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22.燃放烟花是一种常见的喜庆活动.一种烟花每隔2 s发射一枚花弹,所有花弹的飞行路径视为同一条抛物线,被发射后飞行相同时间时发生爆炸.第一枚花弹的飞行高度h(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的规律如下表:
| 飞行时间 t/s | 0 | 0.5 | 1 | 4.5 | … |
| 飞行高度 h/m | 2 |
| 16 | 33.5 | … |
(1)求第一枚花弹的飞行高度 h 与飞行时间 t 的函数解析式(不写出自变量的取值范围).
(2)当第一枚花弹到达最高点时,求第二枚花弹的高度.
(3)为了安全,要求花弹爆炸时的高度不低于 30 m.若在第一枚花弹爆炸的同时,第二枚花弹与它处于同一高度,请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
| 飞行时间 t/s | 0 | 0.5 | 1 | 4.5 | … |
| 飞行高度 h/m | 2 |
| 16 | 33.5 | … |(1)求第一枚花弹的飞行高度 h 与飞行时间 t 的函数解析式(不写出自变量的取值范围).
(2)当第一枚花弹到达最高点时,求第二枚花弹的高度.
(3)为了安全,要求花弹爆炸时的高度不低于 30 m.若在第一枚花弹爆炸的同时,第二枚花弹与它处于同一高度,请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
答案
22.(1)依题意，设第一枚花弹飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为$h=at^2+bt+2$，
将(0.5,9.5),(1,16)分别代入$h=at^2+bt+2$得$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5,\\a+b+2=16,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=16.\end{cases}$
$\therefore$所求的函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2)$\because h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$，$\therefore$当$t=4$时，h取最大值。
第一枚花弹飞行4 s时，第二枚花弹飞行时间为2 s。
$\because$两枚花弹的飞行路径相同，$\therefore$将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得$h=26$。
$\therefore$当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹的高度为26 m。
(3)第二枚花弹在第一枚花弹发射后2 s发射，则第二枚花弹的飞行高度$h'$与第一枚花弹的飞行时间t的函数解析式为$h'=-2(t-2-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$。
根据$h=h'$得$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$，解得$t=5$，此时$h=h'=32＞30$。
$\therefore$花弹的爆炸高度符合安全要求。
提示:第二枚花弹的飞行位置是第一枚花弹2 s前的位置，当它们处于同一高度时，它们是对称点，因为对称轴为t=4，所以第一枚花弹爆炸时间为5 s，此时$h=32＞30$。
将(0.5,9.5),(1,16)分别代入$h=at^2+bt+2$得$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5,\\a+b+2=16,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=16.\end{cases}$
$\therefore$所求的函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2)$\because h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$，$\therefore$当$t=4$时，h取最大值。
第一枚花弹飞行4 s时，第二枚花弹飞行时间为2 s。
$\because$两枚花弹的飞行路径相同，$\therefore$将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得$h=26$。
$\therefore$当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹的高度为26 m。
(3)第二枚花弹在第一枚花弹发射后2 s发射，则第二枚花弹的飞行高度$h'$与第一枚花弹的飞行时间t的函数解析式为$h'=-2(t-2-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$。
根据$h=h'$得$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$，解得$t=5$，此时$h=h'=32＞30$。
$\therefore$花弹的爆炸高度符合安全要求。
提示:第二枚花弹的飞行位置是第一枚花弹2 s前的位置，当它们处于同一高度时，它们是对称点，因为对称轴为t=4，所以第一枚花弹爆炸时间为5 s，此时$h=32＞30$。
解析
【分析】
(1) 花弹的飞行路径是抛物线，可知飞行高度h是飞行时间t的二次函数，由t=0时h=2可确定常数项为2，因此设解析式为$h=at^2+bt+2$，代入表格中两组已知的t、h值，解二元一次方程组求出a、b即可得到函数解析式。
(2) 先将第一问得到的二次函数化为顶点式，找到第一枚花弹到达最高点对应的飞行时间，再结合每隔2s发射一枚的条件，算出此时第二枚花弹的飞行时间，代入解析式即可求出第二枚花弹的高度。
(3) 先根据第二枚花弹晚发射2s的条件，写出第二枚花弹高度关于第一枚飞行时间t的解析式，令两枚花弹高度相等求出爆炸时间，再计算爆炸高度和30m比较，即可判断是否符合安全要求。
【解析】
(1) 设第一枚花弹飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为$h=at^2+bt+2$，将$(0.5,9.5)$、$(1,16)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5\\a+b+2=16\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2\\b=16\end{cases}$
$\therefore$所求函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2) 将解析式配方得：$h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$
$\therefore$当$t=4$时，h取最大值，即第一枚花弹飞行4s时到达最高点。
此时第二枚花弹的飞行时间为$4-2=2\ \mathrm{s}$，将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得：
$h=-2×2^2+16×2+2=26\ \mathrm{m}$
(3) 第二枚花弹比第一枚晚发射2s，因此第二枚花弹的飞行高度$h'$与第一枚飞行时间t的解析式为：
$h'=-2(t-2)^2+16(t-2)+2=-2(t-6)^2+34$
令$h=h'$，得$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$，解得$t=5$。
将$t=5$代入h的解析式得$h=-2×(5-4)^2+34=32\ \mathrm{m}$，$32＞30$。
【答案】
(1) $h=-2t^2+16t+2$
(2) $26\ \mathrm{m}$
(3) 花弹的爆炸高度符合安全要求
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是理清两枚花弹飞行时间的对应关系，熟练运用二次函数的性质求解最值、函数值，能较好地考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 花弹的飞行路径是抛物线，可知飞行高度h是飞行时间t的二次函数，由t=0时h=2可确定常数项为2，因此设解析式为$h=at^2+bt+2$，代入表格中两组已知的t、h值，解二元一次方程组求出a、b即可得到函数解析式。
(2) 先将第一问得到的二次函数化为顶点式，找到第一枚花弹到达最高点对应的飞行时间，再结合每隔2s发射一枚的条件，算出此时第二枚花弹的飞行时间，代入解析式即可求出第二枚花弹的高度。
(3) 先根据第二枚花弹晚发射2s的条件，写出第二枚花弹高度关于第一枚飞行时间t的解析式，令两枚花弹高度相等求出爆炸时间，再计算爆炸高度和30m比较，即可判断是否符合安全要求。
【解析】
(1) 设第一枚花弹飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为$h=at^2+bt+2$，将$(0.5,9.5)$、$(1,16)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+2=9.5\\a+b+2=16\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2\\b=16\end{cases}$
$\therefore$所求函数解析式为$h=-2t^2+16t+2$。
(2) 将解析式配方得：$h=-2t^2+16t+2=-2(t-4)^2+34$
$\therefore$当$t=4$时，h取最大值，即第一枚花弹飞行4s时到达最高点。
此时第二枚花弹的飞行时间为$4-2=2\ \mathrm{s}$，将$t=2$代入$h=-2t^2+16t+2$得：
$h=-2×2^2+16×2+2=26\ \mathrm{m}$
(3) 第二枚花弹比第一枚晚发射2s，因此第二枚花弹的飞行高度$h'$与第一枚飞行时间t的解析式为：
$h'=-2(t-2)^2+16(t-2)+2=-2(t-6)^2+34$
令$h=h'$，得$-2(t-4)^2+34=-2(t-6)^2+34$，解得$t=5$。
将$t=5$代入h的解析式得$h=-2×(5-4)^2+34=32\ \mathrm{m}$，$32＞30$。
【答案】
(1) $h=-2t^2+16t+2$
(2) $26\ \mathrm{m}$
(3) 花弹的爆炸高度符合安全要求
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是理清两枚花弹飞行时间的对应关系，熟练运用二次函数的性质求解最值、函数值，能较好地考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
23.【操作与思考】如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=α$,点$D$是异于点$A,B$的点,且$∠ ADB=90°$.将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$α$,画出对应的线段$AE$,连接$DE$,交$BC$于点$F$,猜想$BF$与$CF$的数量关系,并证明你的猜想.
【迁移与运用】如图②,在$△ ABC$和$△ CDE$中,$AC=BC$,$CD=CE$,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,若$AC=\sqrt{10}$,$CD=\sqrt{2}$,$ED$的延长线交$AB$于点$F$,且$∠ BDC=90°$,直接写出$EF$的长.
【迁移与运用】如图②,在$△ ABC$和$△ CDE$中,$AC=BC$,$CD=CE$,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,若$AC=\sqrt{10}$,$CD=\sqrt{2}$,$ED$的延长线交$AB$于点$F$,且$∠ BDC=90°$,直接写出$EF$的长.
答案
23.【操作与思考】画图如图所示
，$BF=CF$。证明:分别过点B,C作$BG⊥DE$于点G，$CH⊥DE$于点H。
根据旋转的性质得$AD=AE$，$∠DAE=α$。
$\because ∠BAC=α$，$\therefore ∠BAD=∠CAE$，
$\because AB=AC$，$\therefore △ADB≌△AEC$(SAS)，$\therefore BD=CE$，$∠ADB=∠AEC=90°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ADE=∠AED$，
$\because ∠BDG+∠ADE=∠AED+∠CEH=90°$，$\therefore ∠BDG=∠CEH$，
$\because ∠BGD=∠CHE=90°$，$\therefore △BDG≌△CEH$(AAS)，$\therefore BG=CH$。
$\because ∠BFG=∠CFH$，$∠BGD=∠CHF=90°$，$\therefore △BFG≌△CFH$(AAS)，
$\therefore BF=CF$。
提示:也可过点C作BD的平行线交EF于点M进行证明。
【迁移与运用】3
提示:连接AE，延长EF，过点B作$BG⊥EF$于点G，过点A作$AH⊥EF$于点H。$△ABC$，$△DCE$，$△BDG$，$△AEH$都为等腰直角三角形，由勾股定理求$AH=EH=DE=BG=DG=2$，得点H与点D为同一点。通过$△ADF≌△BGF$得$DF=GF=\dfrac{1}{2}DG=1$，故$EF=DE+DF=3$。
解析
【分析】
操作与思考部分：首先根据旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=∠BAC=α，进而推出∠BAD=∠CAE，结合AB=AC可证△ADB≌△AEC，得到BD=CE、∠AEC=∠ADB=90°；要证BF=CF，可通过证明BF、CF所在的三角形全等，因此过B、C分别作DE的垂线构造直角三角形，先证△BDG≌△CEH得BG=CH，再证△BFG≌△CFH即可得到BF=CF。
迁移与运用部分：先证△BCD≌△ACE，得∠AEC=∠BDC=90°、AE=BD；结合△CDE是等腰直角三角形求出DE的长，再通过勾股定理求出AE的长，由∠CED=∠CDE=45°可得△AEH、△BDG均为等腰直角三角形，求出对应直角边长度，结合全等三角形的性质求出DF的长，即可得到EF的长度。
【解析】
【操作与思考】
画图如图所示，猜想$BF=CF$，证明如下：
分别过点B、C作$BG⊥DE$于点G，$CH⊥DE$于点H。
由旋转的性质得：$AD=AE$，$∠DAE=α$。
$\because ∠BAC=α$，$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△ ADB$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ AEC(SAS)$，$\therefore BD=CE$，$∠ADB=∠AEC=90°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ADE=∠AED$。
$\because ∠BDG+∠ADE=180°-∠ADB=90°$，$∠AED+∠CEH=∠AEC=90°$，
$\therefore ∠BDG=∠CEH$。
在$△ BDG$和$△ CEH$中：
$\begin{cases}∠BGD=∠CHE=90° \\∠BDG=∠CEH \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CEH(AAS)$，$\therefore BG=CH$。
在$△ BFG$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}∠BFG=∠CFH \\∠BGD=∠CHF=90° \\BG=CH\end{cases}$
$\therefore △ BFG≌△ CFH(AAS)$，$\therefore BF=CF$。
【迁移与运用】
解：连接AE，过点B作$BG⊥EF$交EF延长线于点G，过点A作$AH⊥EF$于点H。
$\because ∠ACB=∠DCE=90°$，$\therefore ∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD$，即$∠BCD=∠ACE$。
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ ACE(SAS)$，$\therefore BD=AE$，$∠AEC=∠BDC=90°$。
$\because CD=CE=\sqrt{2}$，$∠DCE=90°$，$\therefore DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=2$，$∠CDE=∠CED=45°$。
$\therefore ∠BDG=180°-∠BDC-∠CDE=45°$，$∠AEH=∠AEC-∠CED=45°$，即$△ BDG$、$△ AEH$均为等腰直角三角形。
在$Rt△ ACE$中，$AC=\sqrt{10}$，$CE=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10-2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore AH=EH=\frac{AE}{\sqrt{2}}=2$，即$EH=DE$，因此点H与点D重合，$AD⊥EF$，$AD=2$。
同理可得$BG=DG=\frac{BD}{\sqrt{2}}=2$。
在$△ ADF$和$△ BGF$中：
$\begin{cases}∠ADF=∠BGF=90° \\∠AFD=∠BFG \\AD=BG=2\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BGF(AAS)$，$\therefore DF=GF$。
$\because DG=2$，$\therefore DF=\frac{1}{2}DG=1$，
$\therefore EF=DE+DF=2+1=3$。
【答案】
【操作与思考】画图如图所示，$\boldsymbol{BF=CF}$，证明见解析；
【迁移与运用】$\boldsymbol{3}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以几何操作探究为背景，先通过旋转构造全等三角形，再采用作垂线的方法构造二次全等证明线段相等，迁移运用部分需灵活运用前一问的解题思路，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质求解，考查了几何综合分析与知识迁移的能力。
【难度系数】
0.4
操作与思考部分：首先根据旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=∠BAC=α，进而推出∠BAD=∠CAE，结合AB=AC可证△ADB≌△AEC，得到BD=CE、∠AEC=∠ADB=90°；要证BF=CF，可通过证明BF、CF所在的三角形全等，因此过B、C分别作DE的垂线构造直角三角形，先证△BDG≌△CEH得BG=CH，再证△BFG≌△CFH即可得到BF=CF。
迁移与运用部分：先证△BCD≌△ACE，得∠AEC=∠BDC=90°、AE=BD；结合△CDE是等腰直角三角形求出DE的长，再通过勾股定理求出AE的长，由∠CED=∠CDE=45°可得△AEH、△BDG均为等腰直角三角形，求出对应直角边长度，结合全等三角形的性质求出DF的长，即可得到EF的长度。
【解析】
【操作与思考】
画图如图所示
，猜想$BF=CF$，证明如下：分别过点B、C作$BG⊥DE$于点G，$CH⊥DE$于点H。
由旋转的性质得：$AD=AE$，$∠DAE=α$。
$\because ∠BAC=α$，$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△ ADB$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ AEC(SAS)$，$\therefore BD=CE$，$∠ADB=∠AEC=90°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ADE=∠AED$。
$\because ∠BDG+∠ADE=180°-∠ADB=90°$，$∠AED+∠CEH=∠AEC=90°$，
$\therefore ∠BDG=∠CEH$。
在$△ BDG$和$△ CEH$中：
$\begin{cases}∠BGD=∠CHE=90° \\∠BDG=∠CEH \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CEH(AAS)$，$\therefore BG=CH$。
在$△ BFG$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}∠BFG=∠CFH \\∠BGD=∠CHF=90° \\BG=CH\end{cases}$
$\therefore △ BFG≌△ CFH(AAS)$，$\therefore BF=CF$。
【迁移与运用】
解：连接AE，过点B作$BG⊥EF$交EF延长线于点G，过点A作$AH⊥EF$于点H。
$\because ∠ACB=∠DCE=90°$，$\therefore ∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD$，即$∠BCD=∠ACE$。
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ ACE(SAS)$，$\therefore BD=AE$，$∠AEC=∠BDC=90°$。
$\because CD=CE=\sqrt{2}$，$∠DCE=90°$，$\therefore DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=2$，$∠CDE=∠CED=45°$。
$\therefore ∠BDG=180°-∠BDC-∠CDE=45°$，$∠AEH=∠AEC-∠CED=45°$，即$△ BDG$、$△ AEH$均为等腰直角三角形。
在$Rt△ ACE$中，$AC=\sqrt{10}$，$CE=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10-2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore AH=EH=\frac{AE}{\sqrt{2}}=2$，即$EH=DE$，因此点H与点D重合，$AD⊥EF$，$AD=2$。
同理可得$BG=DG=\frac{BD}{\sqrt{2}}=2$。
在$△ ADF$和$△ BGF$中：
$\begin{cases}∠ADF=∠BGF=90° \\∠AFD=∠BFG \\AD=BG=2\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BGF(AAS)$，$\therefore DF=GF$。
$\because DG=2$，$\therefore DF=\frac{1}{2}DG=1$，
$\therefore EF=DE+DF=2+1=3$。
【答案】
【操作与思考】画图如图所示
，$\boldsymbol{BF=CF}$，证明见解析；【迁移与运用】$\boldsymbol{3}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以几何操作探究为背景，先通过旋转构造全等三角形，再采用作垂线的方法构造二次全等证明线段相等，迁移运用部分需灵活运用前一问的解题思路，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质求解，考查了几何综合分析与知识迁移的能力。
【难度系数】
0.4
