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1. (南充中考节选)如图①,抛物线$y=ax^2+bx+3$($a≠0$)与$x$轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,抛物线顶点为$D$,对称轴与$x$轴交于点$E$,过点$K(1,3)$的直线(直线$KD$除外)与抛物线交于$G,H$两点,直线$DG,DH$分别交$x$轴于点$M,N$.试探究$EM·EN$是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,抛物线顶点为$D$,对称轴与$x$轴交于点$E$,过点$K(1,3)$的直线(直线$KD$除外)与抛物线交于$G,H$两点,直线$DG,DH$分别交$x$轴于点$M,N$.试探究$EM·EN$是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.
答案
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+3(a≠0)$与x轴交于点$A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,
∴ $\begin{cases}a-b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$故抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)是定值.
∵ 直线$GH$经过$K(1,3)$,
∴ 可设直线$GH$的表达式为$y=k(x-1)+3$.
∵ 点$G,H$在抛物线上,
∴ 可设$G(m,-m^2+2m+3)$,$H(n,-n^2+2n+3)$,
∴ $k(x-1)+3=-x^2+2x+3$,整理得$x^2+(k-2)x-k=0$,
∴ $x_1=m$,$x_2=n$,
∴ $\begin{cases}m+n=2-k,\\mn=-k.\end{cases}$当$x=1$时,$y=-1^2+2×1+3=4$,
∴ $D(1,4)$.设直线$DG$的表达式为$y=k_1x+b_1$,则有$\begin{cases}mk_1+b_1=-m^2+2m+3,\\k_1+b_1=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-(m-1),\\b_1=m+3,\end{cases}$
∴ 直线$DG$的表达式为$y=-(m-1)x+m+3$.当$y=0$时,$-(m-1)x+m+3=0$,解得$x=\frac{m+3}{m-1}$,
∴ $M(\frac{m+3}{m-1},0)$,
∴ $EM=1-\frac{m+3}{m-1}=-\frac{4}{m-1}$,同理可求$EN=\frac{4}{n-1}$,
∴ $EM·EN=-\frac{4}{m-1}·\frac{4}{n-1}=-\frac{16}{mn-(m+n)+1}=-\frac{16}{-k-(2-k)+1}=16$;当$G$与$H$对调位置后,同理可求$EM·EN=16$.综上所述,$EM·EN$的定值为16.
2. 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$ 与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.已知点A的坐标为$(-2,0)$,点C的坐标为$(0,3)$,M是线段AB上的一个动点,点M从点B出发沿BA方向向点A移动,运动速度为每秒2个单位长度,过点M作x轴的垂线,与抛物线交于点D,设点M的运动时间为t s.
(1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标.
(2)如图,连接BC,CD,是否存在某一时刻,使$∠ BCD=45°$?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标.
(2)如图,连接BC,CD,是否存在某一时刻,使$∠ BCD=45°$?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)把点$A(-2,0)$,$C(0,3)$分别代入$y=-\frac{1}{4}x^2+bx+c$,得$\begin{cases}-\frac{1}{4}×(-2)^2-2b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=1,\\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.当$y=0$时,$-\frac{1}{4}x^2+x+3=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=6$,
∴ 点$B$的坐标为$(6,0)$.
(2)存在.理由:过点$B$作$BK⊥BC$,交$CD$的延长线于点$K$,过点$K$作$KQ⊥x$轴于点$Q$.在$\mathrm{Rt}△BCK$中,$∠BCK=45°$,
∴ $∠BKC=90°-∠BCK=45°$,
∴ $∠BCK=∠BKC$,
∴ $BC=BK$.
∵ $∠CBO+∠KBQ=90°$,$∠CBO+∠BCO=90°$,
∴ $∠KBQ=∠BCO$.又
∵ $∠COB=∠BQK=90°$,
∴ $△CBO≌△BKQ$,
∴ $BQ=CO=3$,$KQ=BO=6$,
∴ $OQ=OB+BQ=9$,
∴ 点$K$的坐标为$(9,6)$.设直线$CK$的函数表达式为$y=k_2x+e$,把$C(0,3)$,$K(9,6)$分别代入,得$\begin{cases}e=3,\\9k_2+e=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{3},\\e=3,\end{cases}$
∴ 直线$CK$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+3$.设点$D$的坐标为$(g,\frac{1}{3}g+3)$.
∵ 点$D$在抛物线上,
∴ $\frac{1}{3}g+3=-\frac{1}{4}g^2+g+3$,解得$g_1=\frac{8}{3}$,$g_2=0$(舍去),
∴ 点$D$的横坐标为$\frac{8}{3}$,
∴ $t=\frac{6-\frac{8}{3}}{2}=\frac{5}{3}$.
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.当$y=0$时,$-\frac{1}{4}x^2+x+3=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=6$,
∴ 点$B$的坐标为$(6,0)$.
(2)存在.理由:过点$B$作$BK⊥BC$,交$CD$的延长线于点$K$,过点$K$作$KQ⊥x$轴于点$Q$.在$\mathrm{Rt}△BCK$中,$∠BCK=45°$,
∴ $∠BKC=90°-∠BCK=45°$,
∴ $∠BCK=∠BKC$,
∴ $BC=BK$.
∵ $∠CBO+∠KBQ=90°$,$∠CBO+∠BCO=90°$,
∴ $∠KBQ=∠BCO$.又
∵ $∠COB=∠BQK=90°$,
∴ $△CBO≌△BKQ$,
∴ $BQ=CO=3$,$KQ=BO=6$,
∴ $OQ=OB+BQ=9$,
∴ 点$K$的坐标为$(9,6)$.设直线$CK$的函数表达式为$y=k_2x+e$,把$C(0,3)$,$K(9,6)$分别代入,得$\begin{cases}e=3,\\9k_2+e=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{3},\\e=3,\end{cases}$
∴ 直线$CK$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+3$.设点$D$的坐标为$(g,\frac{1}{3}g+3)$.
∵ 点$D$在抛物线上,
∴ $\frac{1}{3}g+3=-\frac{1}{4}g^2+g+3$,解得$g_1=\frac{8}{3}$,$g_2=0$(舍去),
∴ 点$D$的横坐标为$\frac{8}{3}$,
∴ $t=\frac{6-\frac{8}{3}}{2}=\frac{5}{3}$.
