3. 抛物线$F:y=ax^2 - 2ax - 8a(a＞0)$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴交于点$C$,直线$x=3$交$x$轴于点$D$.
(1)若$OB=OC$,直接写出抛物线的表达式;
(2)如图,将抛物线$F$平移,使其顶点落在$y$轴上的点$P(0,\dfrac{1}{2})$处,得到抛物线$G$,直线$MN$与抛物线$G$只有一个公共点$M$,与$x$轴交于点$N$,定点$Q$在$y$轴正半轴上,且满足$∠ MQN=90°$,求此时点$Q$的坐标.

(1)抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-x-4$. 解析:令$y=0$,则$0=ax^2-2ax-8a$,即$x^2-2x-8=0$,解得$x=4$或$x=-2$,
∴ $A(-2,0)$,$B(4,0)$.
∵ $OB=OC$,
∴ $C(0,-4)$,即$-8a=-4$,
∴ $a=\frac{1}{2}$,
∴ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-x-4$.
(2)将抛物线$F$平移,使其顶点落在$y$轴上的点$P(0,\frac{1}{2})$处,得到抛物线$G$,则抛物线$G$的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$.设点$M(m,\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2})$,设直线$MN$的表达式为$y=kx+b$,则$\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}=km+b$,解得$b=\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}-km$,
∴ 直线$MN$的表达式为$y=kx+\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}-km$,与$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$联立得$\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}=kx+\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}-km$,整理得$x^2-2kx-m^2+2km=0$,由题意得$\Delta=4k^2-4(-m^2+2km)=0$,解得$k=m$,
∴ 直线$MN$的表达式为$y=mx-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}$.当$y=0$时,$mx-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}=0$,解得$x=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2m}$,
∴ $N(\frac{1}{2}m-\frac{1}{2m},0)$.过点$M$作$MH⊥y$轴于点$H$,则$MH=-m$,$OH=\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}$.
∵ $∠MHQ=∠MQN=∠QON=90°$,
∴ $∠MQH+∠NQO=90°$,$∠NQO+∠QNO=90°$,
∴ $∠MQH=∠QNO$,
∴ $△MQH∽△QNO$,
∴ $\frac{HM}{OQ}=\frac{HQ}{ON}$,即$\frac{-m}{OQ}=\frac{\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}-OQ}{\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}m}$,解得$OQ=1$或$\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}$.
∵ $Q$为定点,
∴ $OQ=1$,
∴ 点$Q$的坐标为$(0,1)$.

4. (济宁中考节选)如图,直线$y=-x+4$交$x$轴于点$B$,交$y$轴于点$C$,对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$的抛物线经过$B,C$两点,交$x$轴负半轴于点$A$.$P$为抛物线上一动点,点$P$的横坐标为$m$,过点$P$作$x$轴的平行线交抛物线于另一点$M$,作$x$轴的垂线$PN$,垂足为$N$,直线$MN$交$y$轴于点$D$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若$m＜\frac{3}{2}$,设直线$MN$交直线$BC$于点$E$,是否存在这样的$m$值,使$MN=2ME$?若存在,求出此时$m$的值;若不存在,请说明理由.

备用图

(1)在直线$y=-x+4$中,当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$x=4$,
∴ 点$B(4,0)$,点$C(0,4)$.设抛物线的表达式为$y=a(x-\frac{3}{2})^2+k$,把点$B(4,0)$,点$C(0,4)$代入,得$\begin{cases}a(4-\frac{3}{2})^2+k=0,\\a(0-\frac{3}{2})^2+k=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\k=\frac{25}{4},\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{25}{4}=-x^2+3x+4$.
(2)存在,理由:由题意得$P(m,-m^2+3m+4)$,
∴ $M(3-m,-m^2+3m+4)$,$N(m,0)$.当$-1＜m＜\frac{3}{2}$时,点$P$在$x$轴的上方.
∵ $MN=2ME$,
∴ 点$E$为线段$MN$的中点,
∴ $x_E=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{3-m+m}{2}=\frac{3}{2}$,$y_E=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{-m^2+3m+4}{2}$,
∴ 点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{-m^2+3m+4}{2})$,代入$y=-x+4$,整理得$m^2-3m+1=0$,解得$m_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$(不符合题意,舍去),$m_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$;当$m=-1$时,点$P$在$x$轴上,此时点$E$与点$M$重合,故此种情况不存在;当$m＜-1$时,点$P$在$x$轴的下方,点$E$在射线$NM$上,如图,设线段$NM$的中点为$R$,
∴ $x_R=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{3-m+m}{2}=\frac{3}{2}$,$y_R=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{-m^2+3m+4}{2}$,
∴ $R(\frac{3}{2},\frac{-m^2+3m+4}{2})$.
∵ $MN=2ME$,
∴ $M$为$RE$的中点,
∴ $x_M=\frac{x_R+x_E}{2}$,$y_M=\frac{y_R+y_E}{2}$,
∴ $E(\frac{9}{2}-2m,-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m+6)$,代入$y=-x+4$,整理得$3m^2-5m-13=0$,解得$m_3=\frac{5+\sqrt{181}}{6}$(不符合题意,舍去),$m_4=\frac{5-\sqrt{181}}{6}$.综上可知,存在$m=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或$m=\frac{5-\sqrt{181}}{6}$,使$MN=2ME$.