22.「2026湖北十堰月考，★★☆」(10分)如图，已知矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=6 cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B匀速运动.同时，动点N从点D出发沿DA以2 cm/s的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动.
(1)经过多长时间，MN的长为$2\sqrt{2}$ cm?
(2)经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的$\frac{1}{9}$?

22.解析 设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t≤3)$,
则$DN=2t\ \mathrm{cm}$,$AN=(6-2t)\ \mathrm{cm}$,$AM=t\ \mathrm{cm}$,
(1)根据题意,由勾股定理得$AM^2+AN^2=MN^2$,
∵ $MN$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,
∴ $t^2+(6-2t)^2=(2\sqrt{2})^2$,
解得$t_1=2$,$t_2=\frac{14}{5}$.
故动点$M,N$出发$2\ \mathrm{s}$或$\frac{14}{5}\ \mathrm{s}$后,$MN$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
(2)矩形$ABCD$的面积$=AB·BC=3×6=18(\mathrm{cm}^2)$,
$△AMN$的面积$=\frac{1}{2}AM·AN=\frac{1}{2}t(6-2t)$,
由题意得$\frac{1}{2}t(6-2t)=\frac{1}{9}×18$,
整理,得$t^2-3t+2=0$,解得$t_1=1$,$t_2=2$.
故动点$M,N$出发$1\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$后,$△AMN$的面积为矩形$ABCD$面积的$\frac{1}{9}$.

23. 聚焦中考过程性学习「2026 四川资阳期末，★★☆」(10 分)配方法是数学中一种重要的思想方法，通常用配方法将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式。这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题。我们定义:若一个整数能表示成$a^2 + b^2$（$a,b$都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”.例如，5 是一个“和美数”，因为$5=2^2 +1^2$.
(1)在 29,54,117 这三个数中，是“和美数”的是.
(2)已知$S=x^2 +9y^2 +4x -12y +k$（$x,y$是任意整数，$k$是常数），要使$S$为“和美数”，试写出符合条件的$k$值，并说明理由.
(3)已知实数$x,y$满足$-x^2 + \frac{7}{3}x + y -5=0$，求$x-3y$的最大值.

23.解析 (1)$29=25+4=5^2+2^2$,符合定义,是“和美数”;54不是和美数;$117=81+36=9^2+6^2$,符合定义,是和美数.故答案为 29 和 117.
(2)当$k=8$时,$S$为“和美数”,理由如下:
$S=x^2+9y^2+4x-12y+k=(x^2+4x+4)+(9y^2-12y+4)+k-8=(x+2)^2+(3y-2)^2+k-8$,
当$k=8$时,$k-8=0$,$S$为“和美数”.
(3)
∵ $-x^2+\frac{7}{3}x+y-5=0$,
∴ $-y=-x^2+\frac{7}{3}x-5$,
∴ $-3y=-3x^2+7x-15$,
∴ $x-3y=-3x^2+8x-15=-3(x^2-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9})-15+3×\frac{16}{9}=-3(x-\frac{4}{3})^2-\frac{29}{3}$.
∵ $-3(x-\frac{4}{3})^2≤0$,
∴ $-3(x-\frac{4}{3})^2-\frac{29}{3}≤-\frac{29}{3}$,
∴ 当$x=\frac{4}{3}$时,$x-3y$的值最大,最大值为$-\frac{29}{3}$.