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20.如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$∠ AOB+∠ COD=180°$.
(1)在图①中，$∠ AOB=120°$，$CD=6$，直接写出图中阴影部分的面积.
(2)在图②中，点E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论.
(1)在图①中，$∠ AOB=120°$，$CD=6$，直接写出图中阴影部分的面积.
(2)在图②中，点E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论.
答案
20.(1)$S_{阴影}=12π-9\sqrt{3}$。
(2)$OE=\dfrac{1}{2}CD$。
理由如下:取CD的中点F，连接OF。
则$OF⊥CD$，$∠FOC=\dfrac{1}{2}∠COD$。
$\because$点E是AB的中点，$\therefore ∠OEB=90°$，$∠EOB=\dfrac{1}{2}∠AOB$。
$\because ∠AOB+∠COD=180°$，$\therefore ∠FOC+∠EOB=90°$，
$\because ∠FOC+∠FCO=90°$，$\therefore ∠EOB=∠FCO$。
$\because ∠OEB=∠CFO$，$OB=OC$，$\therefore △OEB≌△CFO$(AAS)。
$\therefore OE=CF$，$\therefore OE=\dfrac{1}{2}CD$。
提示:本题也可延长AO交$\odot O$于点G，利用三角形的中位线证明。
(2)$OE=\dfrac{1}{2}CD$。
理由如下:取CD的中点F，连接OF。
则$OF⊥CD$，$∠FOC=\dfrac{1}{2}∠COD$。
$\because$点E是AB的中点，$\therefore ∠OEB=90°$，$∠EOB=\dfrac{1}{2}∠AOB$。
$\because ∠AOB+∠COD=180°$，$\therefore ∠FOC+∠EOB=90°$，
$\because ∠FOC+∠FCO=90°$，$\therefore ∠EOB=∠FCO$。
$\because ∠OEB=∠CFO$，$OB=OC$，$\therefore △OEB≌△CFO$(AAS)。
$\therefore OE=CF$，$\therefore OE=\dfrac{1}{2}CD$。
提示:本题也可延长AO交$\odot O$于点G，利用三角形的中位线证明。
解析
【分析】
(1) 阴影部分是弦AB对应的弓形，面积可转化为扇形AOB的面积减去△AOB的面积。首先根据∠AOB+∠COD=180°求出∠COD的度数，结合OC=OD判断△COD的形状得到圆的半径，再分别计算扇形AOB和△AOB的面积，两者作差即可得到阴影面积。
(2) 要判断OE和CD的数量关系，可利用垂径定理：弦的中点与圆心的连线垂直于弦，且平分弦所对的圆心角。取CD的中点F连接OF，结合∠AOB+∠COD=180°推导角相等，证明△OEB和△CFO全等，即可得到OE与CD的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠AOB+∠COD=180°，∠AOB=120°，则∠COD=180°-120°=60°。
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，△COD是等边三角形，可得⊙O的半径$r=OC=CD=6$。
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120°}{360°}×πr^2=\frac{1}{3}×π×6^2=12π$。
过O作AB的垂线，垂足为E，
∵ OA=OB=6，∠AOB=120°，
∴ ∠OAB=∠OBA=30°，可得$OE=\frac{1}{2}OA=3$，由勾股定理得$AE=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，$AB=2AE=6\sqrt{3}$。
△AOB的面积：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×AB×OE=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}$。
阴影部分为弓形，因此$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△AOB}=12π-9\sqrt{3}$。
(2) $OE=\frac{1}{2}CD$，证明如下：
取CD的中点F，连接OF，根据垂径定理可得$OF⊥CD$，且$∠FOC=\frac{1}{2}∠COD$。
∵ E是AB的中点，同理可得$OE⊥AB$，$∠EOB=\frac{1}{2}∠AOB$，即$∠OEB=∠CFO=90°$。
∵ ∠AOB+∠COD=180°，
∴ $\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠COD=90°$，即$∠EOB+∠FOC=90°$。
在Rt△COF中，$∠FOC+∠FCO=90°$，因此$∠EOB=∠FCO$。
又
∵ OB=OC（都是⊙O的半径），
∴ △OEB≌△CFO（AAS）。
可得$OE=CF$，
∵ F是CD中点，$CF=\frac{1}{2}CD$，因此$OE=\frac{1}{2}CD$。
【答案】
(1) $12π-9\sqrt{3}$；(2) $OE=\frac{1}{2}CD$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆心角关系、垂径定理、全等三角形和面积计算结合考查，解题的关键是学会将不规则图形面积转化为规则图形面积和差，以及利用垂径定理构造直角三角形推导边和角的关系。
【难度系数】
0.6
(1) 阴影部分是弦AB对应的弓形，面积可转化为扇形AOB的面积减去△AOB的面积。首先根据∠AOB+∠COD=180°求出∠COD的度数，结合OC=OD判断△COD的形状得到圆的半径，再分别计算扇形AOB和△AOB的面积，两者作差即可得到阴影面积。
(2) 要判断OE和CD的数量关系，可利用垂径定理：弦的中点与圆心的连线垂直于弦，且平分弦所对的圆心角。取CD的中点F连接OF，结合∠AOB+∠COD=180°推导角相等，证明△OEB和△CFO全等，即可得到OE与CD的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠AOB+∠COD=180°，∠AOB=120°，则∠COD=180°-120°=60°。
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，△COD是等边三角形，可得⊙O的半径$r=OC=CD=6$。
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120°}{360°}×πr^2=\frac{1}{3}×π×6^2=12π$。
过O作AB的垂线，垂足为E，
∵ OA=OB=6，∠AOB=120°，
∴ ∠OAB=∠OBA=30°，可得$OE=\frac{1}{2}OA=3$，由勾股定理得$AE=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，$AB=2AE=6\sqrt{3}$。
△AOB的面积：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×AB×OE=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}$。
阴影部分为弓形，因此$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△AOB}=12π-9\sqrt{3}$。
(2) $OE=\frac{1}{2}CD$，证明如下：
取CD的中点F，连接OF，根据垂径定理可得$OF⊥CD$，且$∠FOC=\frac{1}{2}∠COD$。
∵ E是AB的中点，同理可得$OE⊥AB$，$∠EOB=\frac{1}{2}∠AOB$，即$∠OEB=∠CFO=90°$。
∵ ∠AOB+∠COD=180°，
∴ $\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠COD=90°$，即$∠EOB+∠FOC=90°$。
在Rt△COF中，$∠FOC+∠FCO=90°$，因此$∠EOB=∠FCO$。
又
∵ OB=OC（都是⊙O的半径），
∴ △OEB≌△CFO（AAS）。
可得$OE=CF$，
∵ F是CD中点，$CF=\frac{1}{2}CD$，因此$OE=\frac{1}{2}CD$。
【答案】
(1) $12π-9\sqrt{3}$；(2) $OE=\frac{1}{2}CD$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆心角关系、垂径定理、全等三角形和面积计算结合考查，解题的关键是学会将不规则图形面积转化为规则图形面积和差，以及利用垂径定理构造直角三角形推导边和角的关系。
【难度系数】
0.6
21.下图网格小正方形的顶点叫作格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图①中,点A,B,C都是格点,画经过这三点的圆的圆心O,并在该圆上画点D,使$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
(2)在图②中,点A,E,F都是格点,$\odot I$经过点A.先过点F画AE的平行线,交$\odot I$于点M和点N,再画弦MN的中点G.
(1)在图①中,点A,B,C都是格点,画经过这三点的圆的圆心O,并在该圆上画点D,使$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
(2)在图②中,点A,E,F都是格点,$\odot I$经过点A.先过点F画AE的平行线,交$\odot I$于点M和点N,再画弦MN的中点G.
答案
21.(1)如图①
。(2)如图②
。解析
【分析】
(1) 要确定过A、B、C三点的圆的圆心，根据圆的性质，圆心到圆上各点距离相等，也就是△ABC外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，在网格中构造两条弦的垂直平分线，交点即为圆心O。要使$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧对应相等的弦、相等的圆心角的性质，构造与BC等长、对应弧位置匹配的弦AD即可得到符合要求的点D。
(2) 要过F作AE的平行线，可通过网格观察AE的倾斜比例（横向、纵向移动的格数比），过F构造相同倾斜比例的直线，与$\odot I$的交点就是M、N。要找MN的中点，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，过圆心I作MN的垂线，垂足就是MN的中点G。
【解析】
(1) ① 连接弦AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；
② 观察BC的长度和方向，将BC沿BA方向平移，使点B与点A重合，线段另一端落在圆上的点即为D，此时$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
(2) ① 观察AE的走向：从A到E横向右移5格、纵向上移2格，过F按照相同的横纵向移动比例作直线，直线与$\odot I$的两个交点即为M、N；
② 过圆心I作MN的垂线，垂线与MN的交点即为弦MN的中点G。
【答案】
(1) 如图①。
(2) 如图②。
【知识点】
外接圆的性质，垂径定理，网格平行线作图
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图类题型，综合考察了圆的基本性质和基础几何作图能力，需要学生熟练掌握垂直平分线、平行线的构造方法，侧重对几何直观和实践操作能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定过A、B、C三点的圆的圆心，根据圆的性质，圆心到圆上各点距离相等，也就是△ABC外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，在网格中构造两条弦的垂直平分线，交点即为圆心O。要使$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧对应相等的弦、相等的圆心角的性质，构造与BC等长、对应弧位置匹配的弦AD即可得到符合要求的点D。
(2) 要过F作AE的平行线，可通过网格观察AE的倾斜比例（横向、纵向移动的格数比），过F构造相同倾斜比例的直线，与$\odot I$的交点就是M、N。要找MN的中点，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，过圆心I作MN的垂线，垂足就是MN的中点G。
【解析】
(1) ① 连接弦AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；
② 观察BC的长度和方向，将BC沿BA方向平移，使点B与点A重合，线段另一端落在圆上的点即为D，此时$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
(2) ① 观察AE的走向：从A到E横向右移5格、纵向上移2格，过F按照相同的横纵向移动比例作直线，直线与$\odot I$的两个交点即为M、N；
② 过圆心I作MN的垂线，垂线与MN的交点即为弦MN的中点G。
【答案】
(1) 如图①
。(2) 如图②
。【知识点】
外接圆的性质，垂径定理，网格平行线作图
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图类题型，综合考察了圆的基本性质和基础几何作图能力，需要学生熟练掌握垂直平分线、平行线的构造方法，侧重对几何直观和实践操作能力的考察。
【难度系数】
0.7
