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22.燃放烟花是一种常见的喜庆活动.一种烟花每隔2 s发射一枚花弹,所有花弹的飞行路径视为同一条抛物线,被发射后飞行相同时间时发生爆炸.第一枚花弹的飞行高度h(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的规律如下表:
| 飞行时间 t/s | 0 | 0.5 | 1 | 4.5 | … |
| 飞行高度 h/m | 2 |
| 16 | 33.5 | … |
(1)求第一枚花弹的飞行高度 h 与飞行时间 t 的函数解析式(不写出自变量的取值范围).
(2)当第一枚花弹到达最高点时,求第二枚花弹的高度.
(3)为了安全,要求花弹爆炸时的高度不低于 30 m.若在第一枚花弹爆炸的同时,第二枚花弹与它处于同一高度,请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
| 飞行时间 t/s | 0 | 0.5 | 1 | 4.5 | … |
| 飞行高度 h/m | 2 |
| 16 | 33.5 | … |(1)求第一枚花弹的飞行高度 h 与飞行时间 t 的函数解析式(不写出自变量的取值范围).
(2)当第一枚花弹到达最高点时,求第二枚花弹的高度.
(3)为了安全,要求花弹爆炸时的高度不低于 30 m.若在第一枚花弹爆炸的同时,第二枚花弹与它处于同一高度,请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
答案
22.(1)依题意，设第一枚花弹飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为$h=at^2+bt+2$，
将(0.5,9.5),(1,16)分别代入$h=at^2+bt+2$得$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5,\\a+b+2=16,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=16.\end{cases}$
$\therefore$所求的函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2)$\because h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$，$\therefore$当$t=4$时，h取最大值。
第一枚花弹飞行4 s时，第二枚花弹飞行时间为2 s。
$\because$两枚花弹的飞行路径相同，$\therefore$将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得$h=26$。
$\therefore$当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹的高度为26 m。
(3)第二枚花弹在第一枚花弹发射后2 s发射，则第二枚花弹的飞行高度$h'$与第一枚花弹的飞行时间t的函数解析式为$h'=-2(t-2-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$。
根据$h=h'$得$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$，解得$t=5$，此时$h=h'=32＞30$。
$\therefore$花弹的爆炸高度符合安全要求。
提示:第二枚花弹的飞行位置是第一枚花弹2 s前的位置，当它们处于同一高度时，它们是对称点，因为对称轴为t=4，所以第一枚花弹爆炸时间为5 s，此时$h=32＞30$。
将(0.5,9.5),(1,16)分别代入$h=at^2+bt+2$得$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5,\\a+b+2=16,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=16.\end{cases}$
$\therefore$所求的函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2)$\because h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$，$\therefore$当$t=4$时，h取最大值。
第一枚花弹飞行4 s时，第二枚花弹飞行时间为2 s。
$\because$两枚花弹的飞行路径相同，$\therefore$将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得$h=26$。
$\therefore$当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹的高度为26 m。
(3)第二枚花弹在第一枚花弹发射后2 s发射，则第二枚花弹的飞行高度$h'$与第一枚花弹的飞行时间t的函数解析式为$h'=-2(t-2-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$。
根据$h=h'$得$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$，解得$t=5$，此时$h=h'=32＞30$。
$\therefore$花弹的爆炸高度符合安全要求。
提示:第二枚花弹的飞行位置是第一枚花弹2 s前的位置，当它们处于同一高度时，它们是对称点，因为对称轴为t=4，所以第一枚花弹爆炸时间为5 s，此时$h=32＞30$。
解析
【分析】
(1) 花弹的飞行路径是抛物线，因此高度h和飞行时间t满足二次函数关系。已知t=0时h=2，可设二次函数解析式为$h=at^2+bt+2$，代入表格中两组t、h的对应值，解二元一次方程组即可求出系数a、b，得到函数解析式。
(2) 要找第一枚花弹的最高点，将(1)得到的解析式配方为顶点式，即可得到最高点对应的飞行时间t。根据两枚花弹发射间隔2s，算出此时第二枚花弹的飞行时间，代入解析式就能求出对应高度。
(3) 先根据第二枚花弹晚发射2s的条件，写出第二枚花弹高度关于第一枚花弹飞行时间t的解析式，再根据爆炸时两者高度相等列方程，求解得到爆炸时间，代入计算爆炸高度后和30m比较，即可判断是否符合安全要求。
【解析】
(1) 依题意，设第一枚花弹飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为$h=at^2+bt+2$，
将$(0.5,9.5)$、$(1,16)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5\\a+b+2=16\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2\\b=16\end{cases}$
∴ 所求函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2) 将函数解析式配方得：$h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$，
∴ 当$t=4$时，h取最大值，即第一枚花弹飞行4s时到达最高点。
此时第二枚花弹的飞行时间为$4-2=2\mathrm{s}$，将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得：
$h=-2×2^2+16×2+2=26$
即第二枚花弹的高度为26m。
(3) 设第一枚花弹飞行时间为t s，则第二枚花弹飞行时间为$(t-2)\mathrm{s}$，因此第二枚花弹的飞行高度为：
$h'=-2(t-2)^2+16(t-2)+2=-2(t-6)^2+34$
根据爆炸时$h=h'$列方程：
$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$
解得$t=5$，代入$h=-2t^2+16t+2$得$h=32$。
∵ $32＞30$，
∴ 花弹的爆炸高度符合安全要求。
【答案】
(1) $h=-2t^2+16t+2$
(2) $\boldsymbol{26\mathrm{m}}$
(3) 符合安全要求
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，需要学生准确梳理不同花弹的飞行时间差，灵活运用二次函数的相关性质解决实际问题，既考查基础运算能力，也考查结合场景分析问题的能力，综合性适中。
【难度系数】
0.65
(1) 花弹的飞行路径是抛物线，因此高度h和飞行时间t满足二次函数关系。已知t=0时h=2，可设二次函数解析式为$h=at^2+bt+2$，代入表格中两组t、h的对应值，解二元一次方程组即可求出系数a、b，得到函数解析式。
(2) 要找第一枚花弹的最高点，将(1)得到的解析式配方为顶点式，即可得到最高点对应的飞行时间t。根据两枚花弹发射间隔2s，算出此时第二枚花弹的飞行时间，代入解析式就能求出对应高度。
(3) 先根据第二枚花弹晚发射2s的条件，写出第二枚花弹高度关于第一枚花弹飞行时间t的解析式，再根据爆炸时两者高度相等列方程，求解得到爆炸时间，代入计算爆炸高度后和30m比较，即可判断是否符合安全要求。
【解析】
(1) 依题意，设第一枚花弹飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为$h=at^2+bt+2$，
将$(0.5,9.5)$、$(1,16)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5\\a+b+2=16\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2\\b=16\end{cases}$
∴ 所求函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2) 将函数解析式配方得：$h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$，
∴ 当$t=4$时，h取最大值，即第一枚花弹飞行4s时到达最高点。
此时第二枚花弹的飞行时间为$4-2=2\mathrm{s}$，将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得：
$h=-2×2^2+16×2+2=26$
即第二枚花弹的高度为26m。
(3) 设第一枚花弹飞行时间为t s，则第二枚花弹飞行时间为$(t-2)\mathrm{s}$，因此第二枚花弹的飞行高度为：
$h'=-2(t-2)^2+16(t-2)+2=-2(t-6)^2+34$
根据爆炸时$h=h'$列方程：
$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$
解得$t=5$，代入$h=-2t^2+16t+2$得$h=32$。
∵ $32＞30$，
∴ 花弹的爆炸高度符合安全要求。
【答案】
(1) $h=-2t^2+16t+2$
(2) $\boldsymbol{26\mathrm{m}}$
(3) 符合安全要求
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，需要学生准确梳理不同花弹的飞行时间差，灵活运用二次函数的相关性质解决实际问题，既考查基础运算能力，也考查结合场景分析问题的能力，综合性适中。
【难度系数】
0.65
23.【操作与思考】如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=α$,点$D$是异于点$A,B$的点,且$∠ ADB=90°$.将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$α$,画出对应的线段$AE$,连接$DE$,交$BC$于点$F$,猜想$BF$与$CF$的数量关系,并证明你的猜想.
【迁移与运用】如图②,在$△ ABC$和$△ CDE$中,$AC=BC$,$CD=CE$,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,若$AC=\sqrt{10}$,$CD=\sqrt{2}$,$ED$的延长线交$AB$于点$F$,且$∠ BDC=90°$,直接写出$EF$的长.
【迁移与运用】如图②,在$△ ABC$和$△ CDE$中,$AC=BC$,$CD=CE$,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,若$AC=\sqrt{10}$,$CD=\sqrt{2}$,$ED$的延长线交$AB$于点$F$,且$∠ BDC=90°$,直接写出$EF$的长.
答案
23.【操作与思考】画图如图所示
，$BF=CF$。证明:分别过点B,C作$BG⊥DE$于点G，$CH⊥DE$于点H。
根据旋转的性质得$AD=AE$，$∠DAE=α$。
$\because ∠BAC=α$，$\therefore ∠BAD=∠CAE$，
$\because AB=AC$，$\therefore △ADB≌△AEC$(SAS)，$\therefore BD=CE$，$∠ADB=∠AEC=90°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ADE=∠AED$，
$\because ∠BDG+∠ADE=∠AED+∠CEH=90°$，$\therefore ∠BDG=∠CEH$，
$\because ∠BGD=∠CHE=90°$，$\therefore △BDG≌△CEH$(AAS)，$\therefore BG=CH$。
$\because ∠BFG=∠CFH$，$∠BGD=∠CHF=90°$，$\therefore △BFG≌△CFH$(AAS)，
$\therefore BF=CF$。
提示:也可过点C作BD的平行线交EF于点M进行证明。
【迁移与运用】3
提示:连接AE，延长EF，过点B作$BG⊥EF$于点G，过点A作$AH⊥EF$于点H。$△ABC$，$△DCE$，$△BDG$，$△AEH$都为等腰直角三角形，由勾股定理求$AH=EH=DE=BG=DG=2$，得点H与点D为同一点。通过$△ADF≌△BGF$得$DF=GF=\dfrac{1}{2}DG=1$，故$EF=DE+DF=3$。
解析
【分析】
操作与思考部分
要证明BF=CF，可通过构造包含BF、CF的全等三角形推导：首先利用旋转性质得到AD=AE、∠DAE=α，结合已知∠BAC=α推导角相等，先证△BAD≌△CAE，得到BD=CE和对应角相等；再通过作BG⊥DE、CH⊥DE构造直角三角形，证△BDG≌△CEH得BG=CH；最后证△BFG≌△CFH即可得到BF=CF。
迁移与运用部分
可沿用第一问的解题思路，先利用等腰直角三角形性质求出DE的长度，再通过全等推导和勾股定理求出DF的长度，二者相加即为EF的长。
【解析】
【操作与思考】
首先将线段AD绕点A逆时针旋转α得到AE，画图如图所示，猜想$\boldsymbol{BF=CF}$，证明如下：
分别过点B、C作$BG⊥DE$于点G，$CH⊥DE$于点H。
由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠DAE=α$。
$\because ∠BAC=α$，$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△ ADB$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}AD=AE \\∠BAD=∠CAE \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ AEC(\mathrm{SAS})$，$\therefore BD=CE$，$∠ADB=∠AEC=90°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ADE=∠AED$。
$\because ∠BDG+∠ADE=90°$，$∠CEH+∠AED=90°$，$\therefore ∠BDG=∠CEH$。
在$△ BDG$和$△ CEH$中：
$\begin{cases}∠BGD=∠CHE=90° \\∠BDG=∠CEH \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CEH(\mathrm{AAS})$，$\therefore BG=CH$。
在$△ BFG$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}∠BFG=∠CFH \\∠BGD=∠CHF=90° \\BG=CH\end{cases}$
$\therefore △ BFG≌△ CFH(\mathrm{AAS})$，$\therefore BF=CF$。
【迁移与运用】
$\because CD=CE$，$∠DCE=90°$，$CD=\sqrt{2}$，$\therefore DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=2$，$∠CDE=∠CED=45°$。
同理可证$△ BCD≌△ ACE$，得$∠AEC=∠BDC=90°$，结合第一问结论推导得$DF=1$，故$EF=DE+DF=2+1=3$。
【答案】
【操作与思考】画图如图所示，$BF=CF$，证明见解析；
【迁移与运用】$\boxed{3}$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合探究题，融合了旋转变换、三角形全等、等腰三角形性质等核心考点，第一问的解题方法可迁移到第二问的求解中，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，能有效考查逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.4
操作与思考部分
要证明BF=CF，可通过构造包含BF、CF的全等三角形推导：首先利用旋转性质得到AD=AE、∠DAE=α，结合已知∠BAC=α推导角相等，先证△BAD≌△CAE，得到BD=CE和对应角相等；再通过作BG⊥DE、CH⊥DE构造直角三角形，证△BDG≌△CEH得BG=CH；最后证△BFG≌△CFH即可得到BF=CF。
迁移与运用部分
可沿用第一问的解题思路，先利用等腰直角三角形性质求出DE的长度，再通过全等推导和勾股定理求出DF的长度，二者相加即为EF的长。
【解析】
【操作与思考】
首先将线段AD绕点A逆时针旋转α得到AE，画图如图所示
，猜想$\boldsymbol{BF=CF}$，证明如下：分别过点B、C作$BG⊥DE$于点G，$CH⊥DE$于点H。
由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠DAE=α$。
$\because ∠BAC=α$，$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△ ADB$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}AD=AE \\∠BAD=∠CAE \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ AEC(\mathrm{SAS})$，$\therefore BD=CE$，$∠ADB=∠AEC=90°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ADE=∠AED$。
$\because ∠BDG+∠ADE=90°$，$∠CEH+∠AED=90°$，$\therefore ∠BDG=∠CEH$。
在$△ BDG$和$△ CEH$中：
$\begin{cases}∠BGD=∠CHE=90° \\∠BDG=∠CEH \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CEH(\mathrm{AAS})$，$\therefore BG=CH$。
在$△ BFG$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}∠BFG=∠CFH \\∠BGD=∠CHF=90° \\BG=CH\end{cases}$
$\therefore △ BFG≌△ CFH(\mathrm{AAS})$，$\therefore BF=CF$。
【迁移与运用】
$\because CD=CE$，$∠DCE=90°$，$CD=\sqrt{2}$，$\therefore DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=2$，$∠CDE=∠CED=45°$。
同理可证$△ BCD≌△ ACE$，得$∠AEC=∠BDC=90°$，结合第一问结论推导得$DF=1$，故$EF=DE+DF=2+1=3$。
【答案】
【操作与思考】画图如图所示
，$BF=CF$，证明见解析；【迁移与运用】$\boxed{3}$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合探究题，融合了旋转变换、三角形全等、等腰三角形性质等核心考点，第一问的解题方法可迁移到第二问的求解中，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，能有效考查逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.4
