5. (衡阳中考节选)如图,已知抛物线$y = ax^2 - 2ax + 3$与x轴交于点$A(-1,0)$和点B,与y轴交于点C,连接AC,过B,C两点作直线.
(1)求a的值.
(2)抛物线上是否存在点P,使$∠ PBC + ∠ ACO = 45°$?若存在,请求出直线BP的表达式;若不存在,请说明理由.

(1)抛物线$y=ax^2-2ax+3$与x轴交于点$A(-1,0)$,得$a+2a+3=0$,解得$a=-1$.
(2)存在.理由:
如图①,当点$P$在直线$BC$下方时,在$y$轴上取点$H(0,1)$,作直线$BH$交抛物线于点$P$(异于点$B$),由(1)得$a=-1$,则抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$,则$C(0,3)$.当$y=0$时,$-x^2+2x+3=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$,
∴ $B(3,0)$,
∴ $OC=OB$,$△OBC$为等腰直角三角形,
∴ $∠OBC=45°$,
∴ $OH=OA=1$,$OB=OC$,$∠BOH=∠COA=90°$,
∴ $△BOH≌△COA$(SAS),
∴ $∠OBH=∠ACO$,
∴ $∠PBC+∠ACO=∠PBC+∠OBH=∠OBC=45°$.设直线$BP$的表达式为$y=k_1x+b_1$,代入点$B(3,0)$,$H(0,1)$,得$\begin{cases}3k_1+b_1=0,\\b_1=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\frac{1}{3},\\b_1=1,\end{cases}$故直线$BP$的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+1$.如图②,当点$P$在直线$BC$上方时,在$x$轴上取点$I(1,0)$,连接$CI$,过点$B$作$BP// CI$交抛物线于点$P$,
∴ $∠PBC=∠BCI$,
∴ $OI=OA=1$,$OC=OC$,$∠COI=∠COA=90°$,
∴ $△COI≌△COA$(SAS),
∴ $∠OCI=∠OCA$,
∴ $∠PBC+∠ACO=∠BCI+∠OCI=∠OCB=45°$.设直线$CI$的表达式为$y=k_2x+b_2$,代入点$I(1,0)$,$C(0,3)$,得$\begin{cases}k_2+b_2=0,\\b_2=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-3,\\b_2=3,\end{cases}$故直线$CI$的表达式为$y=-3x+3$.
∵ $BP// CI$,且过点$B(3,0)$,故设直线$BP$的表达式为$y=-3x+n$,
∴ $0=-3×3+n$,解得$n=9$,
∴ 直线$BP$的表达式为$y=-3x+9$.综上所述,直线$BP$的表达式为$y=-3x+9$或$y=-\frac{1}{3}x+1$.

6. (2024·广安中考节选)如图,抛物线$y=-\dfrac{2}{3}x^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A坐标为$(-1,0)$,点B坐标为$(3,0)$.
(1)求此抛物线的函数表达式.
(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂线,垂足为点E,请探究$2PD+PE$是否有最大值?若有最大值,求出最大值及此时P点的坐标;若没有最大值,请说明理由.

(1)
∵ 抛物线$y=-\frac{2}{3}x^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A坐标为$(-1,0)$,点B坐标为$(3,0)$,
∴ $y=-\frac{2}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2$.
(2)当$x=0$时,$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2=2$,
∴ $C(0,2)$.设直线$BC$为$y=kx+2$,
∴ $3k+2=0$,解得$k=-\frac{2}{3}$,
∴ 直线$BC$的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$.设$P(x,-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2)(0＜x＜3)$,
∴ $D(x,-\frac{2}{3}x+2)$,
∴ $2PD+PE=2(-\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+2+\frac{2}{3}x-2)+x=-\frac{4}{3}x^2+5x$.当$x=-\frac{5}{2×(-\frac{4}{3})}=\frac{15}{8}$时,有最大值$\frac{75}{16}$,此时$P(\frac{15}{8},\frac{69}{32})$.