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24.如图,抛物线 $y=x^2-2x-6$ 与 $x$ 轴相交于 $A,B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧),点 $C$ 是 $AB$ 的中点,平行四边形 $CDEF$ 的顶点 $D,E$ 均在抛物线上.
(1)直接写出点 $C$ 的坐标.
(2)如图①,若点 $D$ 的横坐标是$-2$,点 $E$ 在第三象限,平行四边形 $CDEF$ 的面积是 $13$,求点 $F$ 的坐标.
(3)如图②,若点 $F$ 在抛物线上,连接 $DF$,求证:直线 $DF$ 过一定点.
(1)直接写出点 $C$ 的坐标.
(2)如图①,若点 $D$ 的横坐标是$-2$,点 $E$ 在第三象限,平行四边形 $CDEF$ 的面积是 $13$,求点 $F$ 的坐标.
(3)如图②,若点 $F$ 在抛物线上,连接 $DF$,求证:直线 $DF$ 过一定点.
答案
24.(1)$C(1,0)$。
(2)过点E作y轴的平行线EG交CD于点G，连接CE。
$\because D$是抛物线上一点，且横坐标是-2，$\therefore D(-2,2)$。
设直线CD的解析式是$y=kx+b$，代入点C,D的坐标得$\begin{cases}k+b=0,\\-2k+b=2,\end{cases}$解得$k=-\dfrac{2}{3},b=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore$直线CD的解析式是$y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
设点E的坐标为$(t,t^2-2t-6)$，其中$t＜0$且$t^2-2t-6＜0$，
则点G的坐标为$(t,-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3})$，$\therefore EG=-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3}-(t^2-2t-6)=-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3}$。
$\because S_{平行四边形CDEF}=2S_{△CDE}=EG·(x_C-x_D)$，$\therefore 3(-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3})=13$，解得$t_1=-1,t_2=\dfrac{7}{3}$。
$\because$点E在第三象限，$\therefore t=-1$，$t^2-2t-6=-3$，$\therefore$点E的坐标为$(-1,-3)$。
$\because CD,EF$为平行四边形的对边，$\therefore$点F的坐标为$(2,-5)$。
(3)设$D(x_D,y_D),E(x_E,y_E),F(x_F,y_F)$，直线DF的解析式是$y=mx+n$。
联立抛物线和直线DF的解析式得$\begin{cases}y=x^2-2x-6,\\y=mx+n,\end{cases}$整理得$x^2-(2+m)x-6-n=0$，
根据根与系数的关系可知$x_Dx_F=-6-n$，$x_D+x_F=2+m$。
$\because$四边形CDEF是平行四边形，$\therefore x_D-x_C=x_E-x_F$，$y_D-y_C=y_E-y_F$。
$\because C(1,0)$，$\therefore x_D-1=x_E-x_F$，$y_D=y_E-y_F$。
$\therefore x_E=x_D+x_F-1=1+m$，$y_D+y_F=y_E$。
$\because$点E在抛物线上，$\therefore y_E=x_E^2-2x_E-6=(1+m)^2-2(1+m)-6=m^2-7$。
$\because D,F$两点在$y=mx+n$上，$\therefore y_D=mx_D+n$，$y_F=mx_F+n$。
$\therefore mx_D+n+mx_F+n=m^2-7$，即$m(x_D+x_F)+2n=m^2-7$，
$\therefore m(2+m)+2n=m^2-7$，$\therefore n=-m-\dfrac{7}{2}$。
$\therefore$直线DF的解析式是$y=mx+(-m-\dfrac{7}{2})=m(x-1)-\dfrac{7}{2}$，
$\therefore$直线DF过定点$(1,-\dfrac{7}{2})$。
提示:也可由D,E,F三点都在抛物线$y=x^2-2x-6=(x-1)^2-7$上，
将$y_E+y_C=y_D+y_F$，$x_E=x_D+x_F-1$代入解析式，
得$(x_D+x_F-1-1)^2-7=(x_D-1)^2-7+(x_F-1)^2-7$，故$x_Dx_F-(x_D+x_F)=-\dfrac{9}{2}$。
再将$x_Dx_F=-6-n$，$x_D+x_F=2+m$代入上式化简可得$n=-m-\dfrac{7}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求点C坐标：抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，AB中点C在对称轴上且位于x轴，先求抛物线对称轴即可直接得到C点坐标。
(2) 求点F坐标：先将D点横坐标代入抛物线解析式求D点坐标，用待定系数法求直线CD的解析式；作EG平行y轴交CD于G，设E点坐标，用E、G纵坐标差表示铅垂高EG，结合平行四边形面积等于2倍$△ CDE$面积（即铅垂高×水平宽）列方程求出E点坐标；再根据平行四边形对边的坐标平移规律，由C、D、E坐标求出F点坐标。
(3) 证明直线DF过定点：设直线DF解析式，将其与抛物线解析式联立，用韦达定理得到D、F横坐标的和与积；结合平行四边形对边坐标平移关系，用D、F坐标表示E点坐标，再将E点坐标代入抛物线解析式，化简直线DF的解析式，找到与参数无关的点即为定点。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2-2x-6$的对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$，A、B是抛物线与x轴的交点，两点关于对称轴对称，C为AB中点且在x轴上，因此$C(1,0)$。
(2) 过点E作y轴的平行线EG交CD于点G，连接CE。
∵D在抛物线上，横坐标为-2，代入解析式得$y=(-2)^2-2×(-2)-6=2$，
∴$D(-2,2)$。
设直线CD解析式为$y=kx+b$，代入$C(1,0)$、$D(-2,2)$得：
$\begin{cases}k+b=0\\-2k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3}\\b=\dfrac{2}{3}\end{cases}$，即直线CD解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
设$E(t,t^2-2t-6)$，因E在第三象限，故$t＜0$且$t^2-2t-6＜0$，则G点横坐标为t，代入直线CD解析式得$G(t,-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3})$。
∴$EG=(-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3})-(t^2-2t-6)=-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3}$。
∵$S_{平行四边形CDEF}=2S_{△ CDE}=EG·|x_C-x_D|$，$|x_C-x_D|=3$，面积为13，
∴$3(-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3})=13$，解得$t_1=-1$，$t_2=\dfrac{7}{3}$。
∵E在第三象限，故$t=-1$，代入抛物线得$y=-3$，即$E(-1,-3)$。
由平行四边形对边平移规律：$x_D-x_C=x_E-x_F$，$y_D-y_C=y_E-y_F$，代入坐标得$x_F=2$，$y_F=-5$，即$F(2,-5)$。
(3) 设直线DF解析式为$y=mx+n$，联立抛物线解析式得：
$\begin{cases}y=x^2-2x-6\\y=mx+n\end{cases}$，消去y得$x^2-(2+m)x-6-n=0$，由韦达定理得$x_D+x_F=2+m$，$x_Dx_F=-6-n$。
∵四边形CDEF是平行四边形，$C(1,0)$，
∴$x_E=x_D+x_F-1=1+m$，$y_E=y_D+y_F$。
∵E在抛物线上，
∴$y_E=(1+m)^2-2(1+m)-6=m^2-7$。
又$y_D=mx_D+n$，$y_F=mx_F+n$，故$y_E=m(x_D+x_F)+2n$，代入$x_D+x_F=2+m$、$y_E=m^2-7$得：
$m(2+m)+2n=m^2-7$，化简得$n=-m-\dfrac{7}{2}$。
∴直线DF解析式为$y=m(x-1)-\dfrac{7}{2}$，当$x=1$时$y=-\dfrac{7}{2}$，与m取值无关，故直线DF过定点$(1,-\dfrac{7}{2})$。
【答案】
(1)$C(1,0)$。
(2)过点E作y轴的平行线EG交CD于点G，连接CE。
$\because D$是抛物线上一点，且横坐标是$-2$，$\therefore D(-2,2)$。
设直线CD的解析式是$y=kx+b$，代入点C,D的坐标得$\begin{cases}k+b=0,\\-2k+b=2,\end{cases}$解得$k=-\dfrac{2}{3},b=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore$直线CD的解析式是$y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
设点E的坐标为$(t,t^2-2t-6)$，其中$t＜0$且$t^2-2t-6＜0$，
则点G的坐标为$(t,-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3})$，$\therefore EG=-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3}-(t^2-2t-6)=-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3}$。
$\because S_{平行四边形CDEF}=2S_{△CDE}=EG·(x_C-x_D)$，$\therefore 3(-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3})=13$，解得$t_1=-1,t_2=\dfrac{7}{3}$。
$\because$点E在第三象限，$\therefore t=-1$，$t^2-2t-6=-3$，$\therefore$点E的坐标为$(-1,-3)$。
$\because CD,EF$为平行四边形的对边，$\therefore$点F的坐标为$(2,-5)$。
(3)直线DF过定点$(1,-\dfrac{7}{2})$。
【知识点】
二次函数性质，平行四边形坐标性质，一次函数定点
【点评】
本题为二次函数综合题，前两问考查基础的坐标求解、解析式计算和平行四边形面积应用，难度适中；第三问考查代数推理能力，需要结合韦达定理和平行四边形坐标变换规律探究定点，对综合计算能力要求较高，是二次函数压轴题的常考题型。
【难度系数】
0.3
(1) 求点C坐标：抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，AB中点C在对称轴上且位于x轴，先求抛物线对称轴即可直接得到C点坐标。
(2) 求点F坐标：先将D点横坐标代入抛物线解析式求D点坐标，用待定系数法求直线CD的解析式；作EG平行y轴交CD于G，设E点坐标，用E、G纵坐标差表示铅垂高EG，结合平行四边形面积等于2倍$△ CDE$面积（即铅垂高×水平宽）列方程求出E点坐标；再根据平行四边形对边的坐标平移规律，由C、D、E坐标求出F点坐标。
(3) 证明直线DF过定点：设直线DF解析式，将其与抛物线解析式联立，用韦达定理得到D、F横坐标的和与积；结合平行四边形对边坐标平移关系，用D、F坐标表示E点坐标，再将E点坐标代入抛物线解析式，化简直线DF的解析式，找到与参数无关的点即为定点。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2-2x-6$的对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$，A、B是抛物线与x轴的交点，两点关于对称轴对称，C为AB中点且在x轴上，因此$C(1,0)$。
(2) 过点E作y轴的平行线EG交CD于点G，连接CE。
∵D在抛物线上，横坐标为-2，代入解析式得$y=(-2)^2-2×(-2)-6=2$，
∴$D(-2,2)$。
设直线CD解析式为$y=kx+b$，代入$C(1,0)$、$D(-2,2)$得：
$\begin{cases}k+b=0\\-2k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3}\\b=\dfrac{2}{3}\end{cases}$，即直线CD解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
设$E(t,t^2-2t-6)$，因E在第三象限，故$t＜0$且$t^2-2t-6＜0$，则G点横坐标为t，代入直线CD解析式得$G(t,-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3})$。
∴$EG=(-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3})-(t^2-2t-6)=-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3}$。
∵$S_{平行四边形CDEF}=2S_{△ CDE}=EG·|x_C-x_D|$，$|x_C-x_D|=3$，面积为13，
∴$3(-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3})=13$，解得$t_1=-1$，$t_2=\dfrac{7}{3}$。
∵E在第三象限，故$t=-1$，代入抛物线得$y=-3$，即$E(-1,-3)$。
由平行四边形对边平移规律：$x_D-x_C=x_E-x_F$，$y_D-y_C=y_E-y_F$，代入坐标得$x_F=2$，$y_F=-5$，即$F(2,-5)$。
(3) 设直线DF解析式为$y=mx+n$，联立抛物线解析式得：
$\begin{cases}y=x^2-2x-6\\y=mx+n\end{cases}$，消去y得$x^2-(2+m)x-6-n=0$，由韦达定理得$x_D+x_F=2+m$，$x_Dx_F=-6-n$。
∵四边形CDEF是平行四边形，$C(1,0)$，
∴$x_E=x_D+x_F-1=1+m$，$y_E=y_D+y_F$。
∵E在抛物线上，
∴$y_E=(1+m)^2-2(1+m)-6=m^2-7$。
又$y_D=mx_D+n$，$y_F=mx_F+n$，故$y_E=m(x_D+x_F)+2n$，代入$x_D+x_F=2+m$、$y_E=m^2-7$得：
$m(2+m)+2n=m^2-7$，化简得$n=-m-\dfrac{7}{2}$。
∴直线DF解析式为$y=m(x-1)-\dfrac{7}{2}$，当$x=1$时$y=-\dfrac{7}{2}$，与m取值无关，故直线DF过定点$(1,-\dfrac{7}{2})$。
【答案】
(1)$C(1,0)$。
(2)过点E作y轴的平行线EG交CD于点G，连接CE。
$\because D$是抛物线上一点，且横坐标是$-2$，$\therefore D(-2,2)$。
设直线CD的解析式是$y=kx+b$，代入点C,D的坐标得$\begin{cases}k+b=0,\\-2k+b=2,\end{cases}$解得$k=-\dfrac{2}{3},b=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore$直线CD的解析式是$y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
设点E的坐标为$(t,t^2-2t-6)$，其中$t＜0$且$t^2-2t-6＜0$，
则点G的坐标为$(t,-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3})$，$\therefore EG=-\dfrac{2}{3}t+\dfrac{2}{3}-(t^2-2t-6)=-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3}$。
$\because S_{平行四边形CDEF}=2S_{△CDE}=EG·(x_C-x_D)$，$\therefore 3(-t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{20}{3})=13$，解得$t_1=-1,t_2=\dfrac{7}{3}$。
$\because$点E在第三象限，$\therefore t=-1$，$t^2-2t-6=-3$，$\therefore$点E的坐标为$(-1,-3)$。
$\because CD,EF$为平行四边形的对边，$\therefore$点F的坐标为$(2,-5)$。
(3)直线DF过定点$(1,-\dfrac{7}{2})$。
【知识点】
二次函数性质，平行四边形坐标性质，一次函数定点
【点评】
本题为二次函数综合题，前两问考查基础的坐标求解、解析式计算和平行四边形面积应用，难度适中；第三问考查代数推理能力，需要结合韦达定理和平行四边形坐标变换规律探究定点，对综合计算能力要求较高，是二次函数压轴题的常考题型。
【难度系数】
0.3
