8.若二次函数$y=-x^2+2x$的函数值大于0，则$x$的取值范围是().

A.$x＜0$或$x＞2$
B.$x＞0$或$x＜-2$
C.$-2＜x＜0$
D.$0＜x＜2$

8.D

【分析】
要解本题，首先明确“函数值大于0”即求满足$y=-x^2+2x＞0$的$x$的取值范围，可通过数形结合思路求解：第一步先求二次函数对应一元二次方程$-x^2+2x=0$的实根，得到抛物线与x轴的交点横坐标；第二步根据二次项系数正负判断抛物线开口方向；第三步结合图像，开口向下的抛物线中，函数值大于0的部分对应x轴上方的图像，对应的x范围就是两个交点之间的区间，即可得出解集。
【解析】
根据题意，要求函数值大于0时x的范围，即解不等式：
$-x^2 + 2x ＞ 0$
首先求解对应方程$-x^2 + 2x = 0$，因式分解得：
$x(-x + 2) = 0$
解得方程的两个根为$x_1=0$，$x_2=2$。
二次函数$y=-x^2+2x$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下。
结合抛物线图像可知：当函数值大于0时，图像位于x轴上方，对应的x取值在两个交点之间，即$0 ＜ x ＜ 2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；一元二次不等式解法；二次函数与不等式的联系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次函数与一元二次不等式的结合应用，利用数形结合方法，通过抛物线开口方向和与x轴的交点就能快速得出解集。
【难度系数】
0.8

9.若点$A(a-1,y_1)$，$B(a+1,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$的图象上，且$y_1＞y_2$，则$a$的取值范围是().

A.$a＜-1$
B.$-1＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＜-1$或$a＞1$

9.B

【分析】
首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$的性质：图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。已知$y_1＞y_2$，先判断两点是否可能在同一象限：由于点A的横坐标$a-1$恒小于点B的横坐标$a+1$，若两点在同一象限，根据增减性可得$y_1＜y_2$，与已知$y_1＞y_2$矛盾，因此两点必然在不同象限。又因为第二象限的点纵坐标为正、第四象限的点纵坐标为负，正数大于负数，因此点A在第二象限、点B在第四象限，据此列不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
$\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中$k＜0$，
$\therefore$ 函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
分两种情况讨论：
① 若点A、B在同一象限：
$\because y_1＞y_2$，根据增减性可得$a-1＞a+1$，该不等式无解，故这种情况不存在；
② 若点A、B在不同象限：
$\because y_1＞y_2$，$\therefore$ 点A在第二象限（纵坐标为正），点B在第四象限（纵坐标为负），
$\therefore$ 列不等式组：$\begin{cases}a-1＜0 \\a+1＞0 \end{cases}$，
解得：$-1＜a＜1$。
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式组；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，直接根据$y_1＞y_2$判断横坐标大小导致错解，解题时需先判断两点是否在同一象限，分情况讨论后再结合性质求解。
【难度系数】
0.65

10.如图,在圆的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°.若四边形ABCD的面积是S,AC的长是x,则S与x之间的函数解析式是().

A.$S=x^2$
B.$S=\frac{1}{2}x^2$
C.$S=\sqrt{2}x^2$
D.$S=\frac{2}{3}x^2$

10.B

【分析】
本题给出了AB=AD、∠BAD=90°以及圆内接四边形的条件，可通过旋转法将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积求解。首先考虑将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，结合圆内接四边形对角互补的性质，可证明旋转后C、D、对应点三点共线，得到等腰直角△ACE，其面积与四边形ABCD的面积相等，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可推出S与x的函数关系。
【解析】
将△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADE。
由旋转的性质可知：AE=AC=x，∠CAE=∠BAD=90°，∠ABC=∠ADE，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$。
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∴$∠ ADE + ∠ ADC = 180°$，即点C、D、E三点共线。
因此四边形ABCD的面积$S = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = S_{△ ADE} + S_{△ ADC} = S_{△ ACE}$。
∵△ACE是直角边长为x的等腰直角三角形，
∴$S_{△ ACE}=\frac{1}{2} · AC · AE = \frac{1}{2}x^2$，即$S=\frac{1}{2}x^2$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形面积计算
【点评】
本题巧妙运用旋转法将不规则图形面积转化为规则三角形面积求解，核心是利用旋转性质和圆内接四边形的性质证明三点共线，是几何面积与函数结合类问题的典型考法，要熟练掌握这种转化思想。
【难度系数】
0.6

二、填空题
11.在平面直角坐标系中，点$P(-3,4)$关于原点对称的点的坐标是。

11.$(3,-4)$

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。已知点P的坐标为(-3,4)，只需要分别求出它的横、纵坐标的相反数，就能得到对应对称点的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标是$(-3,4)$，则其关于原点对称的点的横坐标为$-(-3)=3$，纵坐标为$-4$，因此对称点的坐标为$(3,-4)$。
【答案】
$(3,-4)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查坐标平面内对称点的坐标变换规律，熟练掌握关于原点、x轴、y轴对称的坐标变换规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

12.若一个长方形的长比宽多2，且面积为80，则宽是.

12.$8$

【分析】
本题可通过设未知数结合长方形面积公式列方程求解。首先设长方形的宽为未知数，根据长与宽的数量关系表示出长，再利用“长方形面积=长×宽”的等量关系建立一元二次方程，最后求解方程并结合宽为正数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到宽的数值。
【解析】
解：设长方形的宽为$x$，则长为$x+2$。
根据长方形面积公式列方程得：
$x(x+2)=80$
整理为一元二次方程一般形式：
$x^2+2x-80=0$
因式分解得：
$(x+10)(x-8)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-10$
由于长方形的宽为正数，因此$x=-10$不符合实际意义，舍去。
故长方形的宽为8。
【答案】
$8$
【知识点】
一元二次方程的应用，长方形面积公式
【点评】
本题是方程在几何问题中的基础应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意方程的解需要符合实际意义。
【难度系数】
0.85

13.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ C=40°$，则$∠ AOB$的大小是。

13.$110°$

【分析】
首先明确三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角的角平分线交点，因此OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC。解题步骤可分为三步：第一步根据△ABC内角和定理与已知的∠C度数，求出∠BAC与∠ABC的和；第二步利用角平分线的性质，求出∠OAB与∠OBA的和；第三步在△AOB中再次运用内角和定理，即可算出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴$OA$平分$∠ BAC$，$OB$平分$∠ ABC$，
即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，$∠ C=40°$，得：
$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C=180°-40°=140°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$。
在$△ AOB$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-70°=110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形内心性质；三角形内角和定理；角平分线定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是掌握三角形内心是内角平分线交点的性质，结合角平分线定义和内角和定理即可快速求解，解题时注意角度推导的逻辑顺序即可。
【难度系数】
0.8

14.如图,点 A 在双曲线的一支$y_1=\frac{2}{x}(x＞0)$上,点 B 在双曲线的一支$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$上,$AB// x$轴,点 C 是 x 轴上的点,连接 AC,BC,若$△ ABC$的面积是 6,则 k 的值是.

14.$-10$

【分析】
解题思路如下：首先，由$AB// x$轴可知点A和点B的纵坐标相等，我们可以先设出点A的坐标，结合反比例函数解析式表示出点B的坐标；其次，三角形ABC的高等于A（B）点纵坐标的绝对值，底为AB的长度，可根据两点横坐标差求出AB长度；最后，利用三角形面积公式列方程，结合反比例函数所在象限确定k的符号，即可求出k的值。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,\frac{2}{a})$（$a＞0$），
$\because AB// x$轴，
$\therefore$点B的纵坐标也为$\frac{2}{a}$，
$\because$点B在$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
$\therefore$将$y=\frac{2}{a}$代入$y_2=\frac{k}{x}$，得$x=\frac{ak}{2}$，即点B的坐标为$(\frac{ak}{2},\frac{2}{a})$，
$\therefore$AB的长度为$a-\frac{ak}{2}$（$\frac{ak}{2}＜0$，故差值为正数），
$△ ABC$的高等于AB到x轴的距离，即$\frac{2}{a}$，
由$S_{△ ABC}=6$，列方程得：
$\frac{1}{2} × (a - \frac{ak}{2}) × \frac{2}{a} = 6$
化简得：
$1 - \frac{k}{2} = 6$
解得$k=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.坐标与图形性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题的突破口是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的性质，结合反比例函数解析式表示出两点坐标，再通过面积公式建立方程求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的基础。
【难度系数】
0.7

15.已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$0＜a＜c$）经过点$(-1,0)$，下列结论：
①抛物线的开口向上.
②$b＞0$.
③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根.
④当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小.
⑤$m$为任意实数，若$c=3a$，则代数式$am^2+bm+c$的最小值是$-a$.
其中正确的是（填序号）.

15.①②③⑤

【分析】
解题时首先结合已知条件0＜a＜c判断抛物线开口方向，再将点(-1,0)代入抛物线解析式得到a、b、c的关系式b=a+c，随后结合该关系式逐一验证5个结论：①直接由a的符号判断开口；②由a、c均为正判断b的符号；③计算根的判别式Δ，结合a≠c判断Δ的正负；④推导对称轴位置，结合开口方向判断增减性；⑤当c=3a时将解析式配方求最小值，判断结论是否成立。
【解析】
1. 判断结论①：已知0＜a，二次项系数a＞0，因此抛物线开口向上，①正确。
2. 判断结论②：将点(-1,0)代入抛物线解析式得：$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，化简得$a - b + c = 0$，即$b = a + c$。因为$a＞0,c＞0$，所以$b=a+c＞0$，②正确。
3. 判断结论③：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，将$b=a+c$代入得：$\Delta=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2$。因为$0＜a＜c$，所以$a≠ c$，因此$\Delta=(a-c)^2＞0$，方程有两个不相等的实数根，③正确。
4. 判断结论④：抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a+c}{2a}=-\frac{1}{2}-\frac{c}{2a}$。因为$c＞a＞0$，所以$\frac{c}{2a}＞\frac{1}{2}$，因此对称轴$x＜-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$，即对称轴在直线$x=-1$左侧。抛物线开口向上，因此在对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大，因此当$x＜-1$时，存在x在对称轴右侧的区间（即对称轴＜x＜-1），此时y随x增大而增大，④错误。
5. 判断结论⑤：若$c=3a$，则$b=a+c=4a$，抛物线解析式为$y=ax^2+4ax+3a$（$a＞0$），配方得：
$y=a(x^2+4x)+3a=a(x^2+4x+4-4)+3a=a(x+2)^2 -a$
因为$a＞0$，因此当$x=-2$时，y取得最小值$-a$，即对任意实数m，$am^2+bm+c$的最小值是$-a$，⑤正确。
综上，正确的结论为①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质；一元二次方程根的判别式；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数相关核心知识点，解题关键是通过代入已知点得到a、b、c的数量关系，再结合a＜c的限制条件逐一推导验证，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、增减性、最值的判断方法，以及二次函数与一元二次方程的联系。
【难度系数】
0.6

16.如图，点D在△ABC内，∠BDC = 90°，BD = CD，若AB = 20，AC = 21，AD = $\frac{13\sqrt{2}}{2}$，则BC的长是。

16.$\sqrt{337}$

【分析】
本题可以通过建立平面直角坐标系的方法求解，利用已知的垂直和相等线段关系设定坐标，将线段长度转化为坐标方程，消去未知参数后求出BC的长度。首先以D为原点，利用∠BDC=90°且BD=CD的条件，设BD=CD=m，写出B、C点坐标，再设A点坐标，根据AD、AB、AC的长度列方程，消去A点坐标参数后即可求出m²，进而得到BC的长度。
【解析】
解：以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
设BD=CD=m，则B(0,-m)，C(m,0)，设A(x,y)，根据勾股定理可得：
1. $AD^2 = x^2 + y^2 = (\frac{13\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{169}{2}$ ①
2. $AB^2 = x^2 + (y+m)^2 = 20^2 = 400$ ②
3. $AC^2 = (x-m)^2 + y^2 = 21^2 = 441$ ③
展开②式，将①代入得：$\frac{169}{2} + 2my + m^2 = 400$，整理得$2my = 400 - \frac{169}{2} - m^2$ ④
展开③式，将①代入得：$\frac{169}{2} - 2mx + m^2 = 441$，整理得$2mx = \frac{169}{2} + m^2 - 441$ ⑤
将④和⑤分别平方后相加，左边$=4m^2(x^2+y^2)=338m^2$，代入参数化简后，设$BC^2=2m^2=k$，解得k=337（舍去不符合点D在△ABC内的大根），因此$BC=\sqrt{337}$。
【答案】
$\sqrt{337}$
【知识点】
勾股定理，平面直角坐标系应用，方程思想
【点评】
本题将等腰直角三角形性质和勾股定理结合，需要学生灵活运用数形结合思想，通过建系或者旋转的方式将分散的已知条件集中，对学生的逻辑推导和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3