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一、基础性作业
1. 下列算式正确的是(
A.$-3+2=5$
B.$-\dfrac{1}{4}÷(-4)=1$
C.$(-8)^2=-16$
D.$(-5)-(-2)=-3$
1. 下列算式正确的是(
D
)。A.$-3+2=5$
B.$-\dfrac{1}{4}÷(-4)=1$
C.$(-8)^2=-16$
D.$(-5)-(-2)=-3$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查有理数的基础运算，解题时我们需要依次对每个选项运用对应的有理数运算法则计算，将计算结果和选项给出的结果对比，排除错误选项，就能找到正确答案。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值。$-3+2=-(3-2)=-1≠5$，故A错误；
B选项：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，两数相除同号得正。$-\dfrac{1}{4}÷(-4)=-\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{16}≠1$，故B错误；
C选项：负数的偶次幂是正数，$(-8)^2=(-8)×(-8)=64≠-16$，故C错误；
D选项：减去一个数等于加上这个数的相反数，$(-5)-(-2)=-5+2=-3$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘除运算；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对有理数各类运算法则的掌握情况，计算时注意符号的判断是解题的关键。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数的基础运算，解题时我们需要依次对每个选项运用对应的有理数运算法则计算，将计算结果和选项给出的结果对比，排除错误选项，就能找到正确答案。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值。$-3+2=-(3-2)=-1≠5$，故A错误；
B选项：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，两数相除同号得正。$-\dfrac{1}{4}÷(-4)=-\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{16}≠1$，故B错误；
C选项：负数的偶次幂是正数，$(-8)^2=(-8)×(-8)=64≠-16$，故C错误；
D选项：减去一个数等于加上这个数的相反数，$(-5)-(-2)=-5+2=-3$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘除运算；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对有理数各类运算法则的掌握情况，计算时注意符号的判断是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 数学课上某同学设计了一个程序，当输入任意一个有序数对$(a,b)$时，会得到一个新的数:$(a+3)(b-3)$，例如:输入有序数对$(3,5)$，得到的新数是$(3+3)×(5-3)=12$。有一个学生输入有序数对$(-6,1)$，得到的新数是(
A.3
B.0
C.$-3$
D.6
D
)。A.3
B.0
C.$-3$
D.6
答案
2.D
解析
【分析】
本题属于定义新运算题型，解题思路清晰明确：第一步先弄懂题目给出的运算规则，即输入有序数对$(a,b)$时，输出的新数为$(a+3)$与$(b-3)$的乘积；第二步找到待计算的有序数对$(-6,1)$中对应$a$、$b$的取值，即$a=-6$，$b=1$；第三步将$a$、$b$代入公式，按照有理数混合运算的顺序，先算括号内的加减法，再算乘法得到结果，匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意，输入有序数对$(a,b)$的运算规则为：新数$=(a+3)(b-3)$
当输入有序数对为$(-6,1)$时，$a=-6$，$b=1$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(a+3)(b-3)&=(-6+3)×(1-3)\\&=(-3)×(-2)\\&=6\end{aligned}$
所得结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算，有理数的混合运算
【点评】
本题是定义新运算的基础题型，重点考查对新运算规则的理解和有理数运算的熟练度，仔细审题、准确代入数值计算即可正确解答。
【难度系数】
0.9
本题属于定义新运算题型，解题思路清晰明确：第一步先弄懂题目给出的运算规则，即输入有序数对$(a,b)$时，输出的新数为$(a+3)$与$(b-3)$的乘积；第二步找到待计算的有序数对$(-6,1)$中对应$a$、$b$的取值，即$a=-6$，$b=1$；第三步将$a$、$b$代入公式，按照有理数混合运算的顺序，先算括号内的加减法，再算乘法得到结果，匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意，输入有序数对$(a,b)$的运算规则为：新数$=(a+3)(b-3)$
当输入有序数对为$(-6,1)$时，$a=-6$，$b=1$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(a+3)(b-3)&=(-6+3)×(1-3)\\&=(-3)×(-2)\\&=6\end{aligned}$
所得结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算，有理数的混合运算
【点评】
本题是定义新运算的基础题型，重点考查对新运算规则的理解和有理数运算的熟练度，仔细审题、准确代入数值计算即可正确解答。
【难度系数】
0.9
3. 计算:
(1)$3+(-2)=$
(2)$(-4)×(-2)=$
(3)$0÷(-5)=$
(4)$|-13|+(-4)=$
(5)$(-5)÷(-\dfrac{1}{2})=$
(6)$3^2×(-\dfrac{1}{4})=$
(1)$3+(-2)=$
1
;(2)$(-4)×(-2)=$
8
;(3)$0÷(-5)=$
0
;(4)$|-13|+(-4)=$
9
;(5)$(-5)÷(-\dfrac{1}{2})=$
10
;(6)$3^2×(-\dfrac{1}{4})=$
$-\dfrac{9}{4}$
。答案
3.(1)1 (2)8 (3)0 (4)9 (5)10 (6)$-\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
这组题目是有理数基础运算的考察，涵盖了加减、乘除、乘方、绝对值化简的知识点。解题时先明确运算顺序：有绝对值、乘方的先计算绝对值和乘方，再算乘除，最后算加减；运算时先根据对应法则判断结果的符号，再计算绝对值部分的数值即可。各小问对应的思考方向：(1)按照异号两数加法法则计算；(2)按照同号两数乘法法则计算；(3)根据0除以非0有理数的特性直接得结果；(4)先化简绝对值再做加法运算；(5)将除法转化为乘法后计算；(6)先算乘方再算乘法。
【解析】
(1) 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值：$3+(-2)=+(3-2)=1$
(2) 同号两数相乘，积为正，再把绝对值相乘：$(-4)×(-2)=+(4×2)=8$
(3) 0除以任何不为0的数都得0，$-5≠0$，因此$0÷(-5)=0$
(4) 先计算绝对值，再做加法：$|-13|+(-4)=13-4=9$
(5) 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数：$(-5)÷(-\dfrac{1}{2})=(-5)×(-2)=10$
(6) 先算乘方，再算乘法，异号相乘得负：$3^2×(-\dfrac{1}{4})=9×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{9}{4}$
【答案】
(1)1 (2)8 (3)0 (4)9 (5)10 (6)$-\dfrac{9}{4}$
【知识点】
有理数四则运算、绝对值的性质、乘方的运算
【点评】
本题侧重考察有理数基础运算的掌握程度，均为常考基础题型，解题的关键是准确记忆各类运算法则，注意运算顺序和符号判断，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
这组题目是有理数基础运算的考察，涵盖了加减、乘除、乘方、绝对值化简的知识点。解题时先明确运算顺序：有绝对值、乘方的先计算绝对值和乘方，再算乘除，最后算加减；运算时先根据对应法则判断结果的符号，再计算绝对值部分的数值即可。各小问对应的思考方向：(1)按照异号两数加法法则计算；(2)按照同号两数乘法法则计算；(3)根据0除以非0有理数的特性直接得结果；(4)先化简绝对值再做加法运算；(5)将除法转化为乘法后计算；(6)先算乘方再算乘法。
【解析】
(1) 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值：$3+(-2)=+(3-2)=1$
(2) 同号两数相乘，积为正，再把绝对值相乘：$(-4)×(-2)=+(4×2)=8$
(3) 0除以任何不为0的数都得0，$-5≠0$，因此$0÷(-5)=0$
(4) 先计算绝对值，再做加法：$|-13|+(-4)=13-4=9$
(5) 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数：$(-5)÷(-\dfrac{1}{2})=(-5)×(-2)=10$
(6) 先算乘方，再算乘法，异号相乘得负：$3^2×(-\dfrac{1}{4})=9×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{9}{4}$
【答案】
(1)1 (2)8 (3)0 (4)9 (5)10 (6)$-\dfrac{9}{4}$
【知识点】
有理数四则运算、绝对值的性质、乘方的运算
【点评】
本题侧重考察有理数基础运算的掌握程度，均为常考基础题型，解题的关键是准确记忆各类运算法则，注意运算顺序和符号判断，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
4. 如果$x$是最大的负整数，$y$是绝对值最小的整数，那么$x^{2021}+\frac{y}{2021}$的值是________。
答案
4.-1
解析
【分析】
解题时首先要根据题干给出的条件确定x和y的取值：第一步，回忆负整数的范围，找到最大的负整数得到x的值；第二步，根据绝对值的非负性，找到绝对值最小的整数得到y的值；第三步，将x、y代入所求代数式，按照有理数乘方和除法的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵x是最大的负整数，
∴x = -1；
∵y是绝对值最小的整数，绝对值最小的数是0，
∴y = 0；
将x=-1，y=0代入$x^{2021}+\frac{y}{2021}$得：
原式$=(-1)^{2021} + \frac{0}{2021}$
∵2021是奇数，负数的奇次幂为负数，
∴$(-1)^{2021}=-1$，$\frac{0}{2021}=0$，
∴原式$=-1 + 0 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
有理数的概念；绝对值的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对有理数常见基础概念的识记与应用，解题的关键是准确判断出x、y的取值，计算时注意负数奇次幂的符号即可避免出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先要根据题干给出的条件确定x和y的取值：第一步，回忆负整数的范围，找到最大的负整数得到x的值；第二步，根据绝对值的非负性，找到绝对值最小的整数得到y的值；第三步，将x、y代入所求代数式，按照有理数乘方和除法的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵x是最大的负整数，
∴x = -1；
∵y是绝对值最小的整数，绝对值最小的数是0，
∴y = 0；
将x=-1，y=0代入$x^{2021}+\frac{y}{2021}$得：
原式$=(-1)^{2021} + \frac{0}{2021}$
∵2021是奇数，负数的奇次幂为负数，
∴$(-1)^{2021}=-1$，$\frac{0}{2021}=0$，
∴原式$=-1 + 0 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
有理数的概念；绝对值的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对有理数常见基础概念的识记与应用，解题的关键是准确判断出x、y的取值，计算时注意负数奇次幂的符号即可避免出错。
【难度系数】
0.9
5.“24点游戏”你会玩吗？把3，4，－6，10四个数，利用加、减、乘、除或乘方列出一个结果等于24的算式：
$(10-6+4)×3$(答案不唯一)
。答案
5.$(10-6+4)×3$(答案不唯一)
解析
【分析】
解24点类题目常用凑数法：优先联想乘积为24的组合（如3×8、4×6、12×2等），或和差为24的组合（如30-6、18+6等），再用给出的数字凑出需要的数即可。本题中先观察到有数字3，可尝试凑出“8”使3×8=24，再用剩余的10、4、-6三个数计算出8即可得到符合要求的算式，也可以尝试其他凑数思路得到不同的正确算式。
【解析】
我们选择凑“3×8=24”的组合解题：
1. 选取数字3后，剩余数字为10、4、-6，尝试凑出数值8：
计算可得$10 + 4 + (-6) = 8$，也可写成$10 - 6 + 4 = 8$
2. 为保证先算加减部分，给加减运算添加括号，再和3相乘，得到算式：$(10 - 6 + 4) × 3$
验证：先算括号内$10-6=4$，$4+4=8$，再算$8×3=24$，符合要求。
除此以外还有其他合法算式，如$3×(10-4)-(-6)=24$等，因此答案不唯一。
【答案】
$(10-6+4)×3$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算、四则运算巧算
【点评】
本题属于开放性趣味题型，核心考查四则运算规则的灵活应用，解题时只要多尝试不同的运算组合，结合凑数思路就能快速找到答案。
【难度系数】
0.7
解24点类题目常用凑数法：优先联想乘积为24的组合（如3×8、4×6、12×2等），或和差为24的组合（如30-6、18+6等），再用给出的数字凑出需要的数即可。本题中先观察到有数字3，可尝试凑出“8”使3×8=24，再用剩余的10、4、-6三个数计算出8即可得到符合要求的算式，也可以尝试其他凑数思路得到不同的正确算式。
【解析】
我们选择凑“3×8=24”的组合解题：
1. 选取数字3后，剩余数字为10、4、-6，尝试凑出数值8：
计算可得$10 + 4 + (-6) = 8$，也可写成$10 - 6 + 4 = 8$
2. 为保证先算加减部分，给加减运算添加括号，再和3相乘，得到算式：$(10 - 6 + 4) × 3$
验证：先算括号内$10-6=4$，$4+4=8$，再算$8×3=24$，符合要求。
除此以外还有其他合法算式，如$3×(10-4)-(-6)=24$等，因此答案不唯一。
【答案】
$(10-6+4)×3$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算、四则运算巧算
【点评】
本题属于开放性趣味题型，核心考查四则运算规则的灵活应用，解题时只要多尝试不同的运算组合，结合凑数思路就能快速找到答案。
【难度系数】
0.7
6. 计算:
(1) $12 - 8 ÷ (-4) + 3$;
(2) $-3^2 × ( \frac{4}{3} + \frac{5}{9} )$;
(3) $( -\frac{5}{12} + \frac{7}{6} - \frac{3}{8} ) ÷ ( -\frac{1}{24} )$;
(4) $-1^4 + \frac{1}{4} × [ 2 × (-6) - (-4)^2 ]$;
(5) $( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} ) × (-|-12|) - 3 ÷ ( 1 - \frac{1}{4} )$;
(6) $-\frac{1}{27} × (-3)^4 - (-1)^{2021} × (-24) × ( -\frac{1}{4} + \frac{5}{6} - \frac{3}{8} )$。
(1) $12 - 8 ÷ (-4) + 3$;
(2) $-3^2 × ( \frac{4}{3} + \frac{5}{9} )$;
(3) $( -\frac{5}{12} + \frac{7}{6} - \frac{3}{8} ) ÷ ( -\frac{1}{24} )$;
(4) $-1^4 + \frac{1}{4} × [ 2 × (-6) - (-4)^2 ]$;
(5) $( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} ) × (-|-12|) - 3 ÷ ( 1 - \frac{1}{4} )$;
(6) $-\frac{1}{27} × (-3)^4 - (-1)^{2021} × (-24) × ( -\frac{1}{4} + \frac{5}{6} - \frac{3}{8} )$。
答案
6. 解:(1)原式$=12-(-2)+3=12+2+3=17$；
(2)原式$=-9×\dfrac{4}{3}-9×\dfrac{5}{9}=-12-5=-17$；
(3) 原式 $= (-\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{6}-\dfrac{3}{8}) × (-24) = -\dfrac{5}{12} × (-24)+\dfrac{7}{6}×(-24)-\dfrac{3}{8}×(-24)=10-28+9=-9$；
(4)原式$=-1+\dfrac{1}{4}×(-12-16)=-1-\dfrac{1}{4}×28=-1-7=-8$；
(5)原式$=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3})×(-12)-3÷\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}×(-12)-\dfrac{2}{3}×(-12)-3×\dfrac{4}{3}=-6+8-4=-2$；
(6)原式$=-\dfrac{1}{27}×81-(-1)×[ (-24)×(-\dfrac{1}{4}) + (-24)×\dfrac{5}{6}+(-24)×(-\dfrac{3}{8}) ] =-3+(6-20+9)=-8$。
(2)原式$=-9×\dfrac{4}{3}-9×\dfrac{5}{9}=-12-5=-17$；
(3) 原式 $= (-\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{6}-\dfrac{3}{8}) × (-24) = -\dfrac{5}{12} × (-24)+\dfrac{7}{6}×(-24)-\dfrac{3}{8}×(-24)=10-28+9=-9$；
(4)原式$=-1+\dfrac{1}{4}×(-12-16)=-1-\dfrac{1}{4}×28=-1-7=-8$；
(5)原式$=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3})×(-12)-3÷\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}×(-12)-\dfrac{2}{3}×(-12)-3×\dfrac{4}{3}=-6+8-4=-2$；
(6)原式$=-\dfrac{1}{27}×81-(-1)×[ (-24)×(-\dfrac{1}{4}) + (-24)×\dfrac{5}{6}+(-24)×(-\dfrac{3}{8}) ] =-3+(6-20+9)=-8$。
解析
【分析】
有理数混合运算需遵循固定运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算；③有括号先算括号内的，有绝对值先化简绝对值；④符合乘法分配律形式的算式可优先用分配律简化计算，减少运算量。计算过程中要格外注意符号的正负变化，比如负数的除法、乘方的符号，以及带负号的乘法分配律展开时每一项的符号处理。
【解析】
(1) 先计算除法，再按从左到右顺序计算加减：
原式$=12-(-2)+3=12+2+3=17$
(2) 先计算乘方，再用乘法分配律展开计算：
原式$=-9×\dfrac{4}{3}-9×\dfrac{5}{9}=-12-5=-17$
(3) 先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），再用乘法分配律计算：
原式 $= (-\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{6}-\dfrac{3}{8}) × (-24) = -\dfrac{5}{12} × (-24)+\dfrac{7}{6}×(-24)-\dfrac{3}{8}×(-24)=10-28+9=-9$
(4) 先计算乘方，再算括号内的运算，接着算乘法，最后算加减：
原式$=-1+\dfrac{1}{4}×(-12-16)=-1+\dfrac{1}{4}×(-28)=-1-7=-8$
(5) 先化简绝对值、计算括号内的减法，再算乘除，最后算加减，第一个乘法部分可利用分配律简化：
原式$=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3})×(-12)-3÷\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}×(-12)-\dfrac{2}{3}×(-12)-3×\dfrac{4}{3}=-6+8-4=-2$
(6) 先计算乘方，再利用乘法分配律计算后半部分的乘法，最后算加减：
原式$=-\dfrac{1}{27}×81-(-1)×[ (-24)×(-\dfrac{1}{4}) + (-24)×\dfrac{5}{6}+(-24)×(-\dfrac{3}{8}) ] =-3+(6-20+9)=-3-5=-8$
【答案】
(1)$17$；(2)$-17$；(3)$-9$；(4)$-8$；(5)$-2$；(6)$-8$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题核心考察有理数混合运算规则的应用，运算顺序判断和符号处理是主要易错点，合理使用乘法分配律能有效简化计算、降低出错概率，计算时要注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的差异，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算需遵循固定运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算；③有括号先算括号内的，有绝对值先化简绝对值；④符合乘法分配律形式的算式可优先用分配律简化计算，减少运算量。计算过程中要格外注意符号的正负变化，比如负数的除法、乘方的符号，以及带负号的乘法分配律展开时每一项的符号处理。
【解析】
(1) 先计算除法，再按从左到右顺序计算加减：
原式$=12-(-2)+3=12+2+3=17$
(2) 先计算乘方，再用乘法分配律展开计算：
原式$=-9×\dfrac{4}{3}-9×\dfrac{5}{9}=-12-5=-17$
(3) 先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），再用乘法分配律计算：
原式 $= (-\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{6}-\dfrac{3}{8}) × (-24) = -\dfrac{5}{12} × (-24)+\dfrac{7}{6}×(-24)-\dfrac{3}{8}×(-24)=10-28+9=-9$
(4) 先计算乘方，再算括号内的运算，接着算乘法，最后算加减：
原式$=-1+\dfrac{1}{4}×(-12-16)=-1+\dfrac{1}{4}×(-28)=-1-7=-8$
(5) 先化简绝对值、计算括号内的减法，再算乘除，最后算加减，第一个乘法部分可利用分配律简化：
原式$=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3})×(-12)-3÷\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}×(-12)-\dfrac{2}{3}×(-12)-3×\dfrac{4}{3}=-6+8-4=-2$
(6) 先计算乘方，再利用乘法分配律计算后半部分的乘法，最后算加减：
原式$=-\dfrac{1}{27}×81-(-1)×[ (-24)×(-\dfrac{1}{4}) + (-24)×\dfrac{5}{6}+(-24)×(-\dfrac{3}{8}) ] =-3+(6-20+9)=-3-5=-8$
【答案】
(1)$17$；(2)$-17$；(3)$-9$；(4)$-8$；(5)$-2$；(6)$-8$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题核心考察有理数混合运算规则的应用，运算顺序判断和符号处理是主要易错点，合理使用乘法分配律能有效简化计算、降低出错概率，计算时要注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的差异，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.7
