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10. 如图，一次函数 $y=-x+b$ 与反比例函数 $y=-\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $A(m,4)$ 和 $B(4,1)$。
(1) 求 $b,k,m$ 的值；
(2) 根据图象直接写出 $-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的解集；
(3) 点 $P$ 是线段 $AB$ 上一点，过点 $P$ 作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$，连接 $OP$，若 $△ POD$ 的面积为 $S$，求 $S$ 的最大值和最小值。
(1) 求 $b,k,m$ 的值；
(2) 根据图象直接写出 $-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的解集；
(3) 点 $P$ 是线段 $AB$ 上一点，过点 $P$ 作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$，连接 $OP$，若 $△ POD$ 的面积为 $S$，求 $S$ 的最大值和最小值。
答案
解：
(1) 将点$B(4,1)$代入一次函数$y=-x+b$，得：
$1=-4+b$
解得 $b=5$。
将点$B(4,1)$代入反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$，得：
$1=-\dfrac{k}{4}$
解得 $k=-4$。
将点$A(m,4)$代入$y=-x+5$，得：
$4=-m+5$
解得 $m=1$。
(2) $-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$的解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,-a+5)$，由点$P$在线段$AB$上，得$1≤ a≤4$。
$\because PD⊥ x$轴，
$\therefore OD=a$，$PD=-a+5$，
$\therefore S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}a(-a+5)=-\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{5}{2}a$。
该二次函数开口向下，对称轴为直线$a=\dfrac{5}{2}$，且$1≤\dfrac{5}{2}≤4$。
当$a=\dfrac{5}{2}$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{5}{2}×\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{8}$。
当$a=1$或$a=4$时，$S$取得最小值：
$S_{\mathrm{min}}=-\dfrac{1}{2}×1^2+\dfrac{5}{2}×1=2$。
综上，$S$的最大值为$\dfrac{25}{8}$，最小值为$2$。
(1) 将点$B(4,1)$代入一次函数$y=-x+b$，得：
$1=-4+b$
解得 $b=5$。
将点$B(4,1)$代入反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$，得：
$1=-\dfrac{k}{4}$
解得 $k=-4$。
将点$A(m,4)$代入$y=-x+5$，得：
$4=-m+5$
解得 $m=1$。
(2) $-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$的解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,-a+5)$，由点$P$在线段$AB$上，得$1≤ a≤4$。
$\because PD⊥ x$轴，
$\therefore OD=a$，$PD=-a+5$，
$\therefore S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}a(-a+5)=-\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{5}{2}a$。
该二次函数开口向下，对称轴为直线$a=\dfrac{5}{2}$，且$1≤\dfrac{5}{2}≤4$。
当$a=\dfrac{5}{2}$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{5}{2}×\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{8}$。
当$a=1$或$a=4$时，$S$取得最小值：
$S_{\mathrm{min}}=-\dfrac{1}{2}×1^2+\dfrac{5}{2}×1=2$。
综上，$S$的最大值为$\dfrac{25}{8}$，最小值为$2$。
解析
【分析】
(1) 求函数解析式中的未知参数时，依据“点在函数图象上，则点坐标满足对应函数解析式”的规则求解。先将已知点B的坐标分别代入一次函数和反比例函数，可求出b和k的值，再将点A坐标代入求出的一次函数解析式，就能得到m的值。
(2) 不等式$-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$的几何意义是x＞0范围内，一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x取值，结合两个交点A、B的横坐标，观察图象即可直接得到解集。
(3) 求△POD的面积最值时，先设点P的横坐标为a，由P在线段AB上确定a的取值范围，同时得到P点纵坐标，再根据三角形面积公式写出S关于a的函数表达式，结合二次函数的性质和a的取值范围，即可求出S的最大值和最小值。
【解析】
(1) 将点$B(4,1)$代入一次函数$y=-x+b$，得：
$1=-4+b$，解得 $b=5$。
将点$B(4,1)$代入反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$，得：
$1=-\dfrac{k}{4}$，解得 $k=-4$。
将点$A(m,4)$代入求得的一次函数$y=-x+5$，得：
$4=-m+5$，解得 $m=1$。
(2) 不等式$-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$对应x＞0时一次函数图象在反比例函数图象下方的区域，结合交点A(1,4)、B(4,1)，可得解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,-a+5)$，$\because$点$P$在线段$AB$上，$\therefore a$的取值范围是$1≤ a≤4$。
$\because PD⊥ x$轴，$\therefore OD=a$，$PD=-a+5$，
$\therefore S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}a(-a+5)=-\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{5}{2}a$。
该二次函数开口向下，对称轴为直线$a=\dfrac{5}{2}$，且$1≤\dfrac{5}{2}≤4$。
当$a=\dfrac{5}{2}$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{5}{2}×\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{8}$。
当$a=1$或$a=4$时，$S$取得最小值：
$S_{\mathrm{min}}=-\dfrac{1}{2}×1^2+\dfrac{5}{2}×1=2$。
【答案】
(1) $b=5$，$k=-4$，$m=1$；
(2) $0＜x＜1$或$x＞4$；
(3) $S$的最大值为$\dfrac{25}{8}$，最小值为$2$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数图象解不等式，二次函数区间最值
【点评】
本题是函数类常规综合题，考查了函数图象上点的坐标与解析式的关系、数形结合解不等式以及二次函数最值的求法，解题时要注意参数的取值范围，熟练掌握各类函数的性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式中的未知参数时，依据“点在函数图象上，则点坐标满足对应函数解析式”的规则求解。先将已知点B的坐标分别代入一次函数和反比例函数，可求出b和k的值，再将点A坐标代入求出的一次函数解析式，就能得到m的值。
(2) 不等式$-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$的几何意义是x＞0范围内，一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x取值，结合两个交点A、B的横坐标，观察图象即可直接得到解集。
(3) 求△POD的面积最值时，先设点P的横坐标为a，由P在线段AB上确定a的取值范围，同时得到P点纵坐标，再根据三角形面积公式写出S关于a的函数表达式，结合二次函数的性质和a的取值范围，即可求出S的最大值和最小值。
【解析】
(1) 将点$B(4,1)$代入一次函数$y=-x+b$，得：
$1=-4+b$，解得 $b=5$。
将点$B(4,1)$代入反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$，得：
$1=-\dfrac{k}{4}$，解得 $k=-4$。
将点$A(m,4)$代入求得的一次函数$y=-x+5$，得：
$4=-m+5$，解得 $m=1$。
(2) 不等式$-x+b＜-\dfrac{k}{x}(x＞0)$对应x＞0时一次函数图象在反比例函数图象下方的区域，结合交点A(1,4)、B(4,1)，可得解集为$0＜x＜1$或$x＞4$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,-a+5)$，$\because$点$P$在线段$AB$上，$\therefore a$的取值范围是$1≤ a≤4$。
$\because PD⊥ x$轴，$\therefore OD=a$，$PD=-a+5$，
$\therefore S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}a(-a+5)=-\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{5}{2}a$。
该二次函数开口向下，对称轴为直线$a=\dfrac{5}{2}$，且$1≤\dfrac{5}{2}≤4$。
当$a=\dfrac{5}{2}$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{5}{2}×\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{8}$。
当$a=1$或$a=4$时，$S$取得最小值：
$S_{\mathrm{min}}=-\dfrac{1}{2}×1^2+\dfrac{5}{2}×1=2$。
【答案】
(1) $b=5$，$k=-4$，$m=1$；
(2) $0＜x＜1$或$x＞4$；
(3) $S$的最大值为$\dfrac{25}{8}$，最小值为$2$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数图象解不等式，二次函数区间最值
【点评】
本题是函数类常规综合题，考查了函数图象上点的坐标与解析式的关系、数形结合解不等式以及二次函数最值的求法，解题时要注意参数的取值范围，熟练掌握各类函数的性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
11.类比学习反比例函数的过程与方法,进一步研究函数 $y=\frac{2}{|x|}$ 的图象与性质,探究过程如下:
(1)①列表:其中,m 的值为;
②如图,在平面直角坐标系中,根据描出的点以及已画出的部分图象,补全函数图象;
③根据函数图象,写出该函数的一条性质:.
(2)利用图象直接写出当 $y≥2$ 时,x 的取值范围:.
(1)①列表:其中,m 的值为;
②如图,在平面直角坐标系中,根据描出的点以及已画出的部分图象,补全函数图象;
③根据函数图象,写出该函数的一条性质:.
(2)利用图象直接写出当 $y≥2$ 时,x 的取值范围:.
答案
解：
(1)①将$x=-2$代入$y=\frac{2}{|x|}$，得$m=\frac{2}{|-2|}=1$；
②补全图象：在第二象限内描出点$(-3,\frac{2}{3})$、$(-2,1)$、$(-1,2)$、$(-\frac{1}{2},4)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到与y轴右侧图象关于y轴对称的左侧分支，补全函数图象；
③函数图象关于y轴对称（或当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；函数值恒大于0，答案合理即可）；
(2) 当$y≥2$时，$x$的取值范围是$-1≤ x＜0$或$0＜x≤1$。
(1)①将$x=-2$代入$y=\frac{2}{|x|}$，得$m=\frac{2}{|-2|}=1$；
②补全图象：在第二象限内描出点$(-3,\frac{2}{3})$、$(-2,1)$、$(-1,2)$、$(-\frac{1}{2},4)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到与y轴右侧图象关于y轴对称的左侧分支，补全函数图象；
③函数图象关于y轴对称（或当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；函数值恒大于0，答案合理即可）；
(2) 当$y≥2$时，$x$的取值范围是$-1≤ x＜0$或$0＜x≤1$。
解析
【分析】
本题类比反比例函数的探究方法研究含绝对值的分式函数，解题思路如下：(1)①求m的值时，列表中的点均满足函数解析式，只需将x=-2代入函数表达式计算即可得到m的值；②补全图象时，由于函数表达式含|x|，当x取互为相反数的两个值时函数值相等，因此图象关于y轴对称，只需参照y轴右侧的图象，对称画出y轴左侧的分支即可；③总结函数性质可从图象的对称性、不同取值区间内的增减性、函数值的取值范围等角度分析。(2)求y≥2时x的取值范围，利用数形结合思想，找到y=2与函数图象的交点，观察图象中y≥2对应的区域的x的取值即可，注意分母不能为0，x≠0。
【解析】
(1)①将$x=-2$代入$y=\frac{2}{|x|}$，可得$m=\frac{2}{|-2|}=1$；
②补全图象：函数图象关于y轴对称，在第二象限内描出$(-3,\frac{2}{3})$、$(-2,1)$、$(-1,2)$、$(-\frac{1}{2},4)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到与y轴右侧图象关于y轴对称的左侧分支即可；
③函数性质示例：函数图象关于y轴对称（或当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；函数值恒大于0，合理即可）；
(2)观察函数图象可得，当$y≥2$时，x的取值范围是$-1≤x＜0$或$0＜x≤1$。
【答案】
(1)①$1$；②补全图象见上述解析；③函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；(2)$-1≤x＜0$或$0＜x≤1$
【知识点】
函数性质探究、绝对值函数、数形结合思想
【点评】
本题依托反比例函数的研究方法，考查学生知识迁移能力和数形结合的应用能力，引导学生掌握函数研究的通用步骤，注重对基础探究方法的考查，设问灵活，性质总结类问题答案开放，能兼顾不同层次学生的作答。
【难度系数】
0.7
本题类比反比例函数的探究方法研究含绝对值的分式函数，解题思路如下：(1)①求m的值时，列表中的点均满足函数解析式，只需将x=-2代入函数表达式计算即可得到m的值；②补全图象时，由于函数表达式含|x|，当x取互为相反数的两个值时函数值相等，因此图象关于y轴对称，只需参照y轴右侧的图象，对称画出y轴左侧的分支即可；③总结函数性质可从图象的对称性、不同取值区间内的增减性、函数值的取值范围等角度分析。(2)求y≥2时x的取值范围，利用数形结合思想，找到y=2与函数图象的交点，观察图象中y≥2对应的区域的x的取值即可，注意分母不能为0，x≠0。
【解析】
(1)①将$x=-2$代入$y=\frac{2}{|x|}$，可得$m=\frac{2}{|-2|}=1$；
②补全图象：函数图象关于y轴对称，在第二象限内描出$(-3,\frac{2}{3})$、$(-2,1)$、$(-1,2)$、$(-\frac{1}{2},4)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到与y轴右侧图象关于y轴对称的左侧分支即可；
③函数性质示例：函数图象关于y轴对称（或当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；函数值恒大于0，合理即可）；
(2)观察函数图象可得，当$y≥2$时，x的取值范围是$-1≤x＜0$或$0＜x≤1$。
【答案】
(1)①$1$；②补全图象见上述解析；③函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；(2)$-1≤x＜0$或$0＜x≤1$
【知识点】
函数性质探究、绝对值函数、数形结合思想
【点评】
本题依托反比例函数的研究方法，考查学生知识迁移能力和数形结合的应用能力，引导学生掌握函数研究的通用步骤，注重对基础探究方法的考查，设问灵活，性质总结类问题答案开放，能兼顾不同层次学生的作答。
【难度系数】
0.7
