1. 如图,在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴正半轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为$(m+2,3n)$,则m与n的关系为 ()

A.$m-3n=2$
B.$3n-m=3$
C.$m+3n=-2$
D.$m+2=3n$

1. C

【分析】
首先根据题目描述的尺规作图方法，可判断点C在第二象限直角∠AOB的角平分线上；其次回忆第二象限角平分线上点的坐标特征：该位置的点横坐标与纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0；最后将点C的坐标代入该特征式，整理即可得到m与n的关系。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，点C在∠AOB的角平分线上，∠AOB为第二象限的直角，因此第二象限角平分线上的点满足横坐标与纵坐标互为相反数，即横坐标+纵坐标=0。
已知点C的坐标为$(m+2,3n)$，代入得：
$m+2 + 3n = 0$
整理可得：$m+3n=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图；象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题综合考察尺规作图的识别和平面直角坐标系中点的坐标规律，解题核心是准确判断点C的位置特征，侧重基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7

2. 在平面直角坐标系中，已知点$A(-2,3)$，$B(2,-1)$，经过点$A$的直线$l// x$轴，点$C$是直线$l$上的一个动点，当线段$BC$的长度最短时，点$C$的坐标为（）

A.$(0,-1)$
B.$(-1,-2)$
C.$(-2,-1)$
D.$(2,3)$

2. D

【分析】
首先，先根据平行于x轴的直线的坐标特征，确定直线l的解析式：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，过点A(-2,3)的直线l解析式为y=3。其次，回忆“垂线段最短”的性质，可知当BC垂直于直线l时，线段BC的长度最短。最后，结合垂直于水平直线的线为竖直线，竖直线上所有点横坐标相等，可推出点C的横坐标和点B的横坐标相同，再代入直线l的解析式就能求出点C的坐标。
【解析】
1. 求直线l的解析式
∵直线$l// x$轴，且经过点$A(-2,3)$，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等
∴直线$l$的解析式为$y=3$
2. 确定BC最短时的位置
根据垂线段最短的性质，当$BC⊥$直线$l$时，线段BC的长度最短
3. 求点C的坐标
∵直线$l$平行于x轴，因此垂直于直线$l$的线段BC为竖直线段，竖直线上所有点横坐标相等
∵点B的坐标为$(2,-1)$，
∴点C的横坐标为2
又
∵点C在直线$l:y=3$上，
∴点C的纵坐标为3
综上，点C的坐标为$(2,3)$
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短，平行于坐标轴的直线坐标特征，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查点到直线最短距离的应用，解题关键是先根据平行于x轴的直线特征确定直线l的解析式，再利用垂线段的性质定位动点C的位置，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7

3. 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标的6倍与纵坐标之差为6，则称这个点为“如意点”。
下列结论中，错误的是 （）

A.$(2,6)$是“如意点”
B.第二象限内不存在“如意点”
C.若点$P$是“如意点”，且在坐标轴上，则点$P$的坐标为$(1,0)$
D.已知点$A(-1,-1),B(3,-1)$，若点$Q$是第四象限内的“如意点”，点$Q$到直线$AB$的距离为$d$，则$0≤ d＜5$

3. C

【分析】
首先理解“如意点”的新定义，将其转化为坐标满足的关系式：设点坐标为$(x,y)$，则满足$6x-y=6$，即$y=6x-6$。接下来逐一分析每个选项：A选项直接代入坐标验证即可；B选项结合第二象限点横、纵坐标的符号特征，代入关系式判断是否存在符合条件的点；C选项分点在x轴、y轴两种情况分类讨论，求出所有符合条件的点；D选项先确定直线AB的解析式，结合第四象限“如意点”的坐标范围，求出距离$d$的取值范围即可判断。
【解析】
设“如意点”的坐标为$(x,y)$，由题意得$6x-y=6$，即$y=6x-6$。
选项A：将$x=2$代入$y=6x-6$，得$y=6×2-6=6$，故$(2,6)$是“如意点”，A结论正确，不符合题意。
选项B：第二象限内的点满足$x＜0$，$y＞0$，当$x＜0$时，$y=6x-6＜-6＜0$，不可能满足$y＞0$，故第二象限内不存在“如意点”，B结论正确，不符合题意。
选项C：若“如意点”在坐标轴上，分两种情况：①在x轴上时，$y=0$，代入得$6x=6$，解得$x=1$，即点$(1,0)$；②在y轴上时，$x=0$，代入得$y=6×0-6=-6$，即点$(0,-6)$。故符合条件的点P坐标为$(1,0)$或$(0,-6)$，C结论错误，符合题意。
选项D：直线AB过点$A(-1,-1)$、$B(3,-1)$，故直线AB的解析式为$y=-1$。点Q是第四象限内的“如意点”，故$x＞0$，$y=6x-6＜0$，解得$0＜x＜1$。点Q到直线AB的距离$d=|y-(-1)|=|6x-6+1|=|6x-5|$，当$x=\frac{5}{6}$时，$d$取最小值0；当$x$趋近于0时，$d$趋近于5，故$0≤ d＜5$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
新定义问题，一次函数的性质，点的坐标特征
【点评】
本题以新定义为背景，考查一次函数的综合应用，解题的关键是准确转化新定义，结合坐标系内不同区域点的坐标特征、分类讨论思想逐一分析选项，计算时注意不要遗漏坐标轴上点的两种情况。
【难度系数】
0.65

4. 如图,在平面直角坐标系中,过点A(0,4)的直线a⊥y轴,M(9,4)为直线a上一点.点P从点M出发,以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动;同时,点Q从原点出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动.设运动时间为t s.
(1) 几秒后AP=OQ?
(2) 若以A,O,Q,P为顶点的四边形的面积是10,求点P的坐标.

4. (1) $PM=2t,OQ=t$,$\because$ 当点$P$在线段$AM$上移动时,$AP=OQ$,$\therefore AP=9-2t. \therefore 9-2t=t,t=3. \therefore 3\ \mathrm{s}$后$AP=OQ$
(2) 点$P$的坐标为$(1,4)$或$(-\frac{1}{3},4)$

【分析】
(1) 先根据两点的运动速度和时间，分别用含t的代数式表示出AP和OQ的长度：点P向左运动t秒的路程为2t，故P在A右侧时AP=9-2t；点Q向右运动t秒的路程为t，故OQ=t。再根据AP=OQ的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 由题意可知以A、O、Q、P为顶点的四边形是梯形，高为OA的长度4，上下底分别为AP和OQ，结合梯形面积公式列方程求解，注意要分点P在y轴右侧和左侧两种情况讨论，避免漏解，最后根据t的值计算P的坐标即可。
【解析】
(1) 由运动规律可得：t秒后，$PM=2t$，$OQ=t$。
∵直线$a⊥ y$轴，$A(0,4)$，$M(9,4)$，
∴$AM=9$，当点P在线段AM上时，$AP=AM-PM=9-2t$。
令$AP=OQ$，即$9-2t=t$，
解得$t=3$。
(2) 由题意得$OA=4$，且$OA⊥$直线$a$、$OA⊥ x$轴，因此四边形$AOQP$为梯形，高为$OA=4$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，分两种情况讨论：
① 当点P在y轴右侧时，$AP=9-2t$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×(9-2t+t)×4=10$
化简得$2×(9-t)=10$，解得$t=4$。
此时点P的横坐标为$9-2×4=1$，纵坐标为4，即$P(1,4)$。
② 当点P在y轴左侧时，$AP=2t-9$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×(2t-9+t)×4=10$
化简得$2×(3t-9)=10$，解得$t=\frac{14}{3}$。
此时点P的横坐标为$9-2×\frac{14}{3}=-\frac{1}{3}$，纵坐标为4，即$P(-\frac{1}{3},4)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$；(2) $\boldsymbol{(1,4)}$或$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{3},4)}$
【知识点】
动点问题，一元一次方程应用，梯形面积计算
【点评】
本题结合动点运动考查坐标与图形的性质，解题关键是根据运动规律用含t的代数式表示对应线段长度，求解时要注意分类讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65