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12.计算：$|-\sqrt{4}| - (\frac{1}{3})^{-1} + 2026^0$
答案
12.0
解析
【分析】
这道题属于实数混合运算题，解题时需分别计算出三个独立项的结果，再按顺序做加减运算。首先处理绝对值项：先算出$\sqrt{4}$的数值，再根据绝对值的非负性化简；其次处理负整数指数幂项，依据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算；最后处理零指数幂项，依据零指数幂规则$a^0=1$（$a≠0$）计算，将三项结果合并即可得到最终答案。
【解析】
解：分步计算各部分：
1. 化简绝对值：$\sqrt{4}=2$，因此$|-\sqrt{4}|=|-2|=2$
2. 计算负整数指数幂：$(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$
3. 计算零指数幂：$2026≠0$，因此$2026^0=1$
代入原式计算：
$\begin{split}|-\sqrt{4}| - (\frac{1}{3})^{-1} + 2026^0&=2-3+1\\&=0\end{split}$
【答案】
0
【知识点】
绝对值化简，负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察对各类基础运算法则的记忆与应用，分步计算即可降低出错概率，是实数运算板块的常规考察题型。
【难度系数】
0.8
这道题属于实数混合运算题，解题时需分别计算出三个独立项的结果，再按顺序做加减运算。首先处理绝对值项：先算出$\sqrt{4}$的数值，再根据绝对值的非负性化简；其次处理负整数指数幂项，依据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算；最后处理零指数幂项，依据零指数幂规则$a^0=1$（$a≠0$）计算，将三项结果合并即可得到最终答案。
【解析】
解：分步计算各部分：
1. 化简绝对值：$\sqrt{4}=2$，因此$|-\sqrt{4}|=|-2|=2$
2. 计算负整数指数幂：$(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$
3. 计算零指数幂：$2026≠0$，因此$2026^0=1$
代入原式计算：
$\begin{split}|-\sqrt{4}| - (\frac{1}{3})^{-1} + 2026^0&=2-3+1\\&=0\end{split}$
【答案】
0
【知识点】
绝对值化简，负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察对各类基础运算法则的记忆与应用，分步计算即可降低出错概率，是实数运算板块的常规考察题型。
【难度系数】
0.8
13.先化简,再求值:$(a+1-\dfrac{5+2a}{a+1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a+1}$,其中$a=\sqrt{9}+|-2|-(\dfrac{1}{2})^{-1}.$
答案
13.$\dfrac{a-2}{a+2},\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
本题需分两步求解：第一步化简分式，先对括号内的分式减法通分，将$a+1$转化为分母为$a+1$的分式后合并分子，再将分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化为最简形式；第二步先根据算术平方根、绝对值、负整数指数幂的运算规则计算$a$的值，最后将$a$代入最简分式即可求出结果。
【解析】
步骤1：化简分式
$\begin{aligned}&(a+1-\dfrac{5+2a}{a+1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a+1}\\=&[\dfrac{(a+1)^2}{a+1}-\dfrac{5+2a}{a+1}]×\dfrac{a+1}{a^2+4a+4}\\=&\dfrac{a^2+2a+1-2a-5}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{a^2-4}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{(a+2)(a-2)}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
步骤2：计算$a$的值
$\begin{aligned}a&=\sqrt{9}+|-2|-(\dfrac{1}{2})^{-1}\\&=3+2-2\\&=3\end{aligned}$
步骤3：代入求值
将$a=3$代入$\dfrac{a-2}{a+2}$得：
$\dfrac{3-2}{3+2}=\dfrac{1}{5}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{a-2}{a+2}$，求值结果为$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式混合运算，实数运算，负整数指数幂
【点评】
本题属于基础的化简求值题型，融合了分式运算和实数运算两大考点，重点考查分式通分、因式分解、约分以及算术平方根、绝对值、负指数幂的计算能力，运算时注意遵循运算顺序，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
本题需分两步求解：第一步化简分式，先对括号内的分式减法通分，将$a+1$转化为分母为$a+1$的分式后合并分子，再将分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分化为最简形式；第二步先根据算术平方根、绝对值、负整数指数幂的运算规则计算$a$的值，最后将$a$代入最简分式即可求出结果。
【解析】
步骤1：化简分式
$\begin{aligned}&(a+1-\dfrac{5+2a}{a+1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a+1}\\=&[\dfrac{(a+1)^2}{a+1}-\dfrac{5+2a}{a+1}]×\dfrac{a+1}{a^2+4a+4}\\=&\dfrac{a^2+2a+1-2a-5}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{a^2-4}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{(a+2)(a-2)}{a+1}×\dfrac{a+1}{(a+2)^2}\\=&\dfrac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
步骤2：计算$a$的值
$\begin{aligned}a&=\sqrt{9}+|-2|-(\dfrac{1}{2})^{-1}\\&=3+2-2\\&=3\end{aligned}$
步骤3：代入求值
将$a=3$代入$\dfrac{a-2}{a+2}$得：
$\dfrac{3-2}{3+2}=\dfrac{1}{5}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{a-2}{a+2}$，求值结果为$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式混合运算，实数运算，负整数指数幂
【点评】
本题属于基础的化简求值题型，融合了分式运算和实数运算两大考点，重点考查分式通分、因式分解、约分以及算术平方根、绝对值、负指数幂的计算能力，运算时注意遵循运算顺序，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
14. 如果$x^n = y$，那么我们规定$(x,y] = n$。例如：因为$3^2 = 9$，所以$(3,9] = 2$。
(1)理解:根据上述规定填空.
①$(2,8]=$
②若$(2,y]=5$，则$y=$
(2)应用:已知$(4,12]=a,(4,5]=b,(4,y]=c$，若$a+b=c$，求$y$的值；
(3)拓展:若$(5,10]=a,(5,50]=b$，求$a-b$的值。
(1)理解:根据上述规定填空.
①$(2,8]=$
$3$
；$(2,\frac{1}{4}]=$$-2$
；②若$(2,y]=5$，则$y=$
$32$
；若$(x,64]=3$，则$x=$$4$
；(2)应用:已知$(4,12]=a,(4,5]=b,(4,y]=c$，若$a+b=c$，求$y$的值；
(3)拓展:若$(5,10]=a,(5,50]=b$，求$a-b$的值。
答案
14.(1)①3；-2 ②32；4 (2)$y=60$ (3)$a-b=-1$
解析
【分析】
本题核心是先理解新定义的运算规则：若$x^n=y$，则$(x,y]=n$，解题时将新定义运算转化为已学的整数指数幂运算即可。(1)直接根据新定义，将问题转化为求指数、幂或底数的基础运算；(2)先把$a、b、c$对应的指数式写出，结合$a+b=c$的条件，利用同底数幂的乘法法则推导$y$的值；(3)同样先写出$a、b$对应的指数式，利用同底数幂的除法法则计算$a-b$的值。
【解析】
(1)① 求$(2,8]$即找$n$满足$2^n=8$，因为$2^3=8$，所以$(2,8]=3$；
求$(2,\frac{1}{4}]$即找$n$满足$2^n=\frac{1}{4}$，因为$2^{-2}=\frac{1}{4}$，所以$(2,\frac{1}{4}]=-2$。
② 若$(2,y]=5$，根据定义得$2^5=y$，计算得$y=32$；
若$(x,64]=3$，根据定义得$x^3=64$，因为$4^3=64$，所以$x=4$。
(2)根据新定义可得：
$(4,12]=a$即$4^a=12$，$(4,5]=b$即$4^b=5$，$(4,y]=c$即$4^c=y$。
已知$a+b=c$，由同底数幂乘法法则：$4^{a+b}=4^a × 4^b$，代入得$4^c=12×5=60$，所以$y=60$。
(3)根据新定义可得：
$(5,10]=a$即$5^a=10$，$(5,50]=b$即$5^b=50$。
由同底数幂除法法则：$5^{a-b}=5^a ÷ 5^b =10÷50=\frac{1}{5}=5^{-1}$，因此$a-b=-1$。
【答案】
(1)①$3$；$-2$ ②$32$；$4$ (2)$y=60$ (3)$a-b=-1$
【知识点】
新定义运算、整数指数幂、同底数幂乘除法则
【点评】
本题通过新定义的形式考查幂的运算性质，重点考查知识迁移能力，只要准确理解新定义规则，将其转化为常规的幂运算即可顺利解题，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题核心是先理解新定义的运算规则：若$x^n=y$，则$(x,y]=n$，解题时将新定义运算转化为已学的整数指数幂运算即可。(1)直接根据新定义，将问题转化为求指数、幂或底数的基础运算；(2)先把$a、b、c$对应的指数式写出，结合$a+b=c$的条件，利用同底数幂的乘法法则推导$y$的值；(3)同样先写出$a、b$对应的指数式，利用同底数幂的除法法则计算$a-b$的值。
【解析】
(1)① 求$(2,8]$即找$n$满足$2^n=8$，因为$2^3=8$，所以$(2,8]=3$；
求$(2,\frac{1}{4}]$即找$n$满足$2^n=\frac{1}{4}$，因为$2^{-2}=\frac{1}{4}$，所以$(2,\frac{1}{4}]=-2$。
② 若$(2,y]=5$，根据定义得$2^5=y$，计算得$y=32$；
若$(x,64]=3$，根据定义得$x^3=64$，因为$4^3=64$，所以$x=4$。
(2)根据新定义可得：
$(4,12]=a$即$4^a=12$，$(4,5]=b$即$4^b=5$，$(4,y]=c$即$4^c=y$。
已知$a+b=c$，由同底数幂乘法法则：$4^{a+b}=4^a × 4^b$，代入得$4^c=12×5=60$，所以$y=60$。
(3)根据新定义可得：
$(5,10]=a$即$5^a=10$，$(5,50]=b$即$5^b=50$。
由同底数幂除法法则：$5^{a-b}=5^a ÷ 5^b =10÷50=\frac{1}{5}=5^{-1}$，因此$a-b=-1$。
【答案】
(1)①$3$；$-2$ ②$32$；$4$ (2)$y=60$ (3)$a-b=-1$
【知识点】
新定义运算、整数指数幂、同底数幂乘除法则
【点评】
本题通过新定义的形式考查幂的运算性质，重点考查知识迁移能力，只要准确理解新定义规则，将其转化为常规的幂运算即可顺利解题，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
