登录
8.如图，小明设计了一个长 30 cm、宽 20 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条与竖彩条的宽度比为 2：3.如果彩条所占面积为 216 cm²，则竖彩条的宽度是
3 cm
.答案
8.3 cm
解析
【分析】
本题可通过设元结合矩形面积公式列方程求解，解题思路如下：1. 根据横、竖彩条宽度比2:3设未知数，简化计算；2. 把所有空白区域拼接为一个新的规则矩形，分别表示出该矩形的长和宽：两竖彩条总宽度为2倍竖彩条宽度，因此空白矩形长=原长-两竖彩条总宽度；两横彩条总宽度为2倍横彩条宽度，因此空白矩形宽=原宽-两横彩条总宽度；3. 利用“空白面积=总面积-彩条面积”的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
设横彩条的宽度为$2x\ \mathrm{cm}$，则竖彩条的宽度为$3x\ \mathrm{cm}$。
图案的总面积为：$30×20=600\ \mathrm{cm}^2$
空白部分的面积为：$600-216=384\ \mathrm{cm}^2$
拼接后的空白矩形长为$(30-2×3x)=(30-6x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(20-2×2x)=(20-4x)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积公式列方程：
$(30-6x)(20-4x)=384$
展开整理得：
$24x^2-240x+216=0$
两边同除以24化简得：
$x^2-10x+9=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=9$。
当$x=9$时，竖彩条宽度$3x=27\ \mathrm{cm}＞20\ \mathrm{cm}$，不符合实际情况，舍去；
当$x=1$时，竖彩条宽度$3x=3\ \mathrm{cm}$，符合题意。
【答案】
3 cm
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何面积类的一元二次方程应用题，核心解题技巧是将分散的空白区域拼接为规则图形简化计算，求解后要注意检验根是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
本题可通过设元结合矩形面积公式列方程求解，解题思路如下：1. 根据横、竖彩条宽度比2:3设未知数，简化计算；2. 把所有空白区域拼接为一个新的规则矩形，分别表示出该矩形的长和宽：两竖彩条总宽度为2倍竖彩条宽度，因此空白矩形长=原长-两竖彩条总宽度；两横彩条总宽度为2倍横彩条宽度，因此空白矩形宽=原宽-两横彩条总宽度；3. 利用“空白面积=总面积-彩条面积”的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
设横彩条的宽度为$2x\ \mathrm{cm}$，则竖彩条的宽度为$3x\ \mathrm{cm}$。
图案的总面积为：$30×20=600\ \mathrm{cm}^2$
空白部分的面积为：$600-216=384\ \mathrm{cm}^2$
拼接后的空白矩形长为$(30-2×3x)=(30-6x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(20-2×2x)=(20-4x)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积公式列方程：
$(30-6x)(20-4x)=384$
展开整理得：
$24x^2-240x+216=0$
两边同除以24化简得：
$x^2-10x+9=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-9)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=9$。
当$x=9$时，竖彩条宽度$3x=27\ \mathrm{cm}＞20\ \mathrm{cm}$，不符合实际情况，舍去；
当$x=1$时，竖彩条宽度$3x=3\ \mathrm{cm}$，符合题意。
【答案】
3 cm
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何面积类的一元二次方程应用题，核心解题技巧是将分散的空白区域拼接为规则图形简化计算，求解后要注意检验根是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
9.已知$x_1$,$x_2$是关于$x$的方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根,且$(x_1+1)(x_2+1)=4$.
(1)证明:无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)求$(x_1-x_2)^2$的值.
(1)证明:无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)求$(x_1-x_2)^2$的值.
答案
9.(1)证明:$\because \Delta=(2k)^2-4×2(k-1)=4(k-1)^2≥0$,
$\therefore$无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=-k,x_1x_2=\frac{k-1}{2}$,
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4,\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$,即$\frac{k-1}{2}+(-k)+1=4$,解得$k=-7$.
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=65$.
$\therefore$无论$x$取何值,方程总有实数根.
(2)$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=-k,x_1x_2=\frac{k-1}{2}$,
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4,\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$,即$\frac{k-1}{2}+(-k)+1=4$,解得$k=-7$.
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=65$.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有实数根，只需验证其判别式Δ恒大于等于0即可。先根据方程的二次项系数、一次项系数、常数项写出判别式的表达式，化简后判断取值范围就能得出结论。
(2)要求$(x_1-x_2)^2$的值，首先利用根与系数的关系，用含k的代数式表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$；再将已知条件$(x_1+1)(x_2+1)=4$展开，代入两根和、两根积的表达式，解出k的值；最后利用完全平方公式的变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入k的值计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：对于方程$2x^2+2kx+k-1=0$，判别式
$\Delta=(2k)^2-4×2(k-1)=4(k-1)^2≥0$，
$\therefore$无论k取何值，方程总有实数根。
(2)解：$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根，
$\therefore$由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$，
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4$，展开得$x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$，
代入得：$\frac{k-1}{2}+(-k)+1=4$，解得$k=-7$。
又$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入数值计算：
原式$=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=49+16=65$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$65$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规考查题型，重点考察根的判别式的意义和韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握相关公式，注意代数式变形和计算过程的符号问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
(1)要证明一元二次方程总有实数根，只需验证其判别式Δ恒大于等于0即可。先根据方程的二次项系数、一次项系数、常数项写出判别式的表达式，化简后判断取值范围就能得出结论。
(2)要求$(x_1-x_2)^2$的值，首先利用根与系数的关系，用含k的代数式表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$；再将已知条件$(x_1+1)(x_2+1)=4$展开，代入两根和、两根积的表达式，解出k的值；最后利用完全平方公式的变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入k的值计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：对于方程$2x^2+2kx+k-1=0$，判别式
$\Delta=(2k)^2-4×2(k-1)=4(k-1)^2≥0$，
$\therefore$无论k取何值，方程总有实数根。
(2)解：$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+2kx+k-1=0$的两个根，
$\therefore$由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=\frac{k-1}{2}$，
$\because (x_1+1)(x_2+1)=4$，展开得$x_1x_2+(x_1+x_2)+1=4$，
代入得：$\frac{k-1}{2}+(-k)+1=4$，解得$k=-7$。
又$\because (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
代入数值计算：
原式$=(-k)^2-4×\frac{k-1}{2}=[-(-7)]^2-4×\frac{-7-1}{2}=49+16=65$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$65$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规考查题型，重点考察根的判别式的意义和韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握相关公式，注意代数式变形和计算过程的符号问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
10.用58 m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为$a$ m的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1 m，设与墙垂直的一边的长为$x$ m.
(1)当$a=42$时，矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，求$x$.
(2)若矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，且$x$的值只能取一个，求$a$的取值范围.
(1)当$a=42$时，矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，求$x$.
(2)若矩形菜园的面积是$400\ \mathrm{m}^2$，且$x$的值只能取一个，求$a$的取值范围.
答案
10.(1)与墙垂直的边长为$x$ m,则与墙平行的边长为$(58-2x+2)$ m.
根据题意,得$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40＜42$,符合题意;当$x=20$时,$58-2x+2=20＜42$,符合题意.
$\therefore x=20$或10.
(2)令$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40$;当$x=20$时,$58-2x+2=20$.
$\because x$的值只能取一个,$\therefore 20≤ a＜40$.
根据题意,得$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40＜42$,符合题意;当$x=20$时,$58-2x+2=20＜42$,符合题意.
$\therefore x=20$或10.
(2)令$x(58-2x+2)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=20,x_2=10$.
当$x=10$时,$58-2x+2=40$;当$x=20$时,$58-2x+2=20$.
$\because x$的值只能取一个,$\therefore 20≤ a＜40$.
解析
【分析】
(1) 解第一问时，首先明确边长的表示方法：与墙垂直的边长为x m，两侧垂直边共占用栅栏2x m，总栅栏长58 m，平行于墙的一侧有2扇宽1m的门（门无需栅栏），因此平行于墙的边长为$(58-2x+2×1)m=(60-2x)m$。再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证平行于墙的边长是否不超过墙长$a=42$，符合条件的解即为所求。
(2) 解第二问时，先得到第一问方程的两个解，分别计算两个解对应的平行于墙的边长；若x只能取一个，说明其中一个解对应的平行边长超过墙长a，不符合实际要求，仅一个解有效，据此推导a的取值范围即可。
【解析】
(1) 设与墙垂直的边长为x m，则与墙平行的边长为$(58-2x+2)=(60-2x)m$。
根据矩形面积为$400\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x(60-2x)=400$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
验证：
当$x=10$时，平行边长为$60-2×10=40\ \mathrm{m}$，$40＜42$，符合题意；
当$x=20$时，平行边长为$60-2×20=20\ \mathrm{m}$，$20＜42$，符合题意。
(2) 由(1)可得方程的解为$x_1=10$，$x_2=20$：
当$x=10$时，对应平行边长为$40\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，对应平行边长为$20\ \mathrm{m}$。
∵x的值只能取一个，说明仅一个解对应的平行边长≤a：
当$20≤a＜40$时，$x=10$对应的平行边长$40＞a$，不符合要求，舍去，仅$x=20$符合条件，满足x只能取一个的要求。
【答案】
(1) $x$的值为10或20；
(2) $a$的取值范围是$20≤a＜40$。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的应用，解题关键是正确结合门的宽度表示出平行于墙的边长，同时要注意墙长对边长的限制，所有解都要验证是否符合实际要求；第二问需结合解的唯一性分析参数范围，注意临界值的取舍即可避免出错。
【难度系数】
0.6
(1) 解第一问时，首先明确边长的表示方法：与墙垂直的边长为x m，两侧垂直边共占用栅栏2x m，总栅栏长58 m，平行于墙的一侧有2扇宽1m的门（门无需栅栏），因此平行于墙的边长为$(58-2x+2×1)m=(60-2x)m$。再根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证平行于墙的边长是否不超过墙长$a=42$，符合条件的解即为所求。
(2) 解第二问时，先得到第一问方程的两个解，分别计算两个解对应的平行于墙的边长；若x只能取一个，说明其中一个解对应的平行边长超过墙长a，不符合实际要求，仅一个解有效，据此推导a的取值范围即可。
【解析】
(1) 设与墙垂直的边长为x m，则与墙平行的边长为$(58-2x+2)=(60-2x)m$。
根据矩形面积为$400\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x(60-2x)=400$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
验证：
当$x=10$时，平行边长为$60-2×10=40\ \mathrm{m}$，$40＜42$，符合题意；
当$x=20$时，平行边长为$60-2×20=20\ \mathrm{m}$，$20＜42$，符合题意。
(2) 由(1)可得方程的解为$x_1=10$，$x_2=20$：
当$x=10$时，对应平行边长为$40\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，对应平行边长为$20\ \mathrm{m}$。
∵x的值只能取一个，说明仅一个解对应的平行边长≤a：
当$20≤a＜40$时，$x=10$对应的平行边长$40＞a$，不符合要求，舍去，仅$x=20$符合条件，满足x只能取一个的要求。
【答案】
(1) $x$的值为10或20；
(2) $a$的取值范围是$20≤a＜40$。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的应用，解题关键是正确结合门的宽度表示出平行于墙的边长，同时要注意墙长对边长的限制，所有解都要验证是否符合实际要求；第二问需结合解的唯一性分析参数范围，注意临界值的取舍即可避免出错。
【难度系数】
0.6
