2}.$
【答案】$m=\frac{1}{2},\ n=-\frac{1}{2}$
【知识点】相反数的性质；平方差公式因式分解；解二元一次方程组
【点评】本题考查因式分解的基础应用，解题核心是通过平方差公式简化等式，结合已知条件快速建立未知量的关系，减少直接展开计算的繁琐，是典型的代数基础综合题。
【难度系数】0.7

9. 求证：对于任何整数$m$，多项式$(4m+5)^2 -9$都能被8整除.

证明：$(4m+5)^2-9$
$=(4m+5)^2-3^2$
$=(4m+8)(4m+2)$
$=8(m+2)(2m+1).$
$\because m$是整数，
$\therefore (m+2)(2m+1)$也是整数.
$\therefore 8(m+2)(2m+1)$能被8整除.
$\therefore$对于任何整数$m$，多项式$(4m+5)^2-9$都能被8整除.

【分析】
要证明多项式能被8整除，需将多项式变形为“8与某个整数的乘积”的形式。首先观察原式结构，$(4m+5)^2-9$是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此优先用平方差公式因式分解，再对分解得到的因式提取公因式，整理出因数8，最后结合m是整数的条件，说明剩余部分为整数即可得证。
【解析】
证明：
$(4m+5)^2-9$
$=(4m+5)^2-3^2$
$=(4m+5+3)(4m+5-3)$
$=(4m+8)(4m+2)$
$=8(m+2)(2m+1)$
$\because m$是整数，
$\therefore (m+2)(2m+1)$也是整数，
$\therefore 8(m+2)(2m+1)$能被8整除，
$\therefore$对于任何整数$m$，多项式$(4m+5)^2 -9$都能被8整除。
【答案】
对于任何整数$m$，多项式$(4m+5)^2 -9$都能被8整除。
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解的应用，整除判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是熟练识别平方差公式的结构特征，通过因式分解将原式转化为含目标因数的乘积形式，再结合整数的性质完成推导，能有效考查对因式分解的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图17.2-1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图17.2-1①中的阴影部分拼成一个长方形（如图17.2-1②所示）。

（1）上述操作能验证的等式是.（请选择正确的一个选项）
A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
（2）请应用（1）中的等式计算：
$(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × \dots × (1 - \frac{1}{99^2}) × (1 - \frac{1}{100^2})$

解：(1) A
(2) $(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{99^2})×(1-\frac{1}{100^2})$
$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×···×(1-\frac{1}{99})×(1+\frac{1}{99})×(1-\frac{1}{100})×(1+\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{98}{99}×\frac{100}{99}×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}$
$=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}$
$=\frac{101}{200}.$

【分析】
（1）要判断验证的等式，可分别计算两个图形阴影部分的面积：图①阴影是大正方形减去掉的小正方形，面积为$a^2-b^2$；图②拼成的长方形，长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两个阴影面积相等，即可对应到正确的等式。
（2）观察连乘算式的每一项，均符合平方差公式的结构，先将每一项用平方差公式拆成两个因数相乘的形式，再通过相邻分数交叉约分简化计算，最终得到结果。
【解析】
（1）图①阴影部分面积：$S_1=a^2-b^2$
图②长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，阴影部分面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
因为两个阴影部分面积相等，所以$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，故选A。
（2）
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{99^2})×(1-\frac{1}{100^2})\\=&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×···×(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\=&\frac{1}{2}×\frac{101}{100}\\=&\frac{101}{200}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{A}$；（2）$\boldsymbol{\frac{101}{200}}$
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，分数简便运算
【点评】
本题结合几何图形考查平方差公式的推导，体现了数形结合的思想，同时考查平方差公式在连乘运算中的应用，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，拆分后通过约分简化计算。
【难度系数】
0.7