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6.已知一个反比例函数的图象经过(-2,6)和(3,m)两点，则m=.
答案
$\boldsymbol{-4}$
解析
【分析】
要解决这道题，可从反比例函数的核心性质入手思考：反比例函数图象上的任意一点的横、纵坐标乘积等于固定的比例系数k。解题思路有两种：一是先设出反比例函数的一般解析式，将已知点代入求出比例系数k，得到完整的函数解析式后，再代入另一个点的横坐标即可求出m；二是直接利用“反比例函数上所有点的横纵坐标乘积相等”的性质列等式，快速计算出m的值。
【解析】
解法一：设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
∵ 函数图象经过点$ (-2,6) $，将$ x=-2,y=6 $代入解析式得：
$ 6=\frac{k}{-2} $，解得$ k=-12 $。
∴ 反比例函数解析式为$ y=\frac{-12}{x} $。
将点$ (3,m) $代入解析式，得$ m=\frac{-12}{3}=-4 $。
解法二：由反比例函数性质可知，图象上任意点的横、纵坐标乘积为定值$ k $，因此可得：
$ (-2)×6=3× m $
即$ -12=3m $，解得$ m=-4 $。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其函数解析式的特点，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可从反比例函数的核心性质入手思考：反比例函数图象上的任意一点的横、纵坐标乘积等于固定的比例系数k。解题思路有两种：一是先设出反比例函数的一般解析式，将已知点代入求出比例系数k，得到完整的函数解析式后，再代入另一个点的横坐标即可求出m；二是直接利用“反比例函数上所有点的横纵坐标乘积相等”的性质列等式，快速计算出m的值。
【解析】
解法一：设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
∵ 函数图象经过点$ (-2,6) $，将$ x=-2,y=6 $代入解析式得：
$ 6=\frac{k}{-2} $，解得$ k=-12 $。
∴ 反比例函数解析式为$ y=\frac{-12}{x} $。
将点$ (3,m) $代入解析式，得$ m=\frac{-12}{3}=-4 $。
解法二：由反比例函数性质可知，图象上任意点的横、纵坐标乘积为定值$ k $，因此可得：
$ (-2)×6=3× m $
即$ -12=3m $，解得$ m=-4 $。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其函数解析式的特点，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
7.如图,两个反比例函数$y_1=\frac{4}{x}$和$y_2=\frac{2}{x}$在第一象限内的图象分别是$C_1$和$C_2$,设点P在$C_1$上,$PA⊥ x$轴于点A,交$C_2$于点B,则$△ POB$的面积是.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ POB$的面积等于$△ POA$的面积减去$△ BOA$的面积，我们可以分别利用k的几何意义求出两个三角形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P在反比例函数$y_1=\frac{4}{x}$的图象$C_1$上，且$PA⊥ x$轴，
根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ POA}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵点B在反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的图象$C_2$上，且BA在PA上，同样垂直于x轴，
同理得$S_{△ BOA}=\frac{1}{2}×|2|=1$。
∴$S_{△ POB}=S_{△ POA}-S_{△ BOA}=2-1=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，采用面积差的方法求解阴影部分面积是常用思路，熟练掌握反比例函数中k的几何意义可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ POB$的面积等于$△ POA$的面积减去$△ BOA$的面积，我们可以分别利用k的几何意义求出两个三角形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P在反比例函数$y_1=\frac{4}{x}$的图象$C_1$上，且$PA⊥ x$轴，
根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ POA}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵点B在反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的图象$C_2$上，且BA在PA上，同样垂直于x轴，
同理得$S_{△ BOA}=\frac{1}{2}×|2|=1$。
∴$S_{△ POB}=S_{△ POA}-S_{△ BOA}=2-1=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，采用面积差的方法求解阴影部分面积是常用思路，熟练掌握反比例函数中k的几何意义可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8.小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.根据图中信息，可求得点C的坐标为.
答案
解：设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
由图可知点$A$的坐标为$(-3,2)$，将$A(-3,2)$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
直线$AO$过原点$O(0,0)$和点$A(-3,2)$，可得直线$AO$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x$。
由矩形直尺对边平行，可知过点$B(0,3)$的直线与$AO$平行，设该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + b$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，即该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + 3$。
联立方程：
$\begin{cases}y=-\frac{6}{x}\\y=-\frac{2}{3}x + 3\end{cases}$
消去$y$得：$-\frac{6}{x}=-\frac{2}{3}x + 3$，
整理得$2x^2 -9x -18=0$，
解得$x_1=6$（舍去，不在第二象限），$x_2=-\frac{3}{2}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=4$。
所以点$C$的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{2},4)}$。
由图可知点$A$的坐标为$(-3,2)$，将$A(-3,2)$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
直线$AO$过原点$O(0,0)$和点$A(-3,2)$，可得直线$AO$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x$。
由矩形直尺对边平行，可知过点$B(0,3)$的直线与$AO$平行，设该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + b$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，即该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + 3$。
联立方程：
$\begin{cases}y=-\frac{6}{x}\\y=-\frac{2}{3}x + 3\end{cases}$
消去$y$得：$-\frac{6}{x}=-\frac{2}{3}x + 3$，
整理得$2x^2 -9x -18=0$，
解得$x_1=6$（舍去，不在第二象限），$x_2=-\frac{3}{2}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=4$。
所以点$C$的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{2},4)}$。
解析
【分析】
要得出点C的坐标，可按三步思考：第一步先求反比例函数解析式，从图中可得到反比例函数上的点A坐标，代入反比例函数一般式即可求出k值；第二步求过点B的直线解析式，矩形对边平行，因此过B的直线和直线AO斜率相同，先求出直线AO的斜率，再代入B点坐标即可得到该直线解析式；第三步联立反比例函数和过B点直线的解析式，解方程组，结合C点在第二象限的要求舍去不符合的解，即可得到C点坐标。
【解析】
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
由图可知点$A$的坐标为$(-3,2)$，将$A(-3,2)$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
直线$AO$过原点$O(0,0)$和点$A(-3,2)$，设直线AO解析式为$y=mx$，代入A点坐标得$2=-3m$，解得$m=-\frac{2}{3}$，即直线$AO$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x$。
由矩形直尺对边平行，可知过点$B(0,3)$的直线与$AO$平行，因此该直线斜率也为$-\frac{2}{3}$，设该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + b$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，即该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + 3$。
联立方程：
$\begin{cases}y=-\frac{6}{x}\\y=-\frac{2}{3}x + 3\end{cases}$
消去$y$得：$-\frac{6}{x}=-\frac{2}{3}x + 3$，
两边同乘$3x$（$x≠0$）整理得$2x^2 -9x -18=0$，
解得$x_1=6$（舍去，C点在第二象限，横坐标为负），$x_2=-\frac{3}{2}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{-\frac{3}{2}}=4$。
【答案】
$\boldsymbol{(-\dfrac{3}{2},4)}$
【知识点】
1.反比例函数解析式求解
2.一次函数解析式求解
3.两直线平行的性质
【点评】
本题结合矩形性质和函数知识，考察学生对函数解析式求法、函数交点计算的掌握，解题时需注意根据点所在象限对方程的解进行取舍，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
要得出点C的坐标，可按三步思考：第一步先求反比例函数解析式，从图中可得到反比例函数上的点A坐标，代入反比例函数一般式即可求出k值；第二步求过点B的直线解析式，矩形对边平行，因此过B的直线和直线AO斜率相同，先求出直线AO的斜率，再代入B点坐标即可得到该直线解析式；第三步联立反比例函数和过B点直线的解析式，解方程组，结合C点在第二象限的要求舍去不符合的解，即可得到C点坐标。
【解析】
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
由图可知点$A$的坐标为$(-3,2)$，将$A(-3,2)$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
直线$AO$过原点$O(0,0)$和点$A(-3,2)$，设直线AO解析式为$y=mx$，代入A点坐标得$2=-3m$，解得$m=-\frac{2}{3}$，即直线$AO$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x$。
由矩形直尺对边平行，可知过点$B(0,3)$的直线与$AO$平行，因此该直线斜率也为$-\frac{2}{3}$，设该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + b$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，即该直线解析式为$y=-\frac{2}{3}x + 3$。
联立方程：
$\begin{cases}y=-\frac{6}{x}\\y=-\frac{2}{3}x + 3\end{cases}$
消去$y$得：$-\frac{6}{x}=-\frac{2}{3}x + 3$，
两边同乘$3x$（$x≠0$）整理得$2x^2 -9x -18=0$，
解得$x_1=6$（舍去，C点在第二象限，横坐标为负），$x_2=-\frac{3}{2}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{-\frac{3}{2}}=4$。
【答案】
$\boldsymbol{(-\dfrac{3}{2},4)}$
【知识点】
1.反比例函数解析式求解
2.一次函数解析式求解
3.两直线平行的性质
【点评】
本题结合矩形性质和函数知识，考察学生对函数解析式求法、函数交点计算的掌握，解题时需注意根据点所在象限对方程的解进行取舍，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
9.已知反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$(k为常数，k≠1).
(1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若k=13，试判断点B(3,4)，C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由.
(1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
(3)若k=13，试判断点B(3,4)，C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由.
答案
解：
(1) 将点$A(1,2)$代入$y=\frac{k-1}{x}$，得
$2=\frac{k-1}{1}$，
解得$k=3$。
(2) ∵在函数图象的每一分支上，$y$随$x$的增大而增大，
∴$k-1＜0$，
解得$k＜1$。
(3) 当$k=13$时，$k-1=12$，此时反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
把$x=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{3}=4$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上；
把$x=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，$6≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
(1) 将点$A(1,2)$代入$y=\frac{k-1}{x}$，得
$2=\frac{k-1}{1}$，
解得$k=3$。
(2) ∵在函数图象的每一分支上，$y$随$x$的增大而增大，
∴$k-1＜0$，
解得$k＜1$。
(3) 当$k=13$时，$k-1=12$，此时反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
把$x=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{3}=4$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上；
把$x=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，$6≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
解析
【分析】
(1) 若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式，因此将点A的坐标代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值；
(2) 反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$）中，当$m＜0$时，函数图象的每一分支上$y$随$x$的增大而增大，本题中比例系数为$k-1$，因此令$k-1＜0$，解不等式即可得到$k$的取值范围；
(3) 先将$k=13$代入解析式得到具体的反比例函数表达式，判断点是否在函数图象上的方法是：将点的横坐标代入解析式计算对应的$y$值，若计算结果和点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在，分别代入点B、C的横坐标计算即可判断。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入$y=\frac{k-1}{x}$，得
$2=\frac{k-1}{1}$，
解得$k=3$。
(2)
∵在函数图象的每一分支上，$y$随$x$的增大而增大，
∴$k-1＜0$，
解得$k＜1$。
(3) 当$k=13$时，$k-1=12$，此时反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
把$x=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{3}=4$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上；
把$x=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，$6≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
【答案】
(1) $k=3$；
(2) $k＜1$；
(3) 点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上。
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，围绕反比例函数的核心性质和点与函数图象的关系设置问题，难度较低，熟练掌握反比例函数的增减性与比例系数的关系、点在函数图象上的判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式，因此将点A的坐标代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值；
(2) 反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$）中，当$m＜0$时，函数图象的每一分支上$y$随$x$的增大而增大，本题中比例系数为$k-1$，因此令$k-1＜0$，解不等式即可得到$k$的取值范围；
(3) 先将$k=13$代入解析式得到具体的反比例函数表达式，判断点是否在函数图象上的方法是：将点的横坐标代入解析式计算对应的$y$值，若计算结果和点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之则不在，分别代入点B、C的横坐标计算即可判断。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入$y=\frac{k-1}{x}$，得
$2=\frac{k-1}{1}$，
解得$k=3$。
(2)
∵在函数图象的每一分支上，$y$随$x$的增大而增大，
∴$k-1＜0$，
解得$k＜1$。
(3) 当$k=13$时，$k-1=12$，此时反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
把$x=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{3}=4$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上；
把$x=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，$6≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
【答案】
(1) $k=3$；
(2) $k＜1$；
(3) 点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上。
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，围绕反比例函数的核心性质和点与函数图象的关系设置问题，难度较低，熟练掌握反比例函数的增减性与比例系数的关系、点在函数图象上的判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
