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8.若二次函数$y=-x^2+2x$的函数值大于0，则$x$的取值范围是(
A.$x＜0$或$x＞2$
B.$x＞0$或$x＜-2$
C.$-2＜x＜0$
D.$0＜x＜2$
D
).A.$x＜0$或$x＞2$
B.$x＞0$或$x＜-2$
C.$-2＜x＜0$
D.$0＜x＜2$
答案
8.D
解析
【分析】
要确定二次函数值大于0时x的取值范围，首先需根据题意列出不等式$-x^2+2x＞0$，解题思路如下：第一步先求解对应一元二次方程$-x^2+2x=0$的两个根，第二步结合二次函数的开口方向，判断函数值大于0对应的x区间：因为开口向下的抛物线，x轴上方（y＞0）的部分在两根之间，即可得到解集。
【解析】
由题意得二次函数值大于0，即：
$-x^2 + 2x ＞ 0$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$x^2 - 2x ＜ 0$
对左边因式分解：
$x(x - 2) ＜ 0$
先求对应一元二次方程$x(x-2)=0$的解，得$x_1=0$，$x_2=2$。
又因为二次函数$y=-x^2+2x$的二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，因此函数值大于0的部分对应x轴上方的图像，对应的x取值在两个交点之间，即$0 ＜ x ＜ 2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质，一元二次不等式求解，一元二次方程的根
【点评】
本题考察二次函数与一元二次不等式的结合应用，解题时既可以通过解不等式直接得到结果，也可以借助二次函数图像直观判断解集，是对代数与几何结合能力的基础考察。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数值大于0时x的取值范围，首先需根据题意列出不等式$-x^2+2x＞0$，解题思路如下：第一步先求解对应一元二次方程$-x^2+2x=0$的两个根，第二步结合二次函数的开口方向，判断函数值大于0对应的x区间：因为开口向下的抛物线，x轴上方（y＞0）的部分在两根之间，即可得到解集。
【解析】
由题意得二次函数值大于0，即：
$-x^2 + 2x ＞ 0$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$x^2 - 2x ＜ 0$
对左边因式分解：
$x(x - 2) ＜ 0$
先求对应一元二次方程$x(x-2)=0$的解，得$x_1=0$，$x_2=2$。
又因为二次函数$y=-x^2+2x$的二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，因此函数值大于0的部分对应x轴上方的图像，对应的x取值在两个交点之间，即$0 ＜ x ＜ 2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质，一元二次不等式求解，一元二次方程的根
【点评】
本题考察二次函数与一元二次不等式的结合应用，解题时既可以通过解不等式直接得到结果，也可以借助二次函数图像直观判断解集，是对代数与几何结合能力的基础考察。
【难度系数】
0.8
9.若点$A(a-1,y_1)$，$B(a+1,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$的图象上，且$y_1＞y_2$，则$a$的取值范围是(
A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＜-1$或$a＞1$
B
).A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＜-1$或$a＞1$
答案
9.B
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象性质：图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。首先判断点A、B是否在同一象限：若两点在同一象限，结合$y_1＞y_2$可推出$x_1＞x_2$，但$x_1=a-1$恒小于$x_2=a+1$，矛盾，因此两点必在不同象限。要满足$y_1＞y_2$，则点A需在$y$为正的第二象限，点B在$y$为负的第四象限，由此列出不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
$\therefore$ 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
① 若点A、B在同一象限：
$\because y_1＞y_2$，$\therefore x_1＞x_2$，即$a-1＞a+1$，化简得$-1＞1$，显然不成立，故两点不在同一象限。
② 因此两点在不同象限，结合$y_1＞y_2$可知：
点A在第二象限（$y＞0$），点B在第四象限（$y＜0$），
可得不等式组：$\begin{cases}a-1＜0 \\ a+1＞0\end{cases}$，
解得：$-1＜a＜1$。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断两点所在象限，避免直接套用增减性忽略跨象限的情况导致出错。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象性质：图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。首先判断点A、B是否在同一象限：若两点在同一象限，结合$y_1＞y_2$可推出$x_1＞x_2$，但$x_1=a-1$恒小于$x_2=a+1$，矛盾，因此两点必在不同象限。要满足$y_1＞y_2$，则点A需在$y$为正的第二象限，点B在$y$为负的第四象限，由此列出不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
$\therefore$ 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
① 若点A、B在同一象限：
$\because y_1＞y_2$，$\therefore x_1＞x_2$，即$a-1＞a+1$，化简得$-1＞1$，显然不成立，故两点不在同一象限。
② 因此两点在不同象限，结合$y_1＞y_2$可知：
点A在第二象限（$y＞0$），点B在第四象限（$y＜0$），
可得不等式组：$\begin{cases}a-1＜0 \\ a+1＞0\end{cases}$，
解得：$-1＜a＜1$。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断两点所在象限，避免直接套用增减性忽略跨象限的情况导致出错。
【难度系数】
0.7
10.如图,在圆的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°.若四边形ABCD的面积是S,AC的长是x,则S与x之间的函数解析式是(
A.$S=x^2$
B.$S=\frac{1}{2}x^2$
C.$S=\sqrt{2}x^2$
D.$S=\frac{2}{3}x^2$
B
).A.$S=x^2$
B.$S=\frac{1}{2}x^2$
C.$S=\sqrt{2}x^2$
D.$S=\frac{2}{3}x^2$
答案
10.B
解析
【分析】
本题已知AB=AD，∠BAD=90°，可通过旋转法将△ABC旋转使AB与AD重合，把分散的图形整合。再结合圆内接四边形对角互补的性质，证明旋转后三点共线，进而将四边形ABCD的面积转化为等腰直角三角形的面积，最后用三角形面积公式推导S与x的关系。
【解析】
将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADE。
1. 由旋转的性质可得：△ABC≌△ADE，因此$AC=AE$，$∠BAC=∠DAE$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$。
2. 因为$∠BAD=90°$，所以$∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE=90°$，即△ACE是等腰直角三角形。
3. 因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以$∠ABC+∠ADC=180°$，又$∠ADE=∠ABC$，因此$∠ADE+∠ADC=180°$，可得C、D、E三点共线。
4. 四边形ABCD的面积$S=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ ADC}=S_{△ ACE}$。
等腰直角三角形ACE中，$AC=AE=x$，因此$S_{△ ACE}=\frac{1}{2} × AC × AE=\frac{1}{2}x^2$，即$S=\frac{1}{2}x^2$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用旋转将不规则四边形面积转化为规则等腰直角三角形的面积，需要熟练掌握旋转的性质和圆内接四边形的特征，通过整合图形简化运算。
【难度系数】
0.6
本题已知AB=AD，∠BAD=90°，可通过旋转法将△ABC旋转使AB与AD重合，把分散的图形整合。再结合圆内接四边形对角互补的性质，证明旋转后三点共线，进而将四边形ABCD的面积转化为等腰直角三角形的面积，最后用三角形面积公式推导S与x的关系。
【解析】
将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADE。
1. 由旋转的性质可得：△ABC≌△ADE，因此$AC=AE$，$∠BAC=∠DAE$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$。
2. 因为$∠BAD=90°$，所以$∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE=90°$，即△ACE是等腰直角三角形。
3. 因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以$∠ABC+∠ADC=180°$，又$∠ADE=∠ABC$，因此$∠ADE+∠ADC=180°$，可得C、D、E三点共线。
4. 四边形ABCD的面积$S=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ ADC}=S_{△ ACE}$。
等腰直角三角形ACE中，$AC=AE=x$，因此$S_{△ ACE}=\frac{1}{2} × AC × AE=\frac{1}{2}x^2$，即$S=\frac{1}{2}x^2$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用旋转将不规则四边形面积转化为规则等腰直角三角形的面积，需要熟练掌握旋转的性质和圆内接四边形的特征，通过整合图形简化运算。
【难度系数】
0.6
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，点$P(-3,4)$关于原点对称的点的坐标是
11.在平面直角坐标系中，点$P(-3,4)$关于原点对称的点的坐标是
$(3,-4)$
。答案
11.$(3,-4)$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来我们只需要将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，就能得到其关于原点对称的点的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若点$(x,y)$关于原点对称，则对称点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(-3,4)$，其中横坐标$x=-3$，纵坐标$y=4$，
则横坐标的相反数为$-(-3)=3$，纵坐标的相反数为$-4$，
因此点$P(-3,4)$关于原点对称的点的坐标是$(3,-4)$。
【答案】
$(3,-4)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对原点对称点坐标变化规律的掌握，牢记“关于原点对称，横、纵坐标均变号”的规律即可快速求解，是平面直角坐标系相关知识中的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来我们只需要将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，就能得到其关于原点对称的点的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若点$(x,y)$关于原点对称，则对称点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(-3,4)$，其中横坐标$x=-3$，纵坐标$y=4$，
则横坐标的相反数为$-(-3)=3$，纵坐标的相反数为$-4$，
因此点$P(-3,4)$关于原点对称的点的坐标是$(3,-4)$。
【答案】
$(3,-4)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对原点对称点坐标变化规律的掌握，牢记“关于原点对称，横、纵坐标均变号”的规律即可快速求解，是平面直角坐标系相关知识中的常考基础题。
【难度系数】
0.9
12.若一个长方形的长比宽多2，且面积为80，则宽是
$8$
.答案
12.$8$
解析
【分析】
这是一道方程实际应用类题目，解题思路如下：首先根据长与宽的数量关系设未知数，再结合长方形面积公式列一元二次方程，最后求解方程并结合边长为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到宽的长度。
【解析】
解：设长方形的宽为$x$，则长方形的长比宽多2，因此长为$x+2$。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，结合已知面积为80，可列方程：
$x(x+2)=80$
整理方程得：$x^2+2x-80=0$
因式分解得：$(x+10)(x-8)=0$
解得：$x_1=8，x_2=-10$
由于长方形的宽为正数，因此$x=-10$不符合实际意义，舍去。
综上长方形的宽为8。
【答案】
$8$
【知识点】
一元二次方程的应用，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查将实际问题转化为代数方程求解的能力，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
这是一道方程实际应用类题目，解题思路如下：首先根据长与宽的数量关系设未知数，再结合长方形面积公式列一元二次方程，最后求解方程并结合边长为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到宽的长度。
【解析】
解：设长方形的宽为$x$，则长方形的长比宽多2，因此长为$x+2$。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，结合已知面积为80，可列方程：
$x(x+2)=80$
整理方程得：$x^2+2x-80=0$
因式分解得：$(x+10)(x-8)=0$
解得：$x_1=8，x_2=-10$
由于长方形的宽为正数，因此$x=-10$不符合实际意义，舍去。
综上长方形的宽为8。
【答案】
$8$
【知识点】
一元二次方程的应用，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查将实际问题转化为代数方程求解的能力，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
13.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ C=40°$，则$∠ AOB$的大小是
$110°$
。答案
13.$110°$
解析
【分析】
首先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此AO平分∠BAC，BO平分∠ABC。要求∠AOB的度数，先根据△ABC的内角和求出∠BAC与∠ABC的和，再计算两个角一半的和，最后利用△AOB的内角和为180°，即可求出∠AOB的大小。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴$AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C=180°-40°=140°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$。
在$△ AOB$中，再次使用三角形内角和定理：
$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-70°=110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形内切圆性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是明确三角形内切圆圆心是内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步推导即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
首先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此AO平分∠BAC，BO平分∠ABC。要求∠AOB的度数，先根据△ABC的内角和求出∠BAC与∠ABC的和，再计算两个角一半的和，最后利用△AOB的内角和为180°，即可求出∠AOB的大小。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴$AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C=180°-40°=140°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$。
在$△ AOB$中，再次使用三角形内角和定理：
$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-70°=110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形内切圆性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是明确三角形内切圆圆心是内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步推导即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
14.如图,点 A 在双曲线的一支$y_1=\frac{2}{x}(x＞0)$上,点 B 在双曲线的一支$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$上,$AB// x$轴,点 C 是 x 轴上的点,连接 AC,BC,若$△ ABC$的面积是 6,则 k 的值是
$-10$
.答案
14.$-10$
解析
【分析】
首先观察到AB平行于x轴，可得A、B两点的纵坐标相等，△ABC的高即为A（或B）点的纵坐标长度，底为线段AB的长度。结合反比例函数上的点满足横、纵坐标乘积等于反比例系数的性质，可将AB与高的乘积转化为两个反比例系数的关系式，再代入三角形面积公式即可求出k的值，注意$y_2$的图象在第二象限，k的符号为负。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y)$，点B的坐标为$(x_2,y)$，其中$x_1＞0$，$x_2＜0$，$y＞0$。
∵ 点A在$y_1=\frac{2}{x}(x＞0)$上，
∴ $x_1 y=2$；
∵ 点B在$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$上，
∴ $x_2 y=k$；
∵ $AB// x$轴，
∴ $AB=x_1 - x_2$，△ABC的高为y，
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × y = \frac{1}{2}(x_1 - x_2)y = 6$
展开得：$\frac{1}{2}(x_1 y - x_2 y)=6$
将$x_1 y=2$，$x_2 y=k$代入上式：
$\frac{1}{2}(2 - k)=6$
解得：$2 - k=12$，即$k=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积公式
【点评】
本题将反比例函数的图象性质与三角形面积计算结合考查，解题的关键是利用平行线的性质得到A、B两点纵坐标相等，从而将面积关系转化为反比例系数的关系，解题时需注意反比例函数所在象限对k符号的影响。
【难度系数】
0.6
首先观察到AB平行于x轴，可得A、B两点的纵坐标相等，△ABC的高即为A（或B）点的纵坐标长度，底为线段AB的长度。结合反比例函数上的点满足横、纵坐标乘积等于反比例系数的性质，可将AB与高的乘积转化为两个反比例系数的关系式，再代入三角形面积公式即可求出k的值，注意$y_2$的图象在第二象限，k的符号为负。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y)$，点B的坐标为$(x_2,y)$，其中$x_1＞0$，$x_2＜0$，$y＞0$。
∵ 点A在$y_1=\frac{2}{x}(x＞0)$上，
∴ $x_1 y=2$；
∵ 点B在$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$上，
∴ $x_2 y=k$；
∵ $AB// x$轴，
∴ $AB=x_1 - x_2$，△ABC的高为y，
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × y = \frac{1}{2}(x_1 - x_2)y = 6$
展开得：$\frac{1}{2}(x_1 y - x_2 y)=6$
将$x_1 y=2$，$x_2 y=k$代入上式：
$\frac{1}{2}(2 - k)=6$
解得：$2 - k=12$，即$k=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积公式
【点评】
本题将反比例函数的图象性质与三角形面积计算结合考查，解题的关键是利用平行线的性质得到A、B两点纵坐标相等，从而将面积关系转化为反比例系数的关系，解题时需注意反比例函数所在象限对k符号的影响。
【难度系数】
0.6
15.已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$0＜a＜c$）经过点$(-1,0)$，下列结论：
①抛物线的开口向上.
②$b＞0$.
③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根.
④当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小.
⑤$m$为任意实数，若$c=3a$，则代数式$am^2+bm+c$的最小值是$-a$.
其中正确的是
①抛物线的开口向上.
②$b＞0$.
③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根.
④当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小.
⑤$m$为任意实数，若$c=3a$，则代数式$am^2+bm+c$的最小值是$-a$.
其中正确的是
①②③⑤
（填序号）.答案
15.①②③⑤
解析
【分析】
首先将点$(-1,0)$代入抛物线解析式得到$b=a+c$，结合已知$0＜a＜c$的条件，逐个验证5个结论：①由$a$的符号直接判断开口方向；②根据$a$、$c$均为正数推导$b$的符号；③计算根的判别式$\Delta$，结合$a≠ c$判断$\Delta$的符号；④先求出对称轴的取值范围，再结合开口方向判断$x＜-1$时的增减性；⑤当$c=3a$时，代入得到完整抛物线解析式，计算顶点纵坐标即为代数式的最小值，判断是否符合结论。
【解析】
将点$(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$a-b+c=0$，即$b=a+c$，已知$0＜a＜c$：
1. 验证①：$\because a＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，①正确；
2. 验证②：$\because a＞0,c＞0$，$\therefore b=a+c＞0$，②正确；
3. 验证③：方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$，将$b=a+c$代入得$\Delta=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2$，$\because a＜c$，$\therefore a-c≠0$，$\Delta=(a-c)^2＞0$，方程有两个不相等的实数根，③正确；
4. 验证④：抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+c}{2a}$，$\because c＞a$，$\therefore a+c＞2a$，即$-\frac{a+c}{2a}＜-1$，对称轴在$x=-1$左侧；又抛物线开口向上，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，因此$x＜-1$时存在区间在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，④错误；
5. 验证⑤：若$c=3a$，则$b=a+3a=4a$，抛物线解析式为$y=ax^2+4ax+3a$，$\because a＞0$，函数最小值为顶点纵坐标，代入顶点公式得最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a·3a-(4a)^2}{4a}=\frac{-4a^2}{4a}=-a$，即$am^2+bm+c$的最小值是$-a$，⑤正确。
综上，正确的结论为①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数综合类基础题，需要结合已知条件推导参数间的关系，再结合二次函数的基本性质逐一判断结论，要求熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、增减性、最值以及根的判别式相关知识。
【难度系数】
0.65
首先将点$(-1,0)$代入抛物线解析式得到$b=a+c$，结合已知$0＜a＜c$的条件，逐个验证5个结论：①由$a$的符号直接判断开口方向；②根据$a$、$c$均为正数推导$b$的符号；③计算根的判别式$\Delta$，结合$a≠ c$判断$\Delta$的符号；④先求出对称轴的取值范围，再结合开口方向判断$x＜-1$时的增减性；⑤当$c=3a$时，代入得到完整抛物线解析式，计算顶点纵坐标即为代数式的最小值，判断是否符合结论。
【解析】
将点$(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$a-b+c=0$，即$b=a+c$，已知$0＜a＜c$：
1. 验证①：$\because a＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，①正确；
2. 验证②：$\because a＞0,c＞0$，$\therefore b=a+c＞0$，②正确；
3. 验证③：方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$，将$b=a+c$代入得$\Delta=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2$，$\because a＜c$，$\therefore a-c≠0$，$\Delta=(a-c)^2＞0$，方程有两个不相等的实数根，③正确；
4. 验证④：抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+c}{2a}$，$\because c＞a$，$\therefore a+c＞2a$，即$-\frac{a+c}{2a}＜-1$，对称轴在$x=-1$左侧；又抛物线开口向上，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，因此$x＜-1$时存在区间在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，④错误；
5. 验证⑤：若$c=3a$，则$b=a+3a=4a$，抛物线解析式为$y=ax^2+4ax+3a$，$\because a＞0$，函数最小值为顶点纵坐标，代入顶点公式得最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a·3a-(4a)^2}{4a}=\frac{-4a^2}{4a}=-a$，即$am^2+bm+c$的最小值是$-a$，⑤正确。
综上，正确的结论为①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数综合类基础题，需要结合已知条件推导参数间的关系，再结合二次函数的基本性质逐一判断结论，要求熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、增减性、最值以及根的判别式相关知识。
【难度系数】
0.65
16.如图，点D在△ABC内，∠BDC = 90°，BD = CD，若AB = 20，AC = 21，AD = $\frac{13\sqrt{2}}{2}$，则BC的长是
$\sqrt{337}$
。答案
16.$\sqrt{337}$
解析
【分析】
本题中△BDC是等腰直角三角形，BD=CD且夹角为90°，可通过坐标法整合已知的AB、AC、AD的条件求解：设D为原点，BD、CD分别在y轴负半轴、x轴正半轴，设BD=CD=a，表示出B、C、A三点坐标，利用AB、AC、AD的长度列方程，消去A点坐标参数后求出a²，进而得到BC的长度。
【解析】
设点D为坐标原点，BD在y轴负半轴，CD在x轴正半轴，设BD=CD=a，则B(0,-a)，C(a,0)，设A(x,y)。
根据已知长度列方程：
1. $AD^2 = x^2 + y^2 = (\frac{13\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{169}{2}$ ①
2. $AB^2 = x^2 + (y+a)^2 = 20^2 = 400$ ②
3. $AC^2 = (x-a)^2 + y^2 = 21^2 = 441$ ③
展开②式，将①代入得：$\frac{169}{2} + 2ay + a^2 = 400$，整理得$2ay = 400 - \frac{169}{2} - a^2$ ④
展开③式，将①代入得：$\frac{169}{2} - 2ax + a^2 = 441$，整理得$2ax = a^2 + \frac{169}{2} - 441$ ⑤
将④⑤两边平方后相加：
左边：$(2ax)^2 + (2ay)^2 = 4a^2(x^2+y^2) = 338a^2$
右边化简后联立得方程，解得$2a^2=337$（舍去不符合题意的大根）。
因为△BDC是等腰直角三角形，所以$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 2a^2 = 337$，即$BC=\sqrt{337}$。
【答案】
$\sqrt{337}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，坐标法解几何题
【点评】
本题是三角形综合题，解题关键是通过建立坐标系或旋转法将分散的边长条件整合，对代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题中△BDC是等腰直角三角形，BD=CD且夹角为90°，可通过坐标法整合已知的AB、AC、AD的条件求解：设D为原点，BD、CD分别在y轴负半轴、x轴正半轴，设BD=CD=a，表示出B、C、A三点坐标，利用AB、AC、AD的长度列方程，消去A点坐标参数后求出a²，进而得到BC的长度。
【解析】
设点D为坐标原点，BD在y轴负半轴，CD在x轴正半轴，设BD=CD=a，则B(0,-a)，C(a,0)，设A(x,y)。
根据已知长度列方程：
1. $AD^2 = x^2 + y^2 = (\frac{13\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{169}{2}$ ①
2. $AB^2 = x^2 + (y+a)^2 = 20^2 = 400$ ②
3. $AC^2 = (x-a)^2 + y^2 = 21^2 = 441$ ③
展开②式，将①代入得：$\frac{169}{2} + 2ay + a^2 = 400$，整理得$2ay = 400 - \frac{169}{2} - a^2$ ④
展开③式，将①代入得：$\frac{169}{2} - 2ax + a^2 = 441$，整理得$2ax = a^2 + \frac{169}{2} - 441$ ⑤
将④⑤两边平方后相加：
左边：$(2ax)^2 + (2ay)^2 = 4a^2(x^2+y^2) = 338a^2$
右边化简后联立得方程，解得$2a^2=337$（舍去不符合题意的大根）。
因为△BDC是等腰直角三角形，所以$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 2a^2 = 337$，即$BC=\sqrt{337}$。
【答案】
$\sqrt{337}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，坐标法解几何题
【点评】
本题是三角形综合题，解题关键是通过建立坐标系或旋转法将分散的边长条件整合，对代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
