三、解答题
17.关于x的一元二次方程$x^2 + bx + 8 = 0$有一个根是$x=2$，求b的值及方程的另一个根。

17.$\because x=2$是一元二次方程$x^2 + bx + 8 = 0$的根，$\therefore 2^2 + 2b + 8 = 0$，解得$b=-6$。
当$b=-6$时，原方程为$x^2 -6x +8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
$\therefore b=-6$，方程的另一个根为4。
提示:本题也可以利用根与系数的关系求解。

【分析】
解题可从两个思路入手：①利用一元二次方程根的定义：根代入方程能使等式成立，因此将已知根x=2代入原方程，可求出未知系数b，再把b代回原方程，解一元二次方程即可得到另一个根；②利用根与系数的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$、两根之和为$-\frac{b}{a}$，可先通过两根之积算出另一个根，再通过两根之和求出b，运算更简便。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
∵$x=2$是一元二次方程$x^2 + bx + 8 = 0$的根，
∴将$x=2$代入方程得：$2^2 + 2b + 8 = 0$，
化简得：$12+2b=0$，解得$b=-6$。
把$b=-6$代入原方程，得：$x^2 -6x +8=0$，
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$m$，
对于方程$x^2 + bx + 8 = 0$，$a=1$，$c=8$，由两根之积为$\frac{c}{a}$可得：
$2× m=8$，解得$m=4$。
再由两根之和为$-\frac{b}{a}$可得：$2+4=-b$，解得$b=-6$。
【答案】
$b=-6$，方程的另一个根为4。
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，既可以通过根的定义代入求解，也可以用根与系数的关系简化运算，核心考查对一元二次方程基本性质的掌握。
【难度系数】
0.9

18.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$60°$,得到$△ ADE$,连接$BD$,$BE$.
(1)判断$△ ABD$的形状.
(2)求证:$BE$平分$∠ ABD$.

18.(1)$△ABD$为等边三角形。
(2)证明:由旋转知$AC=AE$，$BC=DE$，$AB=AD$。
$\because AC=BC$，$\therefore AE=DE$，
$\because ∠BAD=60°$，$\therefore AB=BD$，
$\therefore △ABE≌△DBE$(SSS)，
$\therefore ∠ABE=∠DBE$，即$BE$平分$∠ABD$。

【分析】
(1) 判定三角形形状可从边和角的特征入手：由旋转的性质可得旋转后对应边$AB=AD$，且旋转角$∠ BAD=60°$，结合“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”即可得到$△ ABD$的形状。
(2) 要证明$BE$平分$∠ ABD$，本质是证明$∠ ABE=∠ DBE$，可通过证明两角所在的$△ ABE$和$△ DBE$全等来推导。首先根据旋转性质得$AC=AE$、$BC=DE$，结合已知$AC=BC$可推出$AE=DE$；再结合(1)中等边三角形的结论得$AB=BD$，加上公共边$BE=BE$，即可用SSS判定两三角形全等，得到对应角相等完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because$将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$△ ADE$，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=60°$，
$\therefore △ ABD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，故$△ ABD$为等边三角形。
(2) 证明：由旋转的性质可知：$AC=AE$，$BC=DE$，$AB=AD$。
$\because AC=BC$，$\therefore AE=DE$，
$\because ∠ BAD=60°$，$△ ABD$为等边三角形，$\therefore AB=BD$，
在$△ ABE$和$△ DBE$中：
$\begin{cases} AE=DE \\ AB=BD \\ BE=BE \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DBE$（SSS），
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$，即$BE$平分$∠ ABD$。
【答案】
(1)$△ ABD$为等边三角形。
(2)$BE$平分$∠ ABD$，证明成立。
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转变换类基础综合题，解题核心是利用旋转前后对应边、对应角相等的性质，结合等边三角形、全等三角形的判定定理推导线角关系，解题时要注意公共边这类隐含条件的运用，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

19.如图,已知一次函数$y_1=kx+b$的图象与函数$y_2=\dfrac{m}{x}(x＞0)$的图象交于$A(6,-\dfrac{1}{2})$，$B(\dfrac{1}{2},n)$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)求$y_1$与$y_2$的解析式.
(2)将直线$AB$沿$y$轴向上平移$t$个单位长度,刚好与函数$y_2=\dfrac{m}{x}(x＞0)$的图象只有一个交点,求$t$的值.

19.(1)将点$A(6,-\dfrac{1}{2})$代入$y_2=\dfrac{m}{x}$中得$-\dfrac{1}{2}=\dfrac{m}{6}$，$\therefore m=-3$，$\therefore y_2=-\dfrac{3}{x}$。
$\because x=\dfrac{1}{2}$时$y_2=-\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}}=-6$，$\therefore B(\dfrac{1}{2},-6)$。
将点A,B的坐标代入$y_1=kx+b$，得$\begin{cases}\dfrac{1}{2}k+b=-6,\\6k+b=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-\dfrac{13}{2},\end{cases}$
$\therefore y_1=x-\dfrac{13}{2}$。
(2)设将直线AB向上平移$t$个单位长度得到的直线的解析式为$y=x-\dfrac{13}{2}+t$，
联立平移后的直线与函数$y_2$的解析式，得$\begin{cases}y=-\dfrac{3}{x},\\y=x-\dfrac{13}{2}+t,\end{cases}$整理得$x^2+(t-\dfrac{13}{2})x+3=0$，
$\because$两个图象只有一个交点，$\therefore Δ=(t-\dfrac{13}{2})^2 -4×3×1=0$，解得$t=\dfrac{13}{2}±2\sqrt{3}$，
$\because x＞0$，$\therefore \dfrac{-(t-\dfrac{13}{2})±\sqrt{Δ}}{2}=\dfrac{13}{4}-\dfrac{t}{2}＞0$，
$\therefore t=\dfrac{13}{2}-2\sqrt{3}$。

【分析】
（1）求解两个函数解析式时，先利用已知的反比例函数图象上的A点坐标，代入反比例函数表达式求出m，得到反比例函数解析式；再将B点的横坐标代入反比例函数求出纵坐标n，得到完整的B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k、b，即可得到一次函数解析式。
（2）根据一次函数平移“上加下减”的规律，写出向上平移t个单位后的直线解析式；将其与反比例函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，由于两图象只有一个交点，因此该一元二次方程判别式Δ=0，可求出t的两个解；再结合反比例函数自变量x＞0的取值范围，舍去不符合条件的t值即可。
【解析】
(1) 把点$A(6,-\dfrac{1}{2})$代入$y_2=\dfrac{m}{x}$，得$-\dfrac{1}{2}=\dfrac{m}{6}$，解得$m=-3$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y_2=-\dfrac{3}{x}$。
当$x=\dfrac{1}{2}$时，$n=y_2=-\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}}=-6$，$\therefore$ 点B的坐标为$(\dfrac{1}{2},-6)$。
将$A(6,-\dfrac{1}{2})$、$B(\dfrac{1}{2},-6)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases}6k+b=-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}k+b=-6\end{cases}$
两式相减消去b，得$\dfrac{11}{2}k=\dfrac{11}{2}$，解得$k=1$，
把$k=1$代入$6k+b=-\dfrac{1}{2}$，得$6+b=-\dfrac{1}{2}$，解得$b=-\dfrac{13}{2}$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y_1=x-\dfrac{13}{2}$。
(2) 根据直线平移规律，将直线AB沿y轴向上平移t个单位后，所得直线的解析式为$y=x-\dfrac{13}{2}+t$。
联立平移后的直线与反比例函数解析式，得：
$\begin{cases}y=x-\dfrac{13}{2}+t\\y=-\dfrac{3}{x}\end{cases}$
消去y，整理得$x^2+(t-\dfrac{13}{2})x+3=0$。
$\because$ 平移后的直线与$y_2$的图象只有一个交点，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，
$\therefore (t-\dfrac{13}{2})^2 -4×1×3=0$，
解得$t-\dfrac{13}{2}=\pm2\sqrt{3}$，即$t=\dfrac{13}{2}\pm2\sqrt{3}$。
$\because$ 反比例函数自变量$x＞0$，方程的根$x=\dfrac{\dfrac{13}{2}-t}{2}＞0$，
$\therefore \dfrac{13}{2}-t＞0$，即$t＜\dfrac{13}{2}$，
$\therefore t=\dfrac{13}{2}+2\sqrt{3}$不符合题意，舍去，
$\therefore t$的值为$\dfrac{13}{2}-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $y_1=x-\dfrac{13}{2}$，$y_2=-\dfrac{3}{x}$；(2) $t=\dfrac{13}{2}-2\sqrt{3}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于函数综合基础题，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，掌握一次函数平移的规律，同时要注意结合自变量的取值范围对所求参数进行取舍，避免忽略条件出现多解错误。
【难度系数】
0.6