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8.如图，小明设计了一个长 30 cm、宽 20 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条与竖彩条的宽度比为 2：3.如果彩条所占面积为 216 cm²，则竖彩条的宽度是
3 cm
.答案
8.3 cm
解析
【分析】
解题时先根据横、竖彩条的宽度比设未知数，将分散的空白区域拼接成一个规则的新矩形，利用“空白区域面积=原矩形总面积-彩条所占面积”的等量关系列一元二次方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设横彩条的宽度为$2x\ \mathrm{cm}$，则竖彩条的宽度为$3x\ \mathrm{cm}$。
原矩形图案的总面积为：$30×20=600\ (\mathrm{cm}^2)$
空白区域的面积为：$600-216=384\ (\mathrm{cm}^2)$
将空白区域拼接后得到的新矩形长为$(30-2×3x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(20-2×2x)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积公式列方程：
$(30-6x)(20-4x)=384$
展开并整理得：
$24x^2-240x+600=384$
$x^2-10x+9=0$
因式分解得：$(x-1)(x-9)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=9$
检验：当$x=9$时，$30-6x=30-54=-24＜0$，不符合实际，舍去；
当$x=1$时，$30-6x=24＞0$，$20-4x=16＞0$，符合题意。
则竖彩条的宽度为$3x=3×1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{3\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于生活实际类的方程应用问题，通过拼接空白区域将不规则的面积计算转化为规则矩形的面积计算，降低了解题难度，解题时要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据横、竖彩条的宽度比设未知数，将分散的空白区域拼接成一个规则的新矩形，利用“空白区域面积=原矩形总面积-彩条所占面积”的等量关系列一元二次方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设横彩条的宽度为$2x\ \mathrm{cm}$，则竖彩条的宽度为$3x\ \mathrm{cm}$。
原矩形图案的总面积为：$30×20=600\ (\mathrm{cm}^2)$
空白区域的面积为：$600-216=384\ (\mathrm{cm}^2)$
将空白区域拼接后得到的新矩形长为$(30-2×3x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(20-2×2x)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积公式列方程：
$(30-6x)(20-4x)=384$
展开并整理得：
$24x^2-240x+600=384$
$x^2-10x+9=0$
因式分解得：$(x-1)(x-9)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=9$
检验：当$x=9$时，$30-6x=30-54=-24＜0$，不符合实际，舍去；
当$x=1$时，$30-6x=24＞0$，$20-4x=16＞0$，符合题意。
则竖彩条的宽度为$3x=3×1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{3\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于生活实际类的方程应用问题，通过拼接空白区域将不规则的面积计算转化为规则矩形的面积计算，降低了解题难度，解题时要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
9.已知$x_1$,$x_2$是关于$x$的方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根,且$(x_1+1)(x_2+1)=4$.
(1)证明:无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)求$(x_1-x_2)^2$的值.
(1)证明:无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)求$(x_1-x_2)^2$的值.
答案
9.(1)证明:$\because \Delta=(2k)^2-4×2(k-1)=4(k-1)^2≥0$,
$\therefore$无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=-k,x_1x_2=\frac{k-1}{2}$,
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4,\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$,即$\frac{k-1}{2}+(-k)+1=4$,解得$k=-7$.
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=65$.
$\therefore$无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=-k,x_1x_2=\frac{k-1}{2}$,
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4,\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$,即$\frac{k-1}{2}+(-k)+1=4$,解得$k=-7$.
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=65$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有实数根，只需验证方程的判别式Δ≥0即可。先确定方程的各项系数，代入判别式公式计算，判断其取值范围即可完成证明。
(2) 求$(x_1-x_2)^2$的值，可先利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，因此需要先通过根与系数的关系得到两根之和、两根之积关于参数k的表达式，再结合已知条件$(x_1+1)(x_2+1)=4$求出k的值，最后将k代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：对于方程$2x^2+2kx+k-1=0$，
判别式$\Delta=(2k)^2-4×2×(k-1)=4(k-1)^2≥0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有实数根。
(2) $\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根，
$\therefore$由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$，
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4$，展开得$x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$，
将$x_1+x_2=-k$、$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$代入得：$\frac{k-1}{2}-k+1=4$，
解得$k=-7$。
又$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入$k=-7$得：
$(x_1-x_2)^2=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=49+16=65$。
【答案】
(1) 证明成立，无论k取何值，方程总有实数根；
(2) $\boxed{65}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式变形求值
【点评】
本题属于一元二次方程的常规考题，解题的关键是熟练掌握根的判别式的作用和韦达定理的用法，结合已知条件求出参数后，代入变形后的目标式即可求解，需注意完全平方公式变形的正确性。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明一元二次方程总有实数根，只需验证方程的判别式Δ≥0即可。先确定方程的各项系数，代入判别式公式计算，判断其取值范围即可完成证明。
(2) 求$(x_1-x_2)^2$的值，可先利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，因此需要先通过根与系数的关系得到两根之和、两根之积关于参数k的表达式，再结合已知条件$(x_1+1)(x_2+1)=4$求出k的值，最后将k代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：对于方程$2x^2+2kx+k-1=0$，
判别式$\Delta=(2k)^2-4×2×(k-1)=4(k-1)^2≥0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有实数根。
(2) $\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根，
$\therefore$由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$，
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4$，展开得$x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$，
将$x_1+x_2=-k$、$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$代入得：$\frac{k-1}{2}-k+1=4$，
解得$k=-7$。
又$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入$k=-7$得：
$(x_1-x_2)^2=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=49+16=65$。
【答案】
(1) 证明成立，无论k取何值，方程总有实数根；
(2) $\boxed{65}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式变形求值
【点评】
本题属于一元二次方程的常规考题，解题的关键是熟练掌握根的判别式的作用和韦达定理的用法，结合已知条件求出参数后，代入变形后的目标式即可求解，需注意完全平方公式变形的正确性。
【难度系数】
0.8
10.用58 m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为$a$ m的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1 m，设与墙垂直的一边的长为$x$ m.
(1)当$a=42$时，矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，求$x$.
(2)若矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，且$x$的值只能取一个，求$a$的取值范围.
(1)当$a=42$时，矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，求$x$.
(2)若矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，且$x$的值只能取一个，求$a$的取值范围.
答案
10.(1)与墙垂直的边长为$x$ m,则与墙平行的边长为$(58-2x+2)$ m.
根据题意,得$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40＜42$,符合题意;当$x=20$时,$58-2x+2=20＜42$,符合题意.
$\therefore x=20$或10.
(2)令$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40$;当$x=20$时,$58-2x+2=20$.
$\because x$的值只能取一个,$\therefore 20≤ a＜40$.
根据题意,得$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40＜42$,符合题意;当$x=20$时,$58-2x+2=20＜42$,符合题意.
$\therefore x=20$或10.
(2)令$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40$;当$x=20$时,$58-2x+2=20$.
$\because x$的值只能取一个,$\therefore 20≤ a＜40$.
解析
【分析】
(1) 解题时先梳理矩形边长的数量关系：与墙垂直的边共2条，每条长为$x$m；与墙平行的一边有2扇宽1m的门，因此平行边的总长度为竹栅栏总长加上2扇门的宽度再减去2条垂直边的长度，即$(58+2-2x)$m。再根据矩形面积公式列方程求解，最后验证平行边长度不超过墙长$a=42$m，筛选出符合实际的解。
(2) 先求解面积对应的一元二次方程，得到两个$x$的解，对应两个不同的平行边长度。$x$只能取一个，说明其中一个平行边长度超过墙长$a$、不符合实际要求，由此推导$a$的取值范围即可。
【解析】
(1) 设与墙垂直的边长为$x$ m，则与墙平行的边长为$(58-2x+2)$ m。
根据矩形面积为$400\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(58-2x+2)=400$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得$(x-10)(x-20)=0$，解得$x_1=20,x_2=10$。
验证：当$x=10$时，平行边长度为$58-2×10+2=40$m，$40＜42$，符合题意；
当$x=20$时，平行边长度为$58-2×20+2=20$m，$20＜42$，符合题意。
(2) 令$x(58-2x+2)=400$，同理解得$x_1=20,x_2=10$。
当$x=10$时，对应平行边长度为$40$m；当$x=20$时，对应平行边长度为$20$m。
若$x$的值只能取一个，说明仅其中一组边长符合墙长限制：当$20≤ a＜40$时，长度为40m的平行边超过墙长，不符合要求，仅$x=20$符合条件，即$x$只有1个解。
【答案】
(1) $x$的值为10或20；
(2) $a$的取值范围是$20≤ a＜40$。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题时要注意结合实际情况梳理边长关系，求解后需验证结果是否符合实际限制条件，第二问需要根据解的唯一性反向推导参数范围，兼顾数学计算和实际意义即可正确求解。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先梳理矩形边长的数量关系：与墙垂直的边共2条，每条长为$x$m；与墙平行的一边有2扇宽1m的门，因此平行边的总长度为竹栅栏总长加上2扇门的宽度再减去2条垂直边的长度，即$(58+2-2x)$m。再根据矩形面积公式列方程求解，最后验证平行边长度不超过墙长$a=42$m，筛选出符合实际的解。
(2) 先求解面积对应的一元二次方程，得到两个$x$的解，对应两个不同的平行边长度。$x$只能取一个，说明其中一个平行边长度超过墙长$a$、不符合实际要求，由此推导$a$的取值范围即可。
【解析】
(1) 设与墙垂直的边长为$x$ m，则与墙平行的边长为$(58-2x+2)$ m。
根据矩形面积为$400\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(58-2x+2)=400$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得$(x-10)(x-20)=0$，解得$x_1=20,x_2=10$。
验证：当$x=10$时，平行边长度为$58-2×10+2=40$m，$40＜42$，符合题意；
当$x=20$时，平行边长度为$58-2×20+2=20$m，$20＜42$，符合题意。
(2) 令$x(58-2x+2)=400$，同理解得$x_1=20,x_2=10$。
当$x=10$时，对应平行边长度为$40$m；当$x=20$时，对应平行边长度为$20$m。
若$x$的值只能取一个，说明仅其中一组边长符合墙长限制：当$20≤ a＜40$时，长度为40m的平行边超过墙长，不符合要求，仅$x=20$符合条件，即$x$只有1个解。
【答案】
(1) $x$的值为10或20；
(2) $a$的取值范围是$20≤ a＜40$。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题时要注意结合实际情况梳理边长关系，求解后需验证结果是否符合实际限制条件，第二问需要根据解的唯一性反向推导参数范围，兼顾数学计算和实际意义即可正确求解。
【难度系数】
0.6
