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一、选择题
1.将一元二次方程$(x+1)(x-2)=3-x^2$化成一般形式为（
A.$2x^2 - x +1=0$
B.$2x^2 -x -5=0$
C.$2x^2 +x -5=0$
D.$2x^2 +x +1=0$
1.将一元二次方程$(x+1)(x-2)=3-x^2$化成一般形式为（
B
）.A.$2x^2 - x +1=0$
B.$2x^2 -x -5=0$
C.$2x^2 +x -5=0$
D.$2x^2 +x +1=0$
答案
1.B
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数），解题思路如下：第一步先用多项式乘多项式法则展开方程左侧的乘积，第二步将方程右侧的所有项移到左侧（移项要变号），第三步合并同类项，将式子整理为一般形式后对应选项即可。
【解析】
第一步：展开方程左侧的乘积：
$(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$
此时原方程可化为：$x^2 - x - 2 = 3 - x^2$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，注意变号：
$x^2 - x - 2 - 3 + x^2 = 0$
第三步：合并同类项：
二次项：$x^2+x^2=2x^2$，一次项：$-x$，常数项：$-2-3=-5$
整理得一般形式：$2x^2 - x -5 =0$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规题，核心考查对一元二次方程一般形式的认知，以及整式运算的基础能力，解题时需注意移项时符号的变化，避免因符号计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数），解题思路如下：第一步先用多项式乘多项式法则展开方程左侧的乘积，第二步将方程右侧的所有项移到左侧（移项要变号），第三步合并同类项，将式子整理为一般形式后对应选项即可。
【解析】
第一步：展开方程左侧的乘积：
$(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$
此时原方程可化为：$x^2 - x - 2 = 3 - x^2$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，注意变号：
$x^2 - x - 2 - 3 + x^2 = 0$
第三步：合并同类项：
二次项：$x^2+x^2=2x^2$，一次项：$-x$，常数项：$-2-3=-5$
整理得一般形式：$2x^2 - x -5 =0$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规题，核心考查对一元二次方程一般形式的认知，以及整式运算的基础能力，解题时需注意移项时符号的变化，避免因符号计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
2.方程$x^2 -9=0$的两个根为(
A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x_1=3,x_2=-3$
D.$x=\pm\sqrt{3}$
C
).A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x_1=3,x_2=-3$
D.$x=\pm\sqrt{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题是求一元二次方程的根，观察方程特征：无一次项，左边为平方项减常数，可优先选择直接开平方法求解，也可利用平方差公式因式分解求解。解题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
方法一：直接开平方法
首先移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-3$。
方法二：因式分解法
利用平方差公式对左侧因式分解，得：
$(x+3)(x-3)=0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+3=0$ 或 $x-3=0$
分别解得$x_1=-3$，$x_2=3$。
综上，方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、平方根的定义
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程的基本解法，解题时要注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免出现只保留正根的错误。
【难度系数】
0.9
本题是求一元二次方程的根，观察方程特征：无一次项，左边为平方项减常数，可优先选择直接开平方法求解，也可利用平方差公式因式分解求解。解题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
方法一：直接开平方法
首先移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-3$。
方法二：因式分解法
利用平方差公式对左侧因式分解，得：
$(x+3)(x-3)=0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+3=0$ 或 $x-3=0$
分别解得$x_1=-3$，$x_2=3$。
综上，方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、平方根的定义
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程的基本解法，解题时要注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免出现只保留正根的错误。
【难度系数】
0.9
3.方程$x^2 - 2x -5=0$经配方后，可化为（
A.$(x-1)^2=6$
B.$(x+1)^2=6$
C.$(x-1)^2=4$
D.$(x+1)^2=4$
A
）.A.$(x-1)^2=6$
B.$(x+1)^2=6$
C.$(x-1)^2=4$
D.$(x+1)^2=4$
答案
3.A
解析
【分析】
这道题考查用配方法变形一元二次方程，解题遵循配方法的标准步骤：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧转化为完全平方形式，即可得到配方后的方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 2x = 5$；
2. 一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，在等号两边同时加1，得：$x^2 -2x +1 = 5+1$；
3. 左侧根据完全平方公式整理为$(x-1)^2$，右侧计算得6，即配方后方程为：$(x-1)^2=6$。
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是牢记配方法的操作步骤，熟练掌握完全平方公式的结构特征即可快速求解，是一元二次方程的基础考点。
【难度系数】
0.9
这道题考查用配方法变形一元二次方程，解题遵循配方法的标准步骤：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧转化为完全平方形式，即可得到配方后的方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 2x = 5$；
2. 一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，在等号两边同时加1，得：$x^2 -2x +1 = 5+1$；
3. 左侧根据完全平方公式整理为$(x-1)^2$，右侧计算得6，即配方后方程为：$(x-1)^2=6$。
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是牢记配方法的操作步骤，熟练掌握完全平方公式的结构特征即可快速求解，是一元二次方程的基础考点。
【难度系数】
0.9
4.不解方程,判断方程$-3x^2 +5x +4=0$的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
B
).A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查不解方程判断一元二次方程根的情况，解题核心是利用一元二次方程根的判别式$\Delta =b^2-4ac$判断。首先需要从给定方程中找准二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带对各项的符号；再代入公式计算判别式的值，最后根据判别式的正负对应根的三种情况即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$-3x^2 +5x +4=0$，可得：
二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=5$，常数项$c=4$。
根据根的判别式公式$\Delta =b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta =5^2 -4× (-3)× 4=25 + 48=73$
∵$\Delta =73＞0$
∴该方程有两个不相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的易错点是提取系数时容易忽略符号，只要准确确定各项系数，牢记判别式不同取值对应的根的情况，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查不解方程判断一元二次方程根的情况，解题核心是利用一元二次方程根的判别式$\Delta =b^2-4ac$判断。首先需要从给定方程中找准二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带对各项的符号；再代入公式计算判别式的值，最后根据判别式的正负对应根的三种情况即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$-3x^2 +5x +4=0$，可得：
二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=5$，常数项$c=4$。
根据根的判别式公式$\Delta =b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta =5^2 -4× (-3)× 4=25 + 48=73$
∵$\Delta =73＞0$
∴该方程有两个不相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的易错点是提取系数时容易忽略符号，只要准确确定各项系数，牢记判别式不同取值对应的根的情况，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
5.某种植基地3月份蔬菜产量为80 t,5月份蔬菜产量达到100 t,求蔬菜产量的月平均增长率.设蔬菜产量的月平均增长率为$x$,则可列方程为(
A.$80(1+x)^2=100$
B.$100(1-x)^2=80$
C.$80(1+2x)=100$
D.$80(1+x^2)=100$
A
).A.$80(1+x)^2=100$
B.$100(1-x)^2=80$
C.$80(1+2x)=100$
D.$80(1+x^2)=100$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查平均增长率问题的列方程方法，解题时首先明确增长类问题的数量关系：若每期的平均增长率为x，当期产量=上期产量×(1+x)。已知3月为基期产量，我们可以依次推导4月、5月的产量表达式，再结合5月的实际产量即可列出对应方程。
【解析】
设蔬菜产量的月平均增长率为$x$：
1. 计算4月份蔬菜产量：3月份产量为80t，因此4月份产量为$80(1+x)\ \mathrm{t}$；
2. 计算5月份蔬菜产量：5月份在4月份产量基础上增长x，因此5月份产量为$80(1+x) · (1+x) = 80(1+x)^2\ \mathrm{t}$；
3. 已知5月份产量为100t，因此可列方程：$80(1+x)^2 = 100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率；一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率类问题的典型基础题，解题关键是掌握连续增长时期末产量的计算规律，注意区分“单次增长的增长率”和“多次增长的累计增长率”，避免误将两次增长的总增长率当成$2x$错选C。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率问题的列方程方法，解题时首先明确增长类问题的数量关系：若每期的平均增长率为x，当期产量=上期产量×(1+x)。已知3月为基期产量，我们可以依次推导4月、5月的产量表达式，再结合5月的实际产量即可列出对应方程。
【解析】
设蔬菜产量的月平均增长率为$x$：
1. 计算4月份蔬菜产量：3月份产量为80t，因此4月份产量为$80(1+x)\ \mathrm{t}$；
2. 计算5月份蔬菜产量：5月份在4月份产量基础上增长x，因此5月份产量为$80(1+x) · (1+x) = 80(1+x)^2\ \mathrm{t}$；
3. 已知5月份产量为100t，因此可列方程：$80(1+x)^2 = 100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率；一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率类问题的典型基础题，解题关键是掌握连续增长时期末产量的计算规律，注意区分“单次增长的增长率”和“多次增长的累计增长率”，避免误将两次增长的总增长率当成$2x$错选C。
【难度系数】
0.8
6.若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$中的$a,b,c$满足$a+b+c=0$，则方程必有根(
A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
B
)。A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。题目给出条件$a+b+c=0$，我们可以将选项中的$x$值代入方程左边的代数式$ax^2+bx+c$，观察哪个代入结果刚好和已知条件$a+b+c=0$匹配，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据方程根的定义：若$x=k$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则代入后满足$ak^2 +bk +c = 0$。
已知$a+b+c=0$，将$x=1$代入方程左边：
$a×1^2 + b×1 + c = a + b + c = 0$，刚好满足方程，因此$x=1$一定是方程的根。
验证其余选项：
A. 代入$x=0$，得$c=0$，题目未给出$c=0$的条件，不是必有根；
C. 代入$x=-1$，得$a×(-1)^2 +b×(-1)+c = a -b +c =0$，与已知$a+b+c=0$不符，不是必有根；
D. 由C可知$x=-1$不是必有根，因此D错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
方程根的定义，代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的定义的应用，无需解方程，通过代入验证即可快速得到结果，代入验证的方法在解决方程类选择题时实用性很强。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。题目给出条件$a+b+c=0$，我们可以将选项中的$x$值代入方程左边的代数式$ax^2+bx+c$，观察哪个代入结果刚好和已知条件$a+b+c=0$匹配，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据方程根的定义：若$x=k$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则代入后满足$ak^2 +bk +c = 0$。
已知$a+b+c=0$，将$x=1$代入方程左边：
$a×1^2 + b×1 + c = a + b + c = 0$，刚好满足方程，因此$x=1$一定是方程的根。
验证其余选项：
A. 代入$x=0$，得$c=0$，题目未给出$c=0$的条件，不是必有根；
C. 代入$x=-1$，得$a×(-1)^2 +b×(-1)+c = a -b +c =0$，与已知$a+b+c=0$不符，不是必有根；
D. 由C可知$x=-1$不是必有根，因此D错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
方程根的定义，代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根的定义的应用，无需解方程，通过代入验证即可快速得到结果，代入验证的方法在解决方程类选择题时实用性很强。
【难度系数】
0.8
7.关于$x$的方程$x^2 -4x +m=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，且$x_1 +3x_2=5$，则$m$的值为(
A.0
B.$\frac{7}{6}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{4}$
D
).A.0
B.$\frac{7}{6}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{4}$
答案
7.D
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。结合本题方程可先得到$x_1+x_2$的取值，再联立已知条件$x_1+3x_2=5$，解出其中一个根的数值，最后代入原方程或者利用两根之积的关系即可求出$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -4x +m=0$，其中$a=1,b=-4,c=m$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=4$ ①
已知$x_1 + 3x_2 =5$ ②
用②式减去①式，得：
$(x_1 +3x_2)-(x_1+x_2)=5-4$
化简得$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$。
将$x_2=\frac{1}{2}$代入原方程$x^2 -4x +m=0$，得：
$(\frac{1}{2})^2 -4×\frac{1}{2} +m=0$
计算得$\frac{1}{4} -2 +m=0$，解得$m=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 韦达定理
2. 解二元一次方程组
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的基础题型，解题核心是熟练运用韦达定理得到两根的和差关系，再结合已知条件联立求解，计算量小，解题思路清晰，主要考察基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。结合本题方程可先得到$x_1+x_2$的取值，再联立已知条件$x_1+3x_2=5$，解出其中一个根的数值，最后代入原方程或者利用两根之积的关系即可求出$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -4x +m=0$，其中$a=1,b=-4,c=m$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=4$ ①
已知$x_1 + 3x_2 =5$ ②
用②式减去①式，得：
$(x_1 +3x_2)-(x_1+x_2)=5-4$
化简得$2x_2=1$，解得$x_2=\frac{1}{2}$。
将$x_2=\frac{1}{2}$代入原方程$x^2 -4x +m=0$，得：
$(\frac{1}{2})^2 -4×\frac{1}{2} +m=0$
计算得$\frac{1}{4} -2 +m=0$，解得$m=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 韦达定理
2. 解二元一次方程组
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的基础题型，解题核心是熟练运用韦达定理得到两根的和差关系，再结合已知条件联立求解，计算量小，解题思路清晰，主要考察基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.在一幅长 80 cm、宽 50 cm 的矩形图片四周加上同样宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整幅挂图的面积是 5 000 cm²，设金色纸边的宽为 x cm，则所列方程化为一般形式为(
A.$x^2 + 65x - 250 = 0$
B.$x^2 - 130x - 1\ 000 = 0$
C.$x^2 + 130x - 1\ 000 = 0$
D.$x^2 - 65x - 250 = 0$
A
).A.$x^2 + 65x - 250 = 0$
B.$x^2 - 130x - 1\ 000 = 0$
C.$x^2 + 130x - 1\ 000 = 0$
D.$x^2 - 65x - 250 = 0$
答案
8.A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确加金色纸边后整幅挂图的长和宽的表达式，再结合矩形面积公式列方程，最后化简为一元二次方程的一般形式即可。第一步：纸边在图片四周均匀分布，宽度为x cm，因此挂图的长为原图片长加左右两边的纸边宽度，即(80+2x)cm；挂图的宽为原图片宽加上下两边的纸边宽度，即(50+2x)cm。第二步：根据“矩形面积=长×宽”，结合已知的挂图总面积列出方程，展开整理为一元二次方程的一般形式后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：由题意得，加纸边后挂图的长为$(80+2x)\mathrm{cm}$，宽为$(50+2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程：
$(80+2x)(50+2x)=5000$
展开左侧式子：
$4000+160x+100x+4x^2=5000$
合并同类项：
$4x^2+260x+4000=5000$
移项整理：
$4x^2+260x-1000=0$
两边同时除以4化为最简一般形式：
$x^2+65x-250=0$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础的几何类一元二次方程应用题，解题核心是准确表示出加边后矩形的长和宽，再结合面积公式列方程化简即可，计算时需注意避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确加金色纸边后整幅挂图的长和宽的表达式，再结合矩形面积公式列方程，最后化简为一元二次方程的一般形式即可。第一步：纸边在图片四周均匀分布，宽度为x cm，因此挂图的长为原图片长加左右两边的纸边宽度，即(80+2x)cm；挂图的宽为原图片宽加上下两边的纸边宽度，即(50+2x)cm。第二步：根据“矩形面积=长×宽”，结合已知的挂图总面积列出方程，展开整理为一元二次方程的一般形式后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：由题意得，加纸边后挂图的长为$(80+2x)\mathrm{cm}$，宽为$(50+2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程：
$(80+2x)(50+2x)=5000$
展开左侧式子：
$4000+160x+100x+4x^2=5000$
合并同类项：
$4x^2+260x+4000=5000$
移项整理：
$4x^2+260x-1000=0$
两边同时除以4化为最简一般形式：
$x^2+65x-250=0$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础的几何类一元二次方程应用题，解题核心是准确表示出加边后矩形的长和宽，再结合面积公式列方程化简即可，计算时需注意避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
9.若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则实数$a$的取值范围是(
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a＜2$且$a≠1$
D.$a≤2$且$a≠1$
C
).A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a＜2$且$a≠1$
D.$a≤2$且$a≠1$
答案
9.C
解析
【分析】
要确定a的取值范围，需同时满足两个要求：① 该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式Δ＞0。分别求解两个要求对应的不等式，取公共解集即可得到a的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$a-1≠0$，解得$a≠1$。
第二步：根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，有两个不相等的实数根时$\Delta = b^2-4ac＞0$。
本方程中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1＞0$
计算化简：
$4 - 4(a-1) ＞ 0$
$4 -4a +4 ＞0$
$8-4a＞0$
解得$a＜2$。
综合两个条件，a的取值范围是$a＜2$且$a≠1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，解题时要先确认方程的类型限制，再结合判别式计算取值范围。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值范围，需同时满足两个要求：① 该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式Δ＞0。分别求解两个要求对应的不等式，取公共解集即可得到a的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$a-1≠0$，解得$a≠1$。
第二步：根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，有两个不相等的实数根时$\Delta = b^2-4ac＞0$。
本方程中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1＞0$
计算化简：
$4 - 4(a-1) ＞ 0$
$4 -4a +4 ＞0$
$8-4a＞0$
解得$a＜2$。
综合两个条件，a的取值范围是$a＜2$且$a≠1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，解题时要先确认方程的类型限制，再结合判别式计算取值范围。
【难度系数】
0.7
10.对于形如$x^2 + ax = b^2(a＞0,b＞0)$的方程,有一种图解法:画$\mathrm{Rt}△ ABC$,使$∠ ACB=90°$,$BC=\frac{a}{2}$,$AC=b$,再在斜边$AB$上截取$BD=\frac{a}{2}$.则该方程的一个正根是(
A.CD 的长
B.AC 的长
C.AD 的长
D.BC 的长
C
).A.CD 的长
B.AC 的长
C.AD 的长
D.BC 的长
答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过数形结合的思路，将方程的根和几何图形的线段长度对应起来：首先设待求的方程正根为某条线段的长，再利用直角三角形的勾股定理建立边长的等量关系，化简后对比题目给出的方程，就能判断哪条线段的长是方程的正根。首先观察图形可知斜边AB由AD和BD两段组成，BD长度已知为$\frac{a}{2}$，我们可以设AD的长为$x$，再代入勾股定理推导即可。
【解析】
设$AD$的长为$x$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=b$，$BC=\frac{a}{2}$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
又因为$AB = AD + BD$，且$BD=\frac{a}{2}$，所以$AB = x + \frac{a}{2}$，代入上式得：
$b^2 + (\frac{a}{2})^2 = (x + \frac{a}{2})^2$
将右边展开：$(x + \frac{a}{2})^2 = x^2 + ax + (\frac{a}{2})^2$
两边同时减去$(\frac{a}{2})^2$，化简得：
$b^2 = x^2 + ax$，即$x^2 + ax = b^2$
可见$x$（即$AD$的长）就是方程$x^2 + ax = b^2$的一个正根。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的根
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数方程的求解和几何图形的边长计算相结合，核心考察勾股定理的运用和对方程根的含义的理解，只要能正确建立线段间的等量关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以通过数形结合的思路，将方程的根和几何图形的线段长度对应起来：首先设待求的方程正根为某条线段的长，再利用直角三角形的勾股定理建立边长的等量关系，化简后对比题目给出的方程，就能判断哪条线段的长是方程的正根。首先观察图形可知斜边AB由AD和BD两段组成，BD长度已知为$\frac{a}{2}$，我们可以设AD的长为$x$，再代入勾股定理推导即可。
【解析】
设$AD$的长为$x$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=b$，$BC=\frac{a}{2}$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
又因为$AB = AD + BD$，且$BD=\frac{a}{2}$，所以$AB = x + \frac{a}{2}$，代入上式得：
$b^2 + (\frac{a}{2})^2 = (x + \frac{a}{2})^2$
将右边展开：$(x + \frac{a}{2})^2 = x^2 + ax + (\frac{a}{2})^2$
两边同时减去$(\frac{a}{2})^2$，化简得：
$b^2 = x^2 + ax$，即$x^2 + ax = b^2$
可见$x$（即$AD$的长）就是方程$x^2 + ax = b^2$的一个正根。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的根
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数方程的求解和几何图形的边长计算相结合，核心考察勾股定理的运用和对方程根的含义的理解，只要能正确建立线段间的等量关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
