1.抛物线$y=-2x^2$经过平移后得到抛物线$y=-2(x+2)^2-3$，则平移的方法是（）。

A.先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度

1.A

【分析】
解决二次函数平移问题有两种常用思路：一是通过顶点坐标的变化判断平移方式，因为抛物线平移仅改变位置，顶点随抛物线同步平移，形状、开口大小和方向均不变；二是直接利用平移口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”分析函数解析式的变化。本题可先分别确定原抛物线和平移后抛物线的顶点，对比顶点的平移规律即可得到抛物线的平移方法，也可以直接根据解析式的变化套用口诀快速判断。
【解析】
方法一：利用顶点坐标判断
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
原抛物线$y=-2x^2$可变形为$y=-2(x-0)^2+0$，顶点坐标为$(0,0)$；
平移后抛物线$y=-2(x+2)^2-3$可变形为$y=-2[x-(-2)]^2+(-3)$，顶点坐标为$(-2,-3)$。
对比顶点坐标变化：横坐标从0变为-2，说明向左平移了2个单位长度；纵坐标从0变为-3，说明向下平移了3个单位长度。
方法二：利用平移口诀判断
二次函数平移规律为：自变量$x$加$n$即向左平移$n$个单位，减$n$即向右平移$n$个单位（左加右减）；函数整体加$m$即向上平移$m$个单位，减$m$即向下平移$m$个单位（上加下减）。
原解析式$y=-2x^2$变为$y=-2(x+2)^2-3$，自变量$x$变为$x+2$，说明向左平移2个单位；整体减3，说明向下平移3个单位。
综上，平移方法为先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，牢记平移规律或通过顶点坐标推导都能快速得出答案，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8

2.二次函数$y=x^2 -2x -2024$的图象上有两点$A(a,-1),B(b,-1)$，则$a^2 +2b +1$的值等于().

A.2 028
B.2 027
C.2 026
D.2 025

2.A

【分析】
首先观察到A、B两点纵坐标均为-1，说明两点是二次函数图象与直线y=-1的交点，因此a、b是方程$x^2-2x-2024=-1$的两个实数根。接下来求$a^2+2b+1$的值时，直接解方程求a、b计算量较大，可先利用一元二次方程根的定义将$a^2$降次为含a的一次式，再结合根与系数的关系求出$a+b$的值，整体代入化简后的式子即可得到结果。
【解析】
∵ 点$A(a,-1)$、$B(b,-1)$在二次函数$y=x^2 -2x -2024$的图象上
∴ a、b是方程$x^2 -2x -2024=-1$的两个实数根
整理方程得：$x^2 -2x -2023=0$
由一元二次方程根的定义可知：$a^2 -2a -2023=0$，即$a^2=2a+2023$
根据根与系数的关系，方程$x^2 -2x -2023=0$的两根之和$a+b=-\frac{-2}{1}=2$
将$a^2=2a+2023$代入$a^2 +2b +1$得：
$\begin{aligned}a^2 +2b +1&=2a+2023+2b+1\\&=2(a+b)+2024\end{aligned}$
把$a+b=2$代入上式得：$2×2+2024=2028$
【答案】
A
【知识点】
二次函数点的坐标特征；一元二次方程根与系数关系；代数式化简求值
【点评】
本题综合考查二次函数与一元二次方程的联系，解题核心是利用纵坐标相同的点的特征建立方程，通过降次和整体代入的思想简化计算，避免了直接求解根的繁琐过程，是二次函数相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.65

3.抛物线$y=-6(x-3)^2 -4$上有三点$A(-1,y_1),B(3,y_2),C(5,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为()。

A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$

3.A

【分析】
要比较抛物线上三点的y值大小，可利用二次函数的性质求解：首先观察抛物线解析式为顶点式，先确定其开口方向、对称轴；开口向下的抛物线，离对称轴越近的点对应的y值越大，因此只需计算三个点到对称轴的距离，即可快速比较y值大小，也可直接代入横坐标计算出三个y值再比较。
【解析】
解法1：利用二次函数性质求解
已知抛物线解析式为$y=-6(x-3)^2 -4$，
∵$a=-6＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，
∴当$x=3$时，$y$取得最大值，即$y_2$最大；
点A到对称轴的距离：$\left|-1-3\right|=4$，
点C到对称轴的距离：$\left|5-3\right|=2$，
∵$4＞2$，开口向下时离对称轴越远y值越小，
∴$y_1＜y_3$，
综上可得$y_2＞y_3＞y_1$。
解法2：代入计算法
把$x=-1$代入解析式得：$y_1=-6×(-1-3)^2-4=-6×16-4=-100$，
把$x=3$代入解析式得：$y_2=-6×(3-3)^2-4=-4$，
把$x=5$代入解析式得：$y_3=-6×(5-3)^2-4=-6×4-4=-28$，
∵$-4＞-28＞-100$，
∴$y_2＞y_3＞y_1$。
结合以上，选择A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值大小的关系，用性质判断比直接代入计算更高效，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.8

4.点$(m,n)$在二次函数$y=-x^2 +4$的图象上，则$m+n$的最大值是().

A.4
B.8
C.$\frac{17}{4}$
D.$\frac{15}{4}$

4.C

【分析】
解题时首先利用二次函数图象上的点满足函数解析式的性质，将点的纵坐标n用横坐标m表示，再把m+n转化为仅含m的二次函数表达式，最后利用二次函数求最值的配方法计算最大值即可。
【解析】
∵点$(m,n)$在二次函数$y=-x^2 +4$的图象上
∴将$x=m$，$y=n$代入解析式得：$n=-m^2 +4$
∴$m+n = m + (-m^2 +4) = -m^2 +m +4$
对该式进行配方：
$\begin{aligned}-m^2 +m +4&=-(m^2 -m) +4\\&=-(m^2 -m + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) +4\\&=-(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} +4\\&=-(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{17}{4}\end{aligned}$
∵二次项系数$-1＜0$，函数开口向下
∴当$m=\frac{1}{2}$时，$m+n$取得最大值$\frac{17}{4}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数相关的常考题型，解题核心是通过点与函数图象的关系，将双变量的最值问题转化为单变量的二次函数最值问题，再用配方法求解，整体思路清晰，运算难度不大。
【难度系数】
0.7

5.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示.
(1)$a$ $0$,$b$ $0$,$c$ $0$.
(2)$b^2-4ac$ $0$,$-\dfrac{b}{2a}=$ .
(3)$a+b+c$ $0$,$a-b+c$ $0$.
(4)$3a+c$ $0$,$a+b$ $m(am+b)(m≠1)$.

5.(1)＜ ＞ ＞ (2)＞ 1 (3)＞ ＜ (4)＜ ＞

【分析】
我们根据二次函数的图像性质逐步分析判断：
1. 先判断a、b、c的符号：由开口方向确定a的符号，结合对称轴位置用“左同右异”判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号；
2. 判别式的符号由抛物线与x轴的交点个数确定，对称轴可直接从图像读取；
3. 含a、b、c的代数式可通过代入特殊x值（x=1、x=-1），结合对应点的位置判断符号；
4. 先通过对称轴公式得到b与a的关系，再对代数式转化判断大小，利用二次函数的最值性质比较a+b和m(am+b)的大小。
【解析】
(1) ①抛物线开口向下，因此$a＜0$；
②对称轴为直线$x=1＞0$，结合$a＜0$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}＞0$可得$b＞0$；
③抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。
(2) ①抛物线与x轴有2个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$；
②由图像可直接读出对称轴为直线$x=1$，因此$-\frac{b}{2a}=1$。
(3) ①当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图像可知$x=1$时抛物线在x轴上方，$y＞0$，因此$a+b+c＞0$；
②当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图像可知$x=-1$时抛物线在x轴下方，$y＜0$，因此$a-b+c＜0$。
(4) ①由$-\frac{b}{2a}=1$得$b=-2a$，代入$a-b+c$可得$a-b+c=a-(-2a)+c=3a+c$，结合$x=-1$时$y=a-b+c＜0$，可得$3a+c＜0$；
②$x=1$时二次函数取得最大值，因此对任意$m≠1$，都有$a+b+c＞am^2+bm+c$，两边同时减去$c$，可得$a+b＞am^2+bm=m(am+b)$。
【答案】
(1)$＜$；$＞$；$＞$
(2)$＞$；$1$
(3)$＞$；$＜$
(4)$＜$；$＞$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是建立图像特征与代数式的对应关系，需要熟练掌握特殊值代入、对称轴公式应用、最值性质等方法，能有效考查对二次函数性质的理解和转化能力。
【难度系数】
0.7

6.如果抛物线$C_1:y=ax^2-2x$与抛物线$C_2:y=(x+h)^2+b$关于直线$x=-1$对称，则$h+b$的值为().

A.5
B.4
C.3
D.2

6.D

【分析】
要解决这道题，我们可以利用二次函数图象对称的性质思考：①关于直线对称的两个抛物线，开口大小和方向完全相同，因此二次项系数相等；②两个抛物线的顶点也关于这条对称轴对称。因此我们可以先确定a的值，再求出抛物线$C_1$的顶点，算出该顶点关于直线$x=-1$对称的点，即为抛物线$C_2$的顶点，最后结合$C_2$的顶点式求出h、b的值，计算$h+b$即可。
【解析】
1. 确定a的值：
抛物线$C_2$的二次项系数为1，由于$C_1$与$C_2$关于直线$x=-1$对称，开口大小和方向一致，因此$C_1$的二次项系数$a=1$。
2. 求$C_1$的顶点坐标：
将$C_1$的解析式化为顶点式：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
因此$C_1$的顶点坐标为$(1, -1)$。
3. 求$C_1$顶点关于直线$x=-1$对称的点，即$C_2$的顶点坐标：
关于直线$x=-1$对称的点，纵坐标不变，横坐标满足：两点横坐标的平均数为-1。
设对称后的顶点横坐标为$x_0$，则$\frac{1+x_0}{2}=-1$，解得$x_0=-3$，纵坐标不变仍为-1，因此$C_2$的顶点坐标为$(-3, -1)$。
4. 求h、b的值：
抛物线$C_2$的顶点式为$y=(x+h)^2+b$，其顶点坐标为$(-h, b)$，与$C_2$的顶点$(-3,-1)$对应相等，可得：
$-h=-3$，即$h=3$；$b=-1$。
5. 计算$h+b$：
$h+b=3+(-1)=2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，对称点的坐标特征，二次函数的顶点式
【点评】
本题重点考查二次函数对称性的应用，解题核心是抓住“对称的两个二次函数顶点也关于对称轴对称、二次项系数相同”这两个关键性质，结合顶点式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

7.已知某二次函数的图象顶点坐标为$(1,-4)$，且图象经过点$(3,0)$。将该二次函数的图象向右平移$m(m＞0)$个单位长度，图象经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，在平移后的图象上，当$n-2≤ x≤ n+1$时，函数的最小值为$-3$，则$n$的值是（）。

A.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
C.$-\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{7}{2}$
D.$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{7}{2}$

7.A

【分析】
解题时按照“求原二次函数解析式→求平移后的解析式→分类讨论区间最值求n”的思路逐步求解：①已知顶点坐标，优先设二次函数顶点式，代入已知点求出a的值，得到原函数解析式；②根据“左加右减”的平移规律写出平移m个单位后的解析式，代入已知平移后经过的点求出m的值，确定平移后的函数表达式；③平移后的二次函数开口向上，顶点纵坐标为-4小于-3，因此最小值为-3时不在顶点处取得，需分区间在对称轴左侧、右侧两种情况讨论，分别列方程求解n，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
1. 求原二次函数解析式：
设二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点为$(1,-4)$，则$h=1,k=-4$，解析式为$y=a(x-1)^2-4$。
将点$(3,0)$代入得：$0=a(3-1)^2-4$，解得$4a=4$，$a=1$。
因此原函数解析式为$y=(x-1)^2-4$。
2. 求平移后的函数解析式：
函数向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，平移后解析式为$y=(x-1-m)^2-4$。
已知平移后图象过点$(1,-\frac{15}{4})$，代入得：
$-\frac{15}{4}=(1-1-m)^2-4$
化简得$m^2=4-\frac{15}{4}=\frac{1}{4}$，结合$m＞0$得$m=\frac{1}{2}$。
因此平移后解析式为$y=(x-1-\frac{1}{2})^2-4=(x-\frac{3}{2})^2-4$，该函数开口向上，对称轴为$x=\frac{3}{2}$，顶点纵坐标为$-4＜-3$，故最小值为$-3$时不在顶点处取得。
3. 分类讨论求n的值：
① 当区间$[n-2,n+1]$在对称轴左侧，即$n+1≤\frac{3}{2}$，也就是$n≤\frac{1}{2}$时，函数在区间上单调递减，最小值在$x=n+1$处取得：
$(n+1-\frac{3}{2})^2-4=-3$
化简得$(n-\frac{1}{2})^2=1$，解得$n=\frac{1}{2}\pm1$。结合$n≤\frac{1}{2}$，得$n=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$。
② 当区间$[n-2,n+1]$在对称轴右侧，即$n-2≥\frac{3}{2}$，也就是$n≥\frac{7}{2}$时，函数在区间上单调递增，最小值在$x=n-2$处取得：
$(n-2-\frac{3}{2})^2-4=-3$
化简得$(n-\frac{7}{2})^2=1$，解得$n=\frac{7}{2}\pm1$。结合$n≥\frac{7}{2}$，得$n=\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}$。
若对称轴在区间内部，此时函数最小值为顶点值$-4$，不符合题意，舍去。
综上，$n$的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象平移，二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是先求出平移后的函数解析式，再根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，求解后注意结合范围验证解的合理性，避免出现增解。
【难度系数】
0.6