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例2 (1)已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(0,-3)$和$B(1,-1)$，则此函数的表达式为________。
(2)已知直线$y=kx(k≠0)$经过点$(-2,4)$，则该直线的表达式为________；若该直线向右平移3个单位长度，则得到的直线表达式为________。
(3)已知一次函数$y=kx-4$的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8，则该一次函数表达式为________。
______。
【反思】对于(2)，先根据待定系数法得出正比例函数的表达式，再根据“左加右减”的原则解答。对于(3)，注意有两种情况。
(4)已知$y-4$与$x$成正比例，且当$x=6$时，$y=-4$。
①求$y$与$x$的函数关系式；
②设点$P$在$y$轴上，若①中函数的图象与$x$轴，$y$轴分别交于$A,B$两点，且以$A,B,P$为顶点的三角形面积为9，试求点$P$的坐标。
(2)已知直线$y=kx(k≠0)$经过点$(-2,4)$，则该直线的表达式为________；若该直线向右平移3个单位长度，则得到的直线表达式为________。
(3)已知一次函数$y=kx-4$的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8，则该一次函数表达式为________。
______。
【反思】对于(2)，先根据待定系数法得出正比例函数的表达式，再根据“左加右减”的原则解答。对于(3)，注意有两种情况。
(4)已知$y-4$与$x$成正比例，且当$x=6$时，$y=-4$。
①求$y$与$x$的函数关系式；
②设点$P$在$y$轴上，若①中函数的图象与$x$轴，$y$轴分别交于$A,B$两点，且以$A,B,P$为顶点的三角形面积为9，试求点$P$的坐标。
答案
例2 (1)$y=2x-3$ (2)$y=-2x$ $y=-2x+6$
(3)$y=-x-4$ 或 $y=x-4$
(4)①$y=-\frac{4}{3}x+4$。 ②$(0,10)$或$(0,-2)$。
(3)$y=-x-4$ 或 $y=x-4$
(4)①$y=-\frac{4}{3}x+4$。 ②$(0,10)$或$(0,-2)$。
解析
【分析】
(1) 已知一次函数过两个定点，用待定系数法，将两点坐标代入解析式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，求解即可得到函数表达式；
(2) 正比例函数仅含一个未知参数k，将已知点代入即可求出k得解析式；函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，向右平移3个单位即把原解析式中的x替换为$(x-3)$，化简即可得平移后的解析式；
(3) 先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程，注意交点坐标带绝对值，因此会有两种解；
(4) ① 两个量成正比例可设比例式，将已知x、y的值代入求出比例系数，再整理为y关于x的函数式即可；② 先求出函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，P在y轴上，因此$△ ABP$的底为B、P两点纵坐标差的绝对值，高为A点横坐标的绝对值，结合面积列方程求解，注意绝对值带来的两种情况。
【解析】
(1) 将点$A(0,-3)$、$B(1,-1)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} b=-3 \\ k + b = -1 \end{cases}$
将$b=-3$代入第二个方程，解得$k=2$，因此函数表达式为$y=2x-3$。
(2) 将点$(-2,4)$代入$y=kx$得：$-2k=4$，解得$k=-2$，故直线表达式为$y=-2x$；
向右平移3个单位，将x替换为$x-3$，得$y=-2(x-3)=-2x+6$，即平移后表达式为$y=-2x+6$。
(3) 对于$y=kx-4$，令$x=0$，得$y=-4$，即与y轴交点为$(0,-4)$；令$y=0$，得$x=\frac{4}{k}$，即与x轴交点为$(\frac{4}{k},0)$。
由三角形面积为8得：$\frac{1}{2} × |-4| × |\frac{4}{k}| =8$，化简得$|\frac{4}{k}|=4$，解得$k=1$或$k=-1$，因此函数表达式为$y=x-4$或$y=-x-4$。
(4) ① 设$y-4=kx(k≠0)$，将$x=6$，$y=-4$代入得：$-4-4=6k$，解得$k=-\frac{4}{3}$，整理得$y=-\frac{4}{3}x +4$。
② 令$y=0$，得$-\frac{4}{3}x +4=0$，解得$x=3$，故$A(3,0)$；令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$。
设P点坐标为$(0,m)$，则BP的长度为$|m-4|$，$△ ABP$的高为A到y轴的距离即3，由面积为9得：
$\frac{1}{2} × |m-4| × 3 =9$，解得$|m-4|=6$，即$m=10$或$m=-2$，故P点坐标为$(0,10)$或$(0,-2)$。
【答案】
(1)$y=2x-3$ (2)$y=-2x$；$y=-2x+6$ (3)$y=x-4$或$y=-x-4$ (4)①$y=-\frac{4}{3}x+4$ ②$(0,10)$或$(0,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移规律，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的运用，解题时需注意涉及绝对值、平移的问题要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一次函数过两个定点，用待定系数法，将两点坐标代入解析式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，求解即可得到函数表达式；
(2) 正比例函数仅含一个未知参数k，将已知点代入即可求出k得解析式；函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，向右平移3个单位即把原解析式中的x替换为$(x-3)$，化简即可得平移后的解析式；
(3) 先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程，注意交点坐标带绝对值，因此会有两种解；
(4) ① 两个量成正比例可设比例式，将已知x、y的值代入求出比例系数，再整理为y关于x的函数式即可；② 先求出函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，P在y轴上，因此$△ ABP$的底为B、P两点纵坐标差的绝对值，高为A点横坐标的绝对值，结合面积列方程求解，注意绝对值带来的两种情况。
【解析】
(1) 将点$A(0,-3)$、$B(1,-1)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} b=-3 \\ k + b = -1 \end{cases}$
将$b=-3$代入第二个方程，解得$k=2$，因此函数表达式为$y=2x-3$。
(2) 将点$(-2,4)$代入$y=kx$得：$-2k=4$，解得$k=-2$，故直线表达式为$y=-2x$；
向右平移3个单位，将x替换为$x-3$，得$y=-2(x-3)=-2x+6$，即平移后表达式为$y=-2x+6$。
(3) 对于$y=kx-4$，令$x=0$，得$y=-4$，即与y轴交点为$(0,-4)$；令$y=0$，得$x=\frac{4}{k}$，即与x轴交点为$(\frac{4}{k},0)$。
由三角形面积为8得：$\frac{1}{2} × |-4| × |\frac{4}{k}| =8$，化简得$|\frac{4}{k}|=4$，解得$k=1$或$k=-1$，因此函数表达式为$y=x-4$或$y=-x-4$。
(4) ① 设$y-4=kx(k≠0)$，将$x=6$，$y=-4$代入得：$-4-4=6k$，解得$k=-\frac{4}{3}$，整理得$y=-\frac{4}{3}x +4$。
② 令$y=0$，得$-\frac{4}{3}x +4=0$，解得$x=3$，故$A(3,0)$；令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$。
设P点坐标为$(0,m)$，则BP的长度为$|m-4|$，$△ ABP$的高为A到y轴的距离即3，由面积为9得：
$\frac{1}{2} × |m-4| × 3 =9$，解得$|m-4|=6$，即$m=10$或$m=-2$，故P点坐标为$(0,10)$或$(0,-2)$。
【答案】
(1)$y=2x-3$ (2)$y=-2x$；$y=-2x+6$ (3)$y=x-4$或$y=-x-4$ (4)①$y=-\frac{4}{3}x+4$ ②$(0,10)$或$(0,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移规律，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的运用，解题时需注意涉及绝对值、平移的问题要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.7
【反思】对于(4)，$△ ABP$的面积以BP为底，OA为高较为简便，注意点P有两解。
答案
解析
【分析】
在坐标系中求解三角形面积相关问题时，首先观察各点的位置：如果有边落在坐标轴上，优先选择这条边作为底，对应的高就是第三个顶点到这条坐标轴的距离，无需使用复杂的面积公式，计算更简便。本题中△ABP的边BP在x轴上，点A在y轴上，因此BP为底时，高就是OA的长度，代入面积公式后得到含绝对值的方程，绝对值方程通常有两个解，因此点P存在两种情况，不要漏解。
【解析】
1. 确定底和高：首先明确点A在y轴上，坐标可记为(0, a)，则OA的长度为|a|，也就是△ABP以BP为底时的高；点B、P均在x轴上，坐标分别记为(b, 0)、(x, 0)，则底BP的长度为两点横坐标差的绝对值，即BP=|x - b|。
2. 代入面积公式列方程：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|x - b|×|a|$。
3. 解方程得两解：将已知的面积值代入方程，整理后得到关于x的绝对值方程，去掉绝对值符号时需分正负两种情况讨论，即可得到两个符合条件的x的值，对应两个点P的坐标。
【答案】
点P共有两个符合条件的解，代入具体题干数值可得到对应坐标
【知识点】
三角形面积计算，坐标与图形性质，绝对值方程应用
【点评】
在平面直角坐标系中计算三角形面积时，优先选择落在坐标轴上的边作为底，高直接取点到坐标轴的距离，可大幅简化计算过程；求解含绝对值的方程时，要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
在坐标系中求解三角形面积相关问题时，首先观察各点的位置：如果有边落在坐标轴上，优先选择这条边作为底，对应的高就是第三个顶点到这条坐标轴的距离，无需使用复杂的面积公式，计算更简便。本题中△ABP的边BP在x轴上，点A在y轴上，因此BP为底时，高就是OA的长度，代入面积公式后得到含绝对值的方程，绝对值方程通常有两个解，因此点P存在两种情况，不要漏解。
【解析】
1. 确定底和高：首先明确点A在y轴上，坐标可记为(0, a)，则OA的长度为|a|，也就是△ABP以BP为底时的高；点B、P均在x轴上，坐标分别记为(b, 0)、(x, 0)，则底BP的长度为两点横坐标差的绝对值，即BP=|x - b|。
2. 代入面积公式列方程：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|x - b|×|a|$。
3. 解方程得两解：将已知的面积值代入方程，整理后得到关于x的绝对值方程，去掉绝对值符号时需分正负两种情况讨论，即可得到两个符合条件的x的值，对应两个点P的坐标。
【答案】
点P共有两个符合条件的解，代入具体题干数值可得到对应坐标
【知识点】
三角形面积计算，坐标与图形性质，绝对值方程应用
【点评】
在平面直角坐标系中计算三角形面积时，优先选择落在坐标轴上的边作为底，高直接取点到坐标轴的距离，可大幅简化计算过程；求解含绝对值的方程时，要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
例3 (1)P是直线$y=-x+4$上一动点，O为原点，则线段OP的最小值为
(2)已知函数$y=(2m+1)x+m-3$，若这个函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是
(3)已知一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$，当$0≤y≤\frac{3}{2}$时，x的取值范围是
(4)如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2)，当直线$y=\frac{1}{2}x+b$与△ABC有交点时，b的取值范围是
【反思】对于(1)，利用点到直线之间，垂线段最短找出点P的位置是解题的关键，面积法求长度是常用方法。对于(2)，当$k＞0,b＜0$时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键，注意不经过第二象限，这时$b≤0$。对于(3)，$k＜0$，y随x的增大而减小是解题的关键。对于(4)，用动态观点来分析图形，直线$y=\frac{1}{2}x+b$平移，过C(2,2)时b最大，过B(3,1)时b最小。
$2\sqrt{2}$
。(2)已知函数$y=(2m+1)x+m-3$，若这个函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是
$-\frac{1}{2}＜m≤3$
。(3)已知一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$，当$0≤y≤\frac{3}{2}$时，x的取值范围是
$1≤x≤4$
。(4)如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2)，当直线$y=\frac{1}{2}x+b$与△ABC有交点时，b的取值范围是
$-\frac{1}{2}≤b≤1$
。【反思】对于(1)，利用点到直线之间，垂线段最短找出点P的位置是解题的关键，面积法求长度是常用方法。对于(2)，当$k＞0,b＜0$时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键，注意不经过第二象限，这时$b≤0$。对于(3)，$k＜0$，y随x的增大而减小是解题的关键。对于(4)，用动态观点来分析图形，直线$y=\frac{1}{2}x+b$平移，过C(2,2)时b最大，过B(3,1)时b最小。
答案
例3 (1)$2\sqrt{2}$ (2)$-\frac{1}{2}＜m≤3$ (3)$1≤x≤4$ (4)$-\frac{1}{2}≤b≤1$
解析
【分析】
(1) 根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，可知OP的最小值为原点O到直线$y=-x+4$的垂线段长度，可通过直线与坐标轴围成的直角三角形，用面积法求解该垂线段长度。
(2) 一次函数图象不经过第二象限，需满足两个条件：一是斜率大于0（保证直线从左下向右上倾斜），二是截距小于等于0（保证直线与y轴交点不在正半轴），列不等式组求解即可，注意一次函数斜率不为0。
(3) 已知一次函数斜率为负，y随x的增大而减小，因此分别将y的两个边界值代入函数解析式，求出对应x的值，再根据增减性确定x的取值范围。
(4) 直线$y=\frac{1}{2}x+b$是斜率固定的平行线，平移过程中与△ABC有交点时，b的极值出现在直线经过三角形顶点的情况，分别将三个顶点坐标代入解析式求出对应的b值，取最大和最小值即可得到b的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即直线与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$x=4$，即直线与x轴交点为$(4,0)$。
两交点与原点构成直角三角形，斜边长为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2}×4×4=8$。
设原点到直线的垂线段长为$h$（即OP最小值），由三角形面积公式$\frac{1}{2}× 斜边长 × h=8$，代入得$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}× h=8$，解得$h=2\sqrt{2}$。
(2) 函数图象不经过第二象限，且为一次函数，因此：
$\begin{cases}2m+1＞0 \\ m-3≤0\end{cases}$
解$2m+1＞0$得$m＞-\frac{1}{2}$；解$m-3≤0$得$m≤3$。
综上，m的取值范围为$-\frac{1}{2}＜m≤3$。
(3) 一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$中，$k=-\frac{1}{2}＜0$，y随x的增大而减小：
当$y=\frac{3}{2}$时，$\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}x+2$，解得$x=1$；
当$y=0$时，$0=-\frac{1}{2}x+2$，解得$x=4$。
因此x的取值范围为$1≤ x≤4$。
(4) 将△ABC三个顶点分别代入直线$y=\frac{1}{2}x+b$求b的值：
①代入$C(2,2)$：$2=\frac{1}{2}×2 +b$，解得$b=1$；
②代入$A(1,1)$：$1=\frac{1}{2}×1 +b$，解得$b=\frac{1}{2}$；
③代入$B(3,1)$：$1=\frac{1}{2}×3 +b$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
因此直线与△ABC有交点时，b的取值范围为$-\frac{1}{2}≤ b≤1$。
【答案】
(1)$2\sqrt{2}$；(2)$-\frac{1}{2}＜m≤3$；(3)$1≤x≤4$；(4)$-\frac{1}{2}≤b≤1$
【知识点】
一次函数的性质；点到直线的距离；一次函数图象平移
【点评】
本题组围绕一次函数的核心知识点设置，解题时需结合数形结合思想，灵活运用几何性质、不等式求解和动态分析的方法，同时要注意特殊取值的验证，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
(1) 根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，可知OP的最小值为原点O到直线$y=-x+4$的垂线段长度，可通过直线与坐标轴围成的直角三角形，用面积法求解该垂线段长度。
(2) 一次函数图象不经过第二象限，需满足两个条件：一是斜率大于0（保证直线从左下向右上倾斜），二是截距小于等于0（保证直线与y轴交点不在正半轴），列不等式组求解即可，注意一次函数斜率不为0。
(3) 已知一次函数斜率为负，y随x的增大而减小，因此分别将y的两个边界值代入函数解析式，求出对应x的值，再根据增减性确定x的取值范围。
(4) 直线$y=\frac{1}{2}x+b$是斜率固定的平行线，平移过程中与△ABC有交点时，b的极值出现在直线经过三角形顶点的情况，分别将三个顶点坐标代入解析式求出对应的b值，取最大和最小值即可得到b的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即直线与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$x=4$，即直线与x轴交点为$(4,0)$。
两交点与原点构成直角三角形，斜边长为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2}×4×4=8$。
设原点到直线的垂线段长为$h$（即OP最小值），由三角形面积公式$\frac{1}{2}× 斜边长 × h=8$，代入得$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}× h=8$，解得$h=2\sqrt{2}$。
(2) 函数图象不经过第二象限，且为一次函数，因此：
$\begin{cases}2m+1＞0 \\ m-3≤0\end{cases}$
解$2m+1＞0$得$m＞-\frac{1}{2}$；解$m-3≤0$得$m≤3$。
综上，m的取值范围为$-\frac{1}{2}＜m≤3$。
(3) 一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$中，$k=-\frac{1}{2}＜0$，y随x的增大而减小：
当$y=\frac{3}{2}$时，$\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}x+2$，解得$x=1$；
当$y=0$时，$0=-\frac{1}{2}x+2$，解得$x=4$。
因此x的取值范围为$1≤ x≤4$。
(4) 将△ABC三个顶点分别代入直线$y=\frac{1}{2}x+b$求b的值：
①代入$C(2,2)$：$2=\frac{1}{2}×2 +b$，解得$b=1$；
②代入$A(1,1)$：$1=\frac{1}{2}×1 +b$，解得$b=\frac{1}{2}$；
③代入$B(3,1)$：$1=\frac{1}{2}×3 +b$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
因此直线与△ABC有交点时，b的取值范围为$-\frac{1}{2}≤ b≤1$。
【答案】
(1)$2\sqrt{2}$；(2)$-\frac{1}{2}＜m≤3$；(3)$1≤x≤4$；(4)$-\frac{1}{2}≤b≤1$
【知识点】
一次函数的性质；点到直线的距离；一次函数图象平移
【点评】
本题组围绕一次函数的核心知识点设置，解题时需结合数形结合思想，灵活运用几何性质、不等式求解和动态分析的方法，同时要注意特殊取值的验证，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
