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例4 (1)已知一次函数$y=(2m+1)x+m-3$，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是
(2)已知一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$，当$-1≤x≤4$时，y的最大值是
【反思】“$k＞0$，y随x的增大而增大；$k＜0$，y随x的增大而减小”是解题的关键。
$m＜-\frac{1}{2}$
。(2)已知一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$，当$-1≤x≤4$时，y的最大值是
$\frac{7}{2}$
。【反思】“$k＞0$，y随x的增大而增大；$k＜0$，y随x的增大而减小”是解题的关键。
答案
例4 (1)$m＜-\frac{1}{2}$ (2)$\frac{7}{2}$
解析
【分析】
(1) 本题可根据一次函数的增减性分析求解。对于一次函数$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$），若y随x的增大而减小，说明一次项系数$k＜0$，因此只需令本题中的一次项系数$2m+1＜0$，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 本题可结合一次函数增减性求最值。首先判断函数增减性：该函数一次项系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，即y随x的增大而减小，因此在给定的x取值范围内，x取最小值时对应的y值最大，代入x的最小值计算即可得到y的最大值。
【解析】
(1)
∵ 一次函数$y=(2m+1)x+m-3$中y随x的增大而减小
∴ 一次项系数满足$2m+1＜0$
解不等式：移项得$2m＜-1$，系数化为1得$m＜-\frac{1}{2}$
(2) 对于一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$，一次项系数$k=-\frac{1}{2}＜0$
∴ y随x的增大而减小
已知$-1≤x≤4$，则当x取最小值$-1$时，y取得最大值
将$x=-1$代入函数解析式得：$y=-\frac{1}{2}×(-1)+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$
【答案】
(1)$m＜-\frac{1}{2}$；(2)$\frac{7}{2}$
【知识点】
一次函数性质，解一元一次不等式，一次函数最值计算
【点评】
本题属于一次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握一次函数增减性与一次项系数k的符号的对应关系，结合题干条件推导求解即可，是一次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
(1) 本题可根据一次函数的增减性分析求解。对于一次函数$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$），若y随x的增大而减小，说明一次项系数$k＜0$，因此只需令本题中的一次项系数$2m+1＜0$，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 本题可结合一次函数增减性求最值。首先判断函数增减性：该函数一次项系数$k=-\frac{1}{2}＜0$，即y随x的增大而减小，因此在给定的x取值范围内，x取最小值时对应的y值最大，代入x的最小值计算即可得到y的最大值。
【解析】
(1)
∵ 一次函数$y=(2m+1)x+m-3$中y随x的增大而减小
∴ 一次项系数满足$2m+1＜0$
解不等式：移项得$2m＜-1$，系数化为1得$m＜-\frac{1}{2}$
(2) 对于一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$，一次项系数$k=-\frac{1}{2}＜0$
∴ y随x的增大而减小
已知$-1≤x≤4$，则当x取最小值$-1$时，y取得最大值
将$x=-1$代入函数解析式得：$y=-\frac{1}{2}×(-1)+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$
【答案】
(1)$m＜-\frac{1}{2}$；(2)$\frac{7}{2}$
【知识点】
一次函数性质，解一元一次不等式，一次函数最值计算
【点评】
本题属于一次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握一次函数增减性与一次项系数k的符号的对应关系，结合题干条件推导求解即可，是一次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
例5 某经销商从市场得知如下信息：
价格 A品牌手表 B品牌手表
进价/(元/块)
100
售价/(元/块) 900 160
他计划用不超过4万元的资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得毛利润为y元。
(1)试写出y与x之间的函数关系式。
(2)若要求全部销售完后获得的毛利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？
(3)选择哪种进货方案，该经销商可获毛利润最大？最大毛利润是多少元？
防范点:求自变量取值范围时,注意题中隐含的条件;画出实际问题的图象时注意自变量的取值范围。
价格 A品牌手表 B品牌手表
进价/(元/块)
100售价/(元/块) 900 160
他计划用不超过4万元的资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得毛利润为y元。
(1)试写出y与x之间的函数关系式。
(2)若要求全部销售完后获得的毛利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？
(3)选择哪种进货方案，该经销商可获毛利润最大？最大毛利润是多少元？
防范点:求自变量取值范围时,注意题中隐含的条件;画出实际问题的图象时注意自变量的取值范围。
答案
例5 (1)$y=(900-700)x+(160-100)×(100-x)=140x+6000$。由 $700x+100(100-x)≤40000$,得 $x≤50$。故 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=140x+6000(0＜x≤50)$。
(2)令 $y≥12600$,即 $140x+6000≥12600$,解得 $x≥47\frac{1}{7}$。又因为 $x≤50$,所以经销商有以下三种进货方案：
| 方案 | A品牌手表/块 | B品牌手表/块 |
| ---- | ---- | ---- |
| ① | 48 | 52 |
| ② | 49 | 51 |
| ③ | 50 | 50 |
(3)因为 $140＞0$,所以 $y$ 随 $x$ 的增大而增大。所以 $x=50$ 时 $y$ 取得最大值。又因为 $140×50+6000=13000$(元),所以选择方案③进货时,该经销商可获毛利润最大,最大毛利润是 13000 元。
(2)令 $y≥12600$,即 $140x+6000≥12600$,解得 $x≥47\frac{1}{7}$。又因为 $x≤50$,所以经销商有以下三种进货方案：
| 方案 | A品牌手表/块 | B品牌手表/块 |
| ---- | ---- | ---- |
| ① | 48 | 52 |
| ② | 49 | 51 |
| ③ | 50 | 50 |
(3)因为 $140＞0$,所以 $y$ 随 $x$ 的增大而增大。所以 $x=50$ 时 $y$ 取得最大值。又因为 $140×50+6000=13000$(元),所以选择方案③进货时,该经销商可获毛利润最大,最大毛利润是 13000 元。
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数关系式时，先明确毛利润=A品牌总利润+B品牌总利润，分别算出两种手表单块利润，再结合总进货量表示出B品牌的数量即可列出函数式；再根据进货总资金不超过4万元列不等式，求出自变量x的取值范围，注意x代表手表数量，为正整数。
(2) 要求毛利润不少于1.26万元，将y≥12600代入第一问的函数关系式，解出x的取值下限，结合第一问得到的x上限，筛选出范围内的正整数，即可得到所有符合要求的进货方案。
(3) 一次函数y=kx+b中，当k＞0时y随x的增大而增大，因此在x的取值范围内取最大的x值，代入函数即可求出最大毛利润。
【解析】
(1) 设购进A品牌手表x块，则购进B品牌手表(100-x)块。
每块A品牌手表利润为$900-700=200$元，每块B品牌手表利润为$160-100=60$元，因此总毛利润：
$y=200x+60(100-x)=140x+6000$
由进货总资金不超过40000元，列不等式：
$700x+100(100-x)≤40000$
化简得$600x≤30000$，解得$x≤50$，且x为正整数，因此函数关系式为$y=140x+6000(0＜x≤50且x为整数)$。
(2) 由题意得$y≥12600$，代入函数式得：
$140x+6000≥12600$
解得$x≥47\frac{1}{7}$
结合$x≤50$且x为正整数，x可取48、49、50，对应进货方案：
方案①：A品牌48块，B品牌$100-48=52$块；
方案②：A品牌49块，B品牌$100-49=51$块；
方案③：A品牌50块，B品牌$100-50=50$块。
(3) 一次函数$y=140x+6000$中，$k=140＞0$，y随x的增大而增大，因此$x=50$时y取最大值：
$y=140×50+6000=13000$（元）
【答案】
(1) $y=140x+6000(0＜x≤50且x为整数)$
(2) 共3种进货方案：①购进A品牌手表48块，B品牌手表52块；②购进A品牌手表49块，B品牌手表51块；③购进A品牌手表50块，B品牌手表50块。
(3) 选择购进A品牌手表50块、B品牌手表50块的方案时毛利润最大，最大毛利润为13000元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际进货场景考查一次函数与一元一次不等式的综合运用，解题时需注意自变量的实际意义，取值要符合实际情况，求最值时结合一次函数的增减性即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求y与x的函数关系式时，先明确毛利润=A品牌总利润+B品牌总利润，分别算出两种手表单块利润，再结合总进货量表示出B品牌的数量即可列出函数式；再根据进货总资金不超过4万元列不等式，求出自变量x的取值范围，注意x代表手表数量，为正整数。
(2) 要求毛利润不少于1.26万元，将y≥12600代入第一问的函数关系式，解出x的取值下限，结合第一问得到的x上限，筛选出范围内的正整数，即可得到所有符合要求的进货方案。
(3) 一次函数y=kx+b中，当k＞0时y随x的增大而增大，因此在x的取值范围内取最大的x值，代入函数即可求出最大毛利润。
【解析】
(1) 设购进A品牌手表x块，则购进B品牌手表(100-x)块。
每块A品牌手表利润为$900-700=200$元，每块B品牌手表利润为$160-100=60$元，因此总毛利润：
$y=200x+60(100-x)=140x+6000$
由进货总资金不超过40000元，列不等式：
$700x+100(100-x)≤40000$
化简得$600x≤30000$，解得$x≤50$，且x为正整数，因此函数关系式为$y=140x+6000(0＜x≤50且x为整数)$。
(2) 由题意得$y≥12600$，代入函数式得：
$140x+6000≥12600$
解得$x≥47\frac{1}{7}$
结合$x≤50$且x为正整数，x可取48、49、50，对应进货方案：
方案①：A品牌48块，B品牌$100-48=52$块；
方案②：A品牌49块，B品牌$100-49=51$块；
方案③：A品牌50块，B品牌$100-50=50$块。
(3) 一次函数$y=140x+6000$中，$k=140＞0$，y随x的增大而增大，因此$x=50$时y取最大值：
$y=140×50+6000=13000$（元）
【答案】
(1) $y=140x+6000(0＜x≤50且x为整数)$
(2) 共3种进货方案：①购进A品牌手表48块，B品牌手表52块；②购进A品牌手表49块，B品牌手表51块；③购进A品牌手表50块，B品牌手表50块。
(3) 选择购进A品牌手表50块、B品牌手表50块的方案时毛利润最大，最大毛利润为13000元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际进货场景考查一次函数与一元一次不等式的综合运用，解题时需注意自变量的实际意义，取值要符合实际情况，求最值时结合一次函数的增减性即可快速求解。
【难度系数】
0.7
【反思】用一次函数的性质可以解决实际问题中的最值问题，往往根据题意把毛利润$y$表示成$x$的一次函数，再根据比例系数$k$的取值及自变量$x$的取值范围，确定毛利润$y$的最小值或最大值。
答案
解析
【分析】
解决这类用一次函数求实际毛利润最值的问题，我们可按以下思路思考：一次函数的增减性由比例系数k的符号决定，是求最值的核心依据；实际问题中的自变量x存在实际意义限制（如数量非负、不超过最大进货量等），最值一定出现在自变量取值范围的端点处。解题时先梳理题意找到毛利润和自变量的等量关系，再确定x的取值范围，最后结合一次函数增减性代入端点值就能求出最值。
【解析】
解题步骤如下：
1. 设变量：结合题意设出自变量x（如进货量、销售量等）和毛利润y；
2. 列函数解析式：根据“毛利润=总销售额-总成本”或“毛利润=单件利润×销售数量”等实际等量关系，列出y关于x的关系式，并整理为一次函数的标准形式$y=kx+b$（$k\ne0$）；
3. 确定自变量取值范围：根据x的实际意义（如$x≥0$、x不超过库存上限、x为正整数等），写出x的取值范围；
4. 判断增减性：根据k的符号判断函数增减性：
若$k＞0$，y随x的增大而增大，此时y的最大值对应x的最大值，y的最小值对应x的最小值；
若$k＜0$，y随x的增大而减小，此时y的最大值对应x的最小值，y的最小值对应x的最大值；
5. 计算最值：将x取值范围的对应端点值代入函数解析式，计算得到毛利润的最值。
【答案】
用一次函数求解实际毛利润最值的步骤为：①列毛利润y关于自变量x的一次函数解析式；②确定自变量x的取值范围；③根据k的符号判断函数增减性；④代入x的边界值计算得到y的最值。
【知识点】
一次函数的增减性，一次函数的实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
这类问题是一次函数实际应用的常见题型，解题关键是准确列出函数解析式，不要忽略自变量的实际取值限制，结合一次函数的增减性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.7
解决这类用一次函数求实际毛利润最值的问题，我们可按以下思路思考：一次函数的增减性由比例系数k的符号决定，是求最值的核心依据；实际问题中的自变量x存在实际意义限制（如数量非负、不超过最大进货量等），最值一定出现在自变量取值范围的端点处。解题时先梳理题意找到毛利润和自变量的等量关系，再确定x的取值范围，最后结合一次函数增减性代入端点值就能求出最值。
【解析】
解题步骤如下：
1. 设变量：结合题意设出自变量x（如进货量、销售量等）和毛利润y；
2. 列函数解析式：根据“毛利润=总销售额-总成本”或“毛利润=单件利润×销售数量”等实际等量关系，列出y关于x的关系式，并整理为一次函数的标准形式$y=kx+b$（$k\ne0$）；
3. 确定自变量取值范围：根据x的实际意义（如$x≥0$、x不超过库存上限、x为正整数等），写出x的取值范围；
4. 判断增减性：根据k的符号判断函数增减性：
若$k＞0$，y随x的增大而增大，此时y的最大值对应x的最大值，y的最小值对应x的最小值；
若$k＜0$，y随x的增大而减小，此时y的最大值对应x的最小值，y的最小值对应x的最大值；
5. 计算最值：将x取值范围的对应端点值代入函数解析式，计算得到毛利润的最值。
【答案】
用一次函数求解实际毛利润最值的步骤为：①列毛利润y关于自变量x的一次函数解析式；②确定自变量x的取值范围；③根据k的符号判断函数增减性；④代入x的边界值计算得到y的最值。
【知识点】
一次函数的增减性，一次函数的实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
这类问题是一次函数实际应用的常见题型，解题关键是准确列出函数解析式，不要忽略自变量的实际取值限制，结合一次函数的增减性即可快速求出最值。
【难度系数】
0.7
1. 一次函数 $y_1=ax+b$ 与 $y_2=cx+d$ 的图象如图所示，下列结论中正确的有（
①对于函数 $y_1=ax+b$ 来说，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小；
②函数 $y=ax+d$ 的图象不经过第一象限；
③ $3(a - c)=d - b$；
④ $a + b ＜ c + d$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①对于函数 $y_1=ax+b$ 来说，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小；
②函数 $y=ax+d$ 的图象不经过第一象限；
③ $3(a - c)=d - b$；
④ $a + b ＜ c + d$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先结合一次函数图象的走向、与坐标轴的交点位置判断系数a、b、c、d的正负，再利用两函数交点的横坐标为3的特征，结合一次函数的增减性、过象限的判断规则、函数值大小与图象位置的关系，逐个分析4个结论是否正确即可。
【解析】
结合图象可得：一次函数$y_1=ax+b$的图象下降，故$a＜0$，与$y$轴交于正半轴，故$b＞0$；一次函数$y_2=cx+d$的图象上升，故$c＞0$，与$y$轴交于负半轴，故$d＜0$；两函数交点的横坐标为3，即$x=3$时，$y_1=y_2$。
我们逐个判断结论：
① 对于$y_1=ax+b$，$a＜0$，因此$y$的值随$x$值的增大而减小，该结论正确；
② 对于函数$y=ax+d$，$a＜0$，$d＜0$，因此其图象斜率为负、与$y$轴交于负半轴，经过第二、三、四象限，不经过第一象限，该结论正确；
③ 由$x=3$时$y_1=y_2$，可得$3a+b=3c+d$，移项整理得$3(a-c)=d-b$，该结论正确；
④ 当$x=1$时，$y_1=a+b$，$y_2=c+d$，由图象可知$x＜3$时$y_1$的图象在$y_2$上方，即$y_1＞y_2$，因此$a+b＞c+d$，该结论错误。
综上，正确的结论有3个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数的交点问题；一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数相关知识的综合应用，解题的核心是熟练掌握一次函数系数与图象特征的对应关系，结合数形结合思想分析函数值的大小、图象过象限等问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合一次函数图象的走向、与坐标轴的交点位置判断系数a、b、c、d的正负，再利用两函数交点的横坐标为3的特征，结合一次函数的增减性、过象限的判断规则、函数值大小与图象位置的关系，逐个分析4个结论是否正确即可。
【解析】
结合图象可得：一次函数$y_1=ax+b$的图象下降，故$a＜0$，与$y$轴交于正半轴，故$b＞0$；一次函数$y_2=cx+d$的图象上升，故$c＞0$，与$y$轴交于负半轴，故$d＜0$；两函数交点的横坐标为3，即$x=3$时，$y_1=y_2$。
我们逐个判断结论：
① 对于$y_1=ax+b$，$a＜0$，因此$y$的值随$x$值的增大而减小，该结论正确；
② 对于函数$y=ax+d$，$a＜0$，$d＜0$，因此其图象斜率为负、与$y$轴交于负半轴，经过第二、三、四象限，不经过第一象限，该结论正确；
③ 由$x=3$时$y_1=y_2$，可得$3a+b=3c+d$，移项整理得$3(a-c)=d-b$，该结论正确；
④ 当$x=1$时，$y_1=a+b$，$y_2=c+d$，由图象可知$x＜3$时$y_1$的图象在$y_2$上方，即$y_1＞y_2$，因此$a+b＞c+d$，该结论错误。
综上，正确的结论有3个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数的交点问题；一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数相关知识的综合应用，解题的核心是熟练掌握一次函数系数与图象特征的对应关系，结合数形结合思想分析函数值的大小、图象过象限等问题。
【难度系数】
0.7
