1.抛物线$y=-2x^2$经过平移后得到抛物线$y=-2(x+2)^2-3$，则平移的方法是（）。

A.先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度

1.A

【分析】
二次函数图象平移时仅改变位置，不改变形状、大小和开口方向，解题有两种常用思路：一是利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀直接分析解析式变化；二是通过对比平移前后抛物线的顶点坐标变化，顶点的平移路径就是抛物线的平移路径，两种方法都能快速得到平移方式。
【解析】
方法1：用平移规律分析
二次函数平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则：
原抛物线为$y=-2x^2$，平移后变为$y=-2(x+2)^2-3$：
① 自变量$x$替换为$x+2$，符合“左加”规则，说明向左平移2个单位长度；
② 解析式末尾减去3，符合“下减”规则，说明再向下平移3个单位长度。
方法2：用顶点坐标分析
抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$：
原抛物线$y=-2x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后抛物线$y=-2(x+2)^2-3$的顶点为$(-2,-3)$。
顶点从$(0,0)$到$(-2,-3)$，横坐标减少2即向左平移2个单位，纵坐标减少3即向下平移3个单位。
综上平移方法对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题，核心是牢记平移口诀，注意“左加右减”是针对自变量$x$的变化，结合顶点坐标分析可以有效避免混淆平移方向。
【难度系数】
0.8

2.二次函数$y=x^2 -2x -2024$的图象上有两点$A(a,-1),B(b,-1)$，则$a^2 +2b +1$的值等于().

A.2 028
B.2 027
C.2 026
D.2 025

2.A

【分析】
点A、B的纵坐标均为-1，说明两点是直线y=-1与二次函数图象的交点，横坐标a、b是方程$x^2-2x-2024=-1$的两个根。首先整理方程得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系可得$a+b$的值，再根据方程根的定义得到$a^2$与a的等量关系，最后将待求式通过代换转化为含$a+b$的式子，整体代入即可求出结果，无需计算a、b的具体值。
【解析】
解：
∵$A(a,-1)$、$B(b,-1)$在二次函数$y=x^2-2x-2024$的图象上，
∴将$y=-1$代入函数解析式得：
$x^2 - 2x -2024 = -1$
整理得：$x^2 -2x -2023 = 0$
由题意可知a、b是该一元二次方程的两个实数根，
根据根与系数的关系得：$a + b = 2$ ①
又
∵a是方程的根，代入方程得：$a^2 -2a -2023 = 0$，即$a^2 = 2a + 2023$ ②
将②代入待求式$a^2 +2b +1$：
$\begin{aligned}原式&= (2a + 2023) + 2b +1 \\&= 2a + 2b + 2024 \\&= 2(a + b) + 2024\end{aligned}$
把①代入得：$2×2 + 2024 = 2028$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的结合应用，解题的核心是利用函数图象上点的坐标特征建立方程，再通过整体代换的思想简化计算，避免求解根的具体值，减少计算量。
【难度系数】
0.7

3.抛物线$y=-6(x-3)^2 -4$上有三点$A(-1,y_1),B(3,y_2),C(5,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为()。

A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$

3.A

【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先需明确该二次函数的图象性质：先从顶点式中确定开口方向、对称轴，开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，后续只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可比较出$y_1、y_2、y_3$的大小。
【解析】
对于抛物线$y=-6(x-3)^2 -4$：
1. 由二次项系数$a=-6＜0$，可知抛物线开口向下，且对称轴为直线$x=3$，开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越近，函数值越大；
2. 计算各点横坐标到对称轴$x=3$的距离：
点$A(-1,y_1)$到$x=3$的距离：$\vert -1-3\vert=4$
点$B(3,y_2)$到$x=3$的距离：$\vert 3-3\vert=0$
点$C(5,y_3)$到$x=3$的距离：$\vert 5-3\vert=2$
3. 距离大小关系为$0＜2＜4$，因此对应函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题，解题核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，利用“开口向下时，点到对称轴距离越近函数值越大”的规律即可快速解题，无需代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.75

4.点$(m,n)$在二次函数$y=-x^2 +4$的图象上，则$m+n$的最大值是().

A.4
B.8
C.$\frac{17}{4}$
D.$\frac{15}{4}$

4.C

【分析】
要解决这道题，首先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将n用含m的代数式表示，把m+n转化为仅关于m的二次函数，再通过配方法结合二次函数开口方向求最大值即可。
【解析】
∵ 点$(m,n)$在二次函数$y=-x^2 +4$的图象上，
∴ 将$x=m,y=n$代入函数解析式得：$n=-m^2 +4$，
代入$m+n$可得：
$\begin{aligned}m+n&=m+(-m^2+4)\\&=-m^2+m+4\end{aligned}$
对上述式子配方变形：
$\begin{aligned}-m^2+m+4&=-(m^2-m)+4\\&=-[m^2-m+(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}]+4\\&=-(m-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}+4\\&=-(m-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}\end{aligned}$
∵ 该二次函数的二次项系数为$-1＜0$，函数图象开口向下，
∴ 当$m=\frac{1}{2}$时，$m+n$取得最大值，最大值为$\frac{17}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数最值求解
3. 配方法应用
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心是通过代入消元将双变量最值问题转化为单变量的二次函数最值问题，掌握二次函数的基本性质和配方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

5.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示.
(1)$a$ $0$,$b$ $0$,$c$ $0$.
(2)$b^2-4ac$ $0$,$-\dfrac{b}{2a}=$ .
(3)$a+b+c$ $0$,$a-b+c$ $0$.
(4)$3a+c$ $0$,$a+b$ $m(am+b)(m≠1)$.

5.(1)＜ ＞ ＞ (2)＞ 1 (3)＞ ＜ (4)＜ ＞

【分析】
解决此类问题需要结合二次函数的图象特征，对应其性质逐步推导：
1. 先由开口方向判断a的符号，结合对称轴公式判断b的符号，由图象与y轴的交点判断c的符号；
2. 由图象与x轴的交点个数判断判别式的符号，对称轴可直接从图象读取；
3. 特殊点的函数值：x取1时函数值为$a+b+c$，x取-1时函数值为$a-b+c$，观察对应点的纵坐标正负即可判断；
4. 利用对称轴得到b和a的关系，代入相关式子化简判断；比较$a+b$和$m(am+b)$时，可转化为比较x=1和x=m处的函数值，结合开口向下时顶点为最高点的性质判断即可。
【解析】
(1) ①抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
②对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}=1＞0$，又$a＜0$，可得$-b＜0$，即$b＞0$；
③抛物线与y轴交于正半轴，当x=0时，$y=c＞0$。
(2) ①抛物线与x轴有2个不同的交点，说明方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=b^2-4ac＞0$；
②由图象可知对称轴为虚线$x=1$，
∴$-\dfrac{b}{2a}=1$。
(3) ①当x=1时，函数值$y=a+b+c$，由图象可知x=1处的点在x轴上方，y＞0，
∴$a+b+c＞0$；
②当x=-1时，函数值$y=a-b+c$，由图象可知x=-1处的点在x轴下方，y＜0，
∴$a-b+c＜0$。
(4) ①由$-\dfrac{b}{2a}=1$得$b=-2a$，代入$a-b+c＜0$中：$a-(-2a)+c=3a+c＜0$；
②$m(am+b)=am^2+bm$，将两边同时加c可得$a+b+c$和$am^2+bm+c$，分别对应x=1和x=m时的函数值。因为抛物线开口向下，x=1时函数取得最大值，且$m≠1$，所以$a+b+c＞am^2+bm+c$，两边同时减c得$a+b＞am^2+bm$，即$a+b＞m(am+b)$。
【答案】
(1)＜ ＞ ＞ (2)＞ 1 (3)＞ ＜ (4)＜ ＞
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础综合题，解题核心是从图象中提取开口方向、对称轴、交点坐标等关键信息，结合二次函数的相关性质推导结论，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

6.如果抛物线$C_1:y=ax^2-2x$与抛物线$C_2:y=(x+h)^2+b$关于直线$x=-1$对称，则$h+b$的值为().

A.5
B.4
C.3
D.2

6.D

【分析】
要解决本题，首先明确关于直线对称的两个抛物线形状、开口方向完全相同，因此先确定抛物线$C_1$的二次项系数$a$；其次抛物线对称的本质是顶点的对称，我们可以先将$C_1$配方为顶点式求出其顶点坐标，再根据“关于直线$x=-1$对称的两点，横坐标的平均值为$-1$，纵坐标相等”求出$C_2$的顶点坐标，最后对比$C_2$的顶点式即可求出$h$、$b$的值，进而计算$h+b$。
【解析】
1. 确定$a$的值：
因为抛物线$C_1$与$C_2$关于直线$x=-1$对称，二者开口大小、方向完全相同，$C_2$的二次项系数为$1$，因此$a=1$，即$C_1$的解析式为$y=x^2-2x$。
2. 求$C_1$的顶点坐标：
对$C_1$配方得：$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，因此$C_1$的顶点坐标为$(1,-1)$。
3. 求$C_2$的顶点坐标：
关于直线$x=-1$对称的两点纵坐标相等，横坐标的平均值为$-1$。设$C_2$的顶点横坐标为$x$，则$\frac{1+x}{2}=-1$，解得$x=-3$，因此$C_2$的顶点坐标为$(-3,-1)$。
4. 求$h$、$b$的值：
抛物线$C_2:y=(x+h)^2+b$的顶点坐标为$(-h,b)$，与顶点$(-3,-1)$对应可得：
$\begin{cases}-h=-3\\b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}h=3\\b=-1\end{cases}$。
5. 计算$h+b$：$h+b=3+(-1)=2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式，坐标的轴对称变换，二次函数图象性质
【点评】
本题解题核心是抓住“抛物线对称等价于顶点对称”，结合二次函数顶点式和对称点坐标特征求解，是二次函数性质的典型应用题型，解题时注意顶点式的符号不要出错。
【难度系数】
0.7

7.已知某二次函数的图象顶点坐标为$(1,-4)$，且图象经过点$(3,0)$。将该二次函数的图象向右平移$m(m＞0)$个单位长度，图象经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，在平移后的图象上，当$n-2≤ x≤ n+1$时，函数的最小值为$-3$，则$n$的值是（）。

A.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
C.$-\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{7}{2}$
D.$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{7}{2}$

7.A

【分析】
首先，已知二次函数顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，代入已知经过的点求出原二次函数表达式；再根据二次函数平移“左加右减”的规律写出向右平移m个单位后的解析式，代入平移后经过的点求出m的值，确定平移后的函数解析式；最后令函数值等于-3求出对应的x值，结合给定的x取值范围、二次函数开口方向和对称轴，分情况讨论区间内的最小值，求解n即可。
【解析】
1. 求原二次函数解析式
设原二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点坐标为$(1,-4)$，代入得$y=a(x-1)^2-4$。
将点$(3,0)$代入解析式：
$0=a(3-1)^2-4$，解得$a=1$，即原解析式为$y=(x-1)^2-4$。
2. 求平移后的函数解析式
图象向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”规律，平移后解析式为$y=(x-1-m)^2-4$。
将点$(1,-\frac{15}{4})$代入平移后解析式：
$-\frac{15}{4}=(1-1-m)^2-4$，化简得$m^2=\frac{1}{4}$，结合$m＞0$得$m=\frac{1}{2}$。
因此平移后解析式为$y=(x-\frac{3}{2})^2-4$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，顶点纵坐标为-4。
3. 求n的值
令$y=-3$，得$(x-\frac{3}{2})^2-4=-3$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$。
分三类情况讨论区间$n-2≤x≤n+1$的最小值：
① 当区间在对称轴左侧，即$n+1≤\frac{3}{2}$（$n≤\frac{1}{2}$）时，函数在区间内单调递减，最小值在$x=n+1$处取得，即$n+1=\frac{1}{2}$，解得$n=-\frac{1}{2}$，符合条件；
② 当区间包含对称轴，即$n-2＜\frac{3}{2}＜n+1$（$\frac{1}{2}＜n＜\frac{7}{2}$）时，函数最小值为顶点纵坐标-4，不符合题意，舍去；
③ 当区间在对称轴右侧，即$n-2≥\frac{3}{2}$（$n≥\frac{7}{2}$）时，函数在区间内单调递增，最小值在$x=n-2$处取得，即$n-2=\frac{5}{2}$，解得$n=\frac{9}{2}$，符合条件。
综上，$n=-\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数平移，二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的核心是熟练掌握解析式求解方法和平移规律，难点是结合二次函数单调性对区间最值进行分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6