12.（合肥包河区期中）在下列说法中，正确的是（）

A.$\frac{mn^2}{3}$不是整式
B.$-\frac{3abc}{2}$的系数是－3，次数是3
C.多项式$2x^2y - xy$是五次二项式
D.1是单项式

12.D

【分析】
本题考查整式、单项式、多项式的相关概念，解题时需结合对应定义逐一判断每个选项的正误：首先回忆核心定义：①整式包含单项式和多项式，单项式是数或字母的乘积组成的代数式，单独的数或字母也属于单项式；②单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和；③多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，项数是多项式中单项式的个数。再逐个对应选项判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$\frac{mn^2}{3}$是$\frac{1}{3}$与$mn^2$的乘积，属于单项式，而单项式和多项式统称为整式，因此$\frac{mn^2}{3}$是整式，A错误。
B选项：$-\frac{3abc}{2}$的数字因数为$-\frac{3}{2}$，即它的系数是$-\frac{3}{2}$，所有字母的指数和为$1+1+1=3$，即次数是3，选项中系数表述错误，B错误。
C选项：多项式$2x^2y - xy$包含$2x^2y$和$-xy$两个项，最高次项为$2x^2y$，次数为$2+1=3$，因此该多项式是三次二项式，C错误。
D选项：根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，因此1是单项式，D正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的定义；单项式的相关概念；多项式的相关概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对整式相关核心定义的辨析，解题的关键是准确区分单项式的系数、次数，多项式的次数、项数等易混淆的概念，避免因概念记忆偏差出错。
【难度系数】
0.8

13. 按一定规律排列的单项式：$a^2,4a^3,9a^4,16a^5,25a^6,···,$第$n$个单项式是（）

A.$n^2a^{n+1}$
B.$n^2a^{n-1}$
C.$n^na^{n+1}$
D.$(n+1)^2a^n$

13.A

【分析】
要确定第n个单项式的表达式，我们可以将单项式拆分为数字系数和字母的指数两部分，分别对应序号n找规律，再将两部分的规律整合即可得到结果。
【解析】
我们逐个分析前几个单项式和对应序号n的关系：
1. 分析系数部分：
当n=1时，系数为$1=1^2$；
当n=2时，系数为$4=2^2$；
当n=3时，系数为$9=3^2$；
当n=4时，系数为$16=4^2$；
……
由此可得，第n个单项式的系数为$n^2$。
2. 分析a的指数部分：
当n=1时，a的指数为$2=1+1$；
当n=2时，a的指数为$3=2+1$；
当n=3时，a的指数为$4=3+1$；
当n=4时，a的指数为$5=4+1$；
……
由此可得，第n个单项式中a的指数为$n+1$。
将两部分组合，第n个单项式为$n^2a^{n+1}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的概念；数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的核心是将单项式拆分为系数和字母指数两个独立部分分别寻找规律，再整合得到通式，是整式章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

14.若多项式$3x^{|a|}-(a-2)x+8$是关于$x$的二次三项式，则$a$的值为.
【变式】若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式，则$mn=$.

14.-2 【变式】0或8

【分析】
先看第14题：要确定a的值，需结合二次三项式的定义思考，首先“二次”说明多项式的最高次项的次数为2，可得$|a|=2$；其次“三项式”说明多项式有3个非零项，题中常数项8不为0，二次项系数3不为0，因此一次项系数不能为0，否则就变成二次二项式，据此排除不符合的a值即可。
再看变式题：多项式是关于x,y的三次多项式，首先观察各项次数：第二项$x^2y^2$的次数是$2+2=4$，若该项系数不为0，多项式的最高次就是4，不符合“三次”的要求，因此第二项系数必须为0，先求出n的值；再根据最高次项次数为3，计算第一项的次数列方程求出m的值，最后计算mn即可。
【解析】
第14题
∵ 多项式$3x^{|a|}-(a-2)x+8$是关于$x$的二次三项式
∴ ① 最高次项次数为2：$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$
② 一次项系数不为0（否则多项式只有2项）：$-(a-2)≠0$，即$a≠2$
综上，$a=-2$
变式题
∵ 多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式
∴ ① 第二项次数为$2+2=4＞3$，要使最高次为3，第二项系数必须为0：
$n-2=0$，解得$n=2$
② 最高次项为第一项，次数为3：
第一项次数为$1 + |m-n|=3$，将$n=2$代入得$|m-2|=2$
∴ $m-2=2$或$m-2=-2$，解得$m=4$或$m=0$
当$m=4$时，$mn=4×2=8$；当$m=0$时，$mn=0×2=0$
综上，$mn=0$或$8$
【答案】
14.$-2$ 【变式】$0$或$8$
【知识点】
多项式的次数、多项式的项、绝对值的性质
【点评】
此类题是整式概念的常考题型，解题核心是准确理解多项式次数、项数的定义，注意不要忽略“系数不为0”的隐含条件，避免出现多解、错解的情况。
【难度系数】
0.65

15.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题.《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其译文为：“有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数.”满足条件的所有正整数用含有k的代数式(k为自然数)表示为.

15.$105k+23$

【分析】
解题时先观察余数特点：这个正整数除以3和除以7的余数均为2，说明该数减去2之后同时是3和7的公倍数，我们可以先根据这个特点表示出满足前两个条件的数的通用形式，再代入“除以5余3”的约束条件，筛选出同时符合三个要求的数，最终推导出所有满足条件的正整数的表达式即可。
【解析】
设符合条件的正整数为$x$：
1. 由$x$除以3余2、除以7余2，可知$x-2$是3和7的公倍数。
3和7的最小公倍数为$3×7=21$，因此满足前两个条件的数可表示为$x=21m+2$（$m$为非负整数）。
2. 再结合$x$除以5余3的条件，将$x=21m+2$代入：
因为$21÷5=4······1$，即21m除以5的余数等于m除以5的余数，可得$m+2$除以5余3，因此$m$除以5余1，即$m=5k+1$（$k$为自然数）。
3. 将$m=5k+1$代入$x=21m+2$计算：
$x=21×(5k+1)+2=105k+21+2=105k+23$
【答案】
$105k+23$
【知识点】
1. 公倍数与最小公倍数
2. 带余除法
3. 整式表示数量关系
【点评】
本题以中国古代经典数学问题为载体，考查公倍数概念的灵活运用，解题的关键是先从余数相同的条件入手简化问题，再逐步匹配剩余条件，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

16. 多项式$(a-2)m^2 + (2b+1)mn - m + n -7$是关于$m,n$的多项式，若该多项式不含二次项，求$3a+2b$的值。

16.解:由题意,得$a-2=0,2b+1=0$,解得$a=2,2b=-1$.所以$3a+2b=3×2+(-1)=6-1=5$.

【分析】
解题时首先要抓住“多项式不含二次项”这一核心条件，其含义是多项式中所有次数为2的项的系数都为0。第一步先识别多项式中的二次项：$(a-2)m^2$的次数是2，$(2b+1)mn$的次数是$1+1=2$，均为二次项。要让这两项不存在，只需令它们的系数分别等于0，即可求出$a$的值和$2b$的值，最后代入$3a+2b$计算就能得到结果。
【解析】
解：由题意可知，该多项式的二次项系数为0，因此：
$a-2=0$，$2b+1=0$
解得：$a=2$，$2b=-1$
将$a=2$，$2b=-1$代入$3a+2b$得：
$3a+2b=3×2 + (-1)=6-1=5$
【答案】
5
【知识点】
多项式的相关概念；代数式求值
【点评】
本题属于整式部分的基础常考题，解题关键是理解“多项式不含某类项，则该类项的系数为0”的规则，计算时可直接整体代入$2b$的值简化运算，无需单独求$b$的值。
【难度系数】
0.8

17. 已知$-5x^2y^{m+1} + xy^2 - 3x^3 - 6$是六次四项式，且$3x^ny^{5-m}$的次数跟它的相同.
(1)填空：$m=$，$n=$；
(2)求多项式的各项系数与常数项的和.

17.解:(1)3 4
(2)由(1)知$m=3$,则该多项式为$-5x^2 y^4 +xy^2 -3x^3 -6$,各项系数分别为-5,1,-3,常数项为-6,则所求的和为$-5+1-3-6=-13$.

【分析】
(1) 解题时先回忆多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数为多项式的次数。题中多项式是六次四项式，观察四项的次数，最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，因此该项的次数等于6，可列方程求出$m$的值；再根据单项式次数的定义（单项式中所有字母的指数和为单项式的次数），结合$3x^ny^{5-m}$的次数也是6，代入$m$的值即可求出$n$。
(2) 先根据求出的$m$值写出完整的多项式，再找出所有项的系数（注意系数包含项前面的符号）和常数项，相加即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$-5x^2y^{m+1} + xy^2 - 3x^3 - 6$是六次四项式，其最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，因此该项的次数为6：
$2 + (m+1) = 6$
解得$m=3$。
又因为$3x^ny^{5-m}$的次数与该多项式相同，即次数为6，根据单项式次数的定义可得：
$n + (5 - m) = 6$
将$m=3$代入得：$n + 2 = 6$，解得$n=4$。
(2) 把$m=3$代入原多项式，得该多项式为$-5x^2 y^4 + xy^2 - 3x^3 - 6$，各项的系数分别为$-5$、$1$、$-3$，常数项为$-6$，因此各项系数与常数项的和为：
$-5 + 1 + (-3) + (-6) = -13$
【答案】
(1) $3$，$4$；(2) $-13$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，多项式的系数与常数项
【点评】
本题主要考查整式的相关基础概念，解题的核心是准确理解多项式次数、单项式次数、项的系数的定义，需要注意项的系数包含其前面的符号，避免因忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8

18.【新定义】定义：$f(a,b)$是关于$a,b$的多项式，如果$f(a,b)=f(b,a)$，那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”.如：$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$，$f(b,a)=b^2+b+a+a^2$，因为$f(a,b)=f(b,a)$，所以$f(a,b)$是“对称多项式”.
（1）试说明$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”；
（2）请写一个“对称多项式”，$f(a,b)=$；（不多于四项）
（3）如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”，那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗？如果一定，请说明理由；如果不一定，请举例说明.

18.解:(1)因为$f(a,b)=a^2 -2ab +b^2$,所以$f(b,a)=b^2 -2ab +a^2$.所以$f(a,b)=f(b,a)$.所以$f(a,b)=a^2 -2ab +b^2$是“对称多项式”;(2)$a+b$(答案不唯一) (3)$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$不一定是“对称多项式”.反例:$f_1(a,b)=a+b$,$f_2(a,b)=-a-b$.此时$f_1(a,b)$,$f_2(a,b)$都是对称多项式,但$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,0是单项式,不是多项式,所以也不是对称多项式.

【分析】
（1）判断是否为“对称多项式”需紧扣定义：将多项式中的a和b互换得到新多项式，若新多项式与原多项式相等，即为对称多项式。因此第一问先求出f(b,a)，再和原f(a,b)比较是否相等即可。
（2）写对称多项式时，只要保证交换a和b后式子不变即可，注意项数不超过4项，合理即可。
（3）判断两个对称多项式的和是否一定是对称多项式，首先要明确“对称多项式”的前提是多项式，若两个对称多项式的和不是多项式，自然不符合要求，可举互为相反数的两个对称多项式作为反例验证。
【解析】
（1）已知$f(a,b)=a^2 - 2ab + b^2$，将a、b互换可得：
$f(b,a)=b^2 - 2ba + a^2 = b^2 - 2ab + a^2$
可得$f(a,b)=f(b,a)$，因此$f(a,b)=a^2 - 2ab + b^2$是“对称多项式”。
（2）根据定义可写$f(a,b)=a+b$，交换a和b后$f(b,a)=b+a=a+b=f(a,b)$，符合要求（答案不唯一）。
（3）不一定，举例说明如下：
设$f_1(a,b)=a+b$，$f_2(a,b)=-a-b$，先验证二者均为对称多项式：
$f_1(b,a)=b+a=a+b=f_1(a,b)$，$f_2(b,a)=-b-a=-a-b=f_2(a,b)$，均符合对称多项式定义。
此时$f_1(a,b)+f_2(a,b)=(a+b)+(-a-b)=0$，0是单项式，不属于多项式，因此也不是对称多项式，故$f_1(a,b)+f_2(a,b)$不一定是对称多项式。
【答案】
（1）$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是对称多项式，理由见解析；
（2）$a+b$（答案不唯一）；
（3）不一定，反例：$f_1(a,b)=a+b$，$f_2(a,b)=-a-b$，二者均为对称多项式，但和为0，是单项式不是多项式，因此不是对称多项式。
【知识点】
新定义问题，多项式的概念，整式的加减
【点评】
本题以新定义“对称多项式”为载体，既考查对新定义的阅读理解和运用能力，也结合了整式、多项式的相关概念，第三问需要突破“两个多项式相加结果仍是多项式”的思维定式，通过举反例说明，是基础的创新类题型。
【难度系数】
0.7