23.「2026安徽合肥期末，★☆」（8分）如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，$CD ⊥ AB$于点D，延长AB至点F，使得$∠ BCF = ∠ BCD$。
(1)求证：CF与$\odot O$相切。
(2)当$∠ F = 30°$，$AB = 4$时，求阴影部分的面积.（结果保留$π$）

23.解析 (1)证明:如图,连接 OC,
∵ $OA=OC$,
∴ $∠A=∠ACO$,
∵ AB 为直径,
∴ $∠ACB=90°$,
∴ $∠A+∠ABC=90°$.
∵ $CD ⊥ AB$,
∴ $∠CDB=90°$,
∴ $∠BCD+∠ABC=90°$,
∴ $∠A=∠BCD$,
∵ $∠BCD=∠BCF$,
∴ $∠ACO=∠BCF$, .................. (2分)
∵ $∠ACO+∠OCB=90°$,
∴ $∠OCF=∠BCF+∠OCB=90°$,
∴ $OC ⊥ CF$.
又
∵ OC 是半径,
∴ CF 与$\odot O$ 相切. .................. (4分)
(2)
∵ $∠F=30°$,$∠OCF=90°$,
∴ $∠COF=60°$,
∵ $OC=OB$,
∴ $△OBC$ 是等边三角形,
∴ $BC=OB=\frac{1}{2}AB=2$,
∵ $CD ⊥ AB$,
∴ $OD=BD=\frac{1}{2}OB=1$. .................. (6分)
在$Rt△COD$中,由勾股定理得 $CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{3}$,
∴ $S_{阴影}=S_{扇形BOC}-S_{△OBC}=\frac{60π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\frac{2}{3}π-\sqrt{3}$. .................. (8分)