1. 如图，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AD$，$AC=AE$，$BC=DE$，点$E$在$BC$边上，$AB$交$DE$于点$O$.求证：$∠ CAE=∠ BED$.

1. 证明：在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中，
$\begin{cases}AB=AD,\\AC=AE,\\BC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE$(SSS), $\therefore ∠ C=∠ AED. \because ∠ AEC + ∠ C + ∠ CAE = 180°, ∠ AEC + ∠ AED + ∠ BED = 180°, \therefore ∠ CAE = ∠ BED.$

2. 如图，$AB=AE$，$AB⊥AE$，$AD=AC$，$AD⊥AC$，$M$为$BC$的中点. 求证：$DE=2AM$.

2. 证明:延长 $AM$ 至 $N$,使 $MN=AM$,连接 $BN$. $\because$ 点 $M$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore CM=BM$. 又 $\because ∠ AMC=∠ NMB$, $AM=NM$, $\therefore △ AMC ≌ △ NMB$(SAS). $\therefore AC=BN,∠ C=∠ NBM$. $\because AD=AC, \therefore AD=BN. \because AB⊥ AE,AD⊥ AC, \therefore ∠ EAB=∠ DAC=90°. \therefore ∠ EAD + ∠ BAC = 180°. \therefore ∠ ABN = ∠ ABC + ∠ C = 180° - ∠ BAC = ∠ EAD$. 又 $\because AE=AB, AD=BN, \therefore △ ABN ≌ △ EAD$(SAS). $\therefore DE=AN=2AM.$

3.如图，点B,D,C,F在同一条直线上，且AB=EF，BC=DF，AD=CE.求证：AB//EF.

3. 证明: $\because BC=DF, \therefore BC-CD=DF-CD$, 即 $BD=CF$. 在 $△ ABD$ 和 $△ EFC$ 中, $\begin{cases}AB=EF,\\BD=CF,\\AD=CE,\end{cases}$ $\therefore △ ABD ≌ △ EFC$(SSS), $\therefore ∠ B=∠ F, \therefore AB// EF.$

4. 如图，在$△ ABC$中，过点A向BC作垂线，垂足为E，D为CA延长线上一点，过点D作$DF // AE$交BC于点F，交AB于点P。若$DF=BE$，$CD=AB$。请判断AB与CD的位置关系，并说明理由。

4. 解: $AB⊥ CD$, 理由如下: $\because AE⊥ BC, DF// AE, \therefore DF⊥ BC, \therefore ∠ DFC=∠ BEA=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ DFC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BEA$ 中, $\begin{cases}CD=AB,\\DF=BE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ DFC≌\mathrm{Rt}△ BEA(\mathrm{HL}), \therefore ∠ D=∠ B. \because ∠ B + ∠ BPF=90°, ∠ APD=∠ BPF, \therefore ∠ D + ∠ APD=90°. \therefore ∠ DAP=90°$, 即 $AB⊥ CD.$