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20.如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$∠ AOB+∠ COD=180°$.
(1)在图①中，$∠ AOB=120°$，$CD=6$，直接写出图中阴影部分的面积.
(2)在图②中，点E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论.
(1)在图①中，$∠ AOB=120°$，$CD=6$，直接写出图中阴影部分的面积.
(2)在图②中，点E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论.
答案
20.(1)$S_{阴影}=12π-9\sqrt{3}$。
(2)$OE=\dfrac{1}{2}CD$。
理由如下:取CD的中点F，连接OF。
则$OF⊥CD$，$∠FOC=\dfrac{1}{2}∠COD$。
$\because$点E是AB的中点，$\therefore ∠OEB=90°$，$∠EOB=\dfrac{1}{2}∠AOB$。
$\because ∠AOB+∠COD=180°$，$\therefore ∠FOC+∠EOB=90°$，
$\because ∠FOC+∠FCO=90°$，$\therefore ∠EOB=∠FCO$。
$\because ∠OEB=∠CFO$，$OB=OC$，$\therefore △OEB≌△CFO$(AAS)。
$\therefore OE=CF$，$\therefore OE=\dfrac{1}{2}CD$。
提示:本题也可延长AO交$\odot O$于点G，利用三角形的中位线证明。
(2)$OE=\dfrac{1}{2}CD$。
理由如下:取CD的中点F，连接OF。
则$OF⊥CD$，$∠FOC=\dfrac{1}{2}∠COD$。
$\because$点E是AB的中点，$\therefore ∠OEB=90°$，$∠EOB=\dfrac{1}{2}∠AOB$。
$\because ∠AOB+∠COD=180°$，$\therefore ∠FOC+∠EOB=90°$，
$\because ∠FOC+∠FCO=90°$，$\therefore ∠EOB=∠FCO$。
$\because ∠OEB=∠CFO$，$OB=OC$，$\therefore △OEB≌△CFO$(AAS)。
$\therefore OE=CF$，$\therefore OE=\dfrac{1}{2}CD$。
提示:本题也可延长AO交$\odot O$于点G，利用三角形的中位线证明。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据∠AOB+∠COD=180°和∠AOB=120°，求出∠COD=60°，结合OC=OD可得△COD是等边三角形，从而得到⊙O的半径等于CD的长度6；阴影部分是弦AB对应的弓形，面积等于扇形AOB的面积减去△AOB的面积，分别代入公式计算即可。
(2) 解题思路：要判断OE与CD的数量关系，根据垂径定理，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，且平分弦所对的圆心角，因此取CD的中点F，连接OF，可得OF⊥CD，∠FOC=1/2∠COD；同理OE⊥AB，∠EOB=1/2∠AOB，结合∠AOB+∠COD=180°可推出∠EOB=∠FCO，再结合OB=OC，可证明△OEB≌△CFO，得到OE=CF，而CF是CD的一半，即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠AOB+∠COD=180°，∠AOB=120°，则∠COD=180°-120°=60°。
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=OD=CD=6，即⊙O的半径为6。
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120°}{360°}×π×6^2=12π$。
△AOB中，OA=OB=6，∠AOB=120°，底边上的高为$6×\cos60°=3$，AB长为$2×6×\sin60°=6\sqrt{3}$，
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}$。
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△AOB}=12π-9\sqrt{3}$。
(2) $OE=\frac{1}{2}CD$，证明如下：
取CD的中点F，连接OF。
根据垂径定理，得$OF⊥CD$，$∠FOC=\frac{1}{2}∠COD$。
∵点E是AB的中点，
∴$OE⊥AB$，$∠OEB=90°$，$∠EOB=\frac{1}{2}∠AOB$。
∵$∠AOB+∠COD=180°$，
∴$∠FOC+∠EOB=\frac{1}{2}(∠AOB+∠COD)=90°$。
又
∵在Rt△COF中，$∠FOC+∠FCO=90°$，
∴$∠EOB=∠FCO$。
在△OEB和△CFO中：
$\begin{cases}∠OEB=∠CFO=90° \\∠EOB=∠FCO \\OB=OC\end{cases}$
∴$△OEB≌△CFO(AAS)$，
∴$OE=CF$。
∵F是CD中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴$OE=\frac{1}{2}CD$。
【答案】
(1)$12π-9\sqrt{3}$；(2)$OE=\dfrac{1}{2}CD$
【知识点】
扇形面积计算；垂径定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形全等的应用，第一问的关键是通过等边三角形确定圆的半径，再利用弓形面积的计算方法求解；第二问需要结合垂径定理构造辅助线，通过角的等量关系证明三角形全等，对几何推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先根据∠AOB+∠COD=180°和∠AOB=120°，求出∠COD=60°，结合OC=OD可得△COD是等边三角形，从而得到⊙O的半径等于CD的长度6；阴影部分是弦AB对应的弓形，面积等于扇形AOB的面积减去△AOB的面积，分别代入公式计算即可。
(2) 解题思路：要判断OE与CD的数量关系，根据垂径定理，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，且平分弦所对的圆心角，因此取CD的中点F，连接OF，可得OF⊥CD，∠FOC=1/2∠COD；同理OE⊥AB，∠EOB=1/2∠AOB，结合∠AOB+∠COD=180°可推出∠EOB=∠FCO，再结合OB=OC，可证明△OEB≌△CFO，得到OE=CF，而CF是CD的一半，即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠AOB+∠COD=180°，∠AOB=120°，则∠COD=180°-120°=60°。
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=OD=CD=6，即⊙O的半径为6。
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120°}{360°}×π×6^2=12π$。
△AOB中，OA=OB=6，∠AOB=120°，底边上的高为$6×\cos60°=3$，AB长为$2×6×\sin60°=6\sqrt{3}$，
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}$。
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△AOB}=12π-9\sqrt{3}$。
(2) $OE=\frac{1}{2}CD$，证明如下：
取CD的中点F，连接OF。
根据垂径定理，得$OF⊥CD$，$∠FOC=\frac{1}{2}∠COD$。
∵点E是AB的中点，
∴$OE⊥AB$，$∠OEB=90°$，$∠EOB=\frac{1}{2}∠AOB$。
∵$∠AOB+∠COD=180°$，
∴$∠FOC+∠EOB=\frac{1}{2}(∠AOB+∠COD)=90°$。
又
∵在Rt△COF中，$∠FOC+∠FCO=90°$，
∴$∠EOB=∠FCO$。
在△OEB和△CFO中：
$\begin{cases}∠OEB=∠CFO=90° \\∠EOB=∠FCO \\OB=OC\end{cases}$
∴$△OEB≌△CFO(AAS)$，
∴$OE=CF$。
∵F是CD中点，
∴$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴$OE=\frac{1}{2}CD$。
【答案】
(1)$12π-9\sqrt{3}$；(2)$OE=\dfrac{1}{2}CD$
【知识点】
扇形面积计算；垂径定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形全等的应用，第一问的关键是通过等边三角形确定圆的半径，再利用弓形面积的计算方法求解；第二问需要结合垂径定理构造辅助线，通过角的等量关系证明三角形全等，对几何推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
21.下图网格小正方形的顶点叫作格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图①中,点A,B,C都是格点,画经过这三点的圆的圆心O,并在该圆上画点D,使$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
(2)在图②中,点A,E,F都是格点,$\odot I$经过点A.先过点F画AE的平行线,交$\odot I$于点M和点N,再画弦MN的中点G.
(1)在图①中,点A,B,C都是格点,画经过这三点的圆的圆心O,并在该圆上画点D,使$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
(2)在图②中,点A,E,F都是格点,$\odot I$经过点A.先过点F画AE的平行线,交$\odot I$于点M和点N,再画弦MN的中点G.
答案
21.(1)如图①
。(2)如图②
。解析
【分析】
(1) 经过三点的圆的圆心到三个点的距离相等，是这三点构成的三角形的外接圆圆心，即三角形任意两边垂直平分线的交点，因此只需作出两条弦的垂直平分线，交点就是圆心O。同圆中，相等的弦所对应的劣弧相等，要得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，只需保证弦AD与弦BC长度相等，通过平移弦BC使B点与A点重合，即可得到符合要求的点D。
(2) 格点中作平行线可借助线条的走向规律：若两条线的横向、纵向变化比例相同，两条线平行。观察AE的格点走向，过F点沿相同走向作直线，与$\odot I$的交点就是M、N。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此过圆心I作MN的垂线，与MN的交点就是MN的中点G。
【解析】
(1) ①分别作弦AB和弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；②将弦BC沿格点平移，使点B与点A重合，平移后点C的对应点就是圆上的点D，此时$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
(2) ①观察AE的走向：沿AE方向，每向右移动3格，向上移动1格，过点F沿相同走向画直线，该直线与$\odot I$的两个交点即为M、N；②过圆心I作MN的垂线，垂线与MN的交点就是弦MN的中点G。
【答案】
21.(1)如图①。
(2)如图②。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 弧弦的关系
3. 垂径定理
【点评】
本题是格点作图题，综合考查圆的基本性质和作图实操能力，解题时需要结合格点的规整特性，灵活运用圆的相关性质找到作图依据，能有效考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 经过三点的圆的圆心到三个点的距离相等，是这三点构成的三角形的外接圆圆心，即三角形任意两边垂直平分线的交点，因此只需作出两条弦的垂直平分线，交点就是圆心O。同圆中，相等的弦所对应的劣弧相等，要得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，只需保证弦AD与弦BC长度相等，通过平移弦BC使B点与A点重合，即可得到符合要求的点D。
(2) 格点中作平行线可借助线条的走向规律：若两条线的横向、纵向变化比例相同，两条线平行。观察AE的格点走向，过F点沿相同走向作直线，与$\odot I$的交点就是M、N。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此过圆心I作MN的垂线，与MN的交点就是MN的中点G。
【解析】
(1) ①分别作弦AB和弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；②将弦BC沿格点平移，使点B与点A重合，平移后点C的对应点就是圆上的点D，此时$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
(2) ①观察AE的走向：沿AE方向，每向右移动3格，向上移动1格，过点F沿相同走向画直线，该直线与$\odot I$的两个交点即为M、N；②过圆心I作MN的垂线，垂线与MN的交点就是弦MN的中点G。
【答案】
21.(1)如图①
。(2)如图②
。【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 弧弦的关系
3. 垂径定理
【点评】
本题是格点作图题，综合考查圆的基本性质和作图实操能力，解题时需要结合格点的规整特性，灵活运用圆的相关性质找到作图依据，能有效考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
