登录
7. 图2-5-1是学习有理数时，数学老师出示的一个问题和两名同学的解答过程。
图2-5-1
(1)请指出两名同学的错误分别在第几步；
(2)请你写出正确的解答过程。
图2-5-1
(1)请指出两名同学的错误分别在第几步；
(2)请你写出正确的解答过程。
答案
7. 解:(1)根据有理数的混合运算法则可知嘉嘉的错误在第一步,琪琪的错误在第三步。
(2)$(-4)^2×5-(-2)^3÷4$
$=16×5-(-8)÷4$
$=80-(-2)$
$=80+2$
$=82$。
(2)$(-4)^2×5-(-2)^3÷4$
$=16×5-(-8)÷4$
$=80-(-2)$
$=80+2$
$=82$。
解析
【分析】
解答本题需先明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时要掌握负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
第(1)问找错误时，先看嘉嘉的步骤：第一步计算$(-4)^2$，负数的偶次幂是正数，结果应为16，嘉嘉误算为-16，因此第一步错误；再看琪琪的步骤，运算顺序需先乘除后加减，琪琪第三步跳过除法先计算减法，违背运算顺序，因此第三步错误。
第(2)问按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序逐步计算即可。
【解析】
(1) 嘉嘉计算$(-4)^2$时符号判断错误，因此错误在第一步；琪琪运算时违背“先乘除后加减”的顺序，因此错误在第三步。
(2) 正确解答过程：
$\begin{aligned}(-4)^2×5-(-2)^3÷4&=16×5-(-8)÷4 \\&=80-(-2) \\&=80+2 \\&=82\end{aligned}$
【答案】
(1) 嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步；
(2) 正确结果为$\boldsymbol{82}$，过程见解析。
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算顺序、有理数符号运算
【点评】
本题属于有理数运算的常规基础题，解题核心是准确掌握运算顺序和负数乘方的符号规律，避免出现符号错误和运算顺序颠倒的问题。
【难度系数】
0.7
解答本题需先明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时要掌握负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
第(1)问找错误时，先看嘉嘉的步骤：第一步计算$(-4)^2$，负数的偶次幂是正数，结果应为16，嘉嘉误算为-16，因此第一步错误；再看琪琪的步骤，运算顺序需先乘除后加减，琪琪第三步跳过除法先计算减法，违背运算顺序，因此第三步错误。
第(2)问按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序逐步计算即可。
【解析】
(1) 嘉嘉计算$(-4)^2$时符号判断错误，因此错误在第一步；琪琪运算时违背“先乘除后加减”的顺序，因此错误在第三步。
(2) 正确解答过程：
$\begin{aligned}(-4)^2×5-(-2)^3÷4&=16×5-(-8)÷4 \\&=80-(-2) \\&=80+2 \\&=82\end{aligned}$
【答案】
(1) 嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步；
(2) 正确结果为$\boldsymbol{82}$，过程见解析。
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算顺序、有理数符号运算
【点评】
本题属于有理数运算的常规基础题，解题核心是准确掌握运算顺序和负数乘方的符号规律，避免出现符号错误和运算顺序颠倒的问题。
【难度系数】
0.7
8. 已知$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$m$是距离原点6个单位长度的点所表示的数，求$\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{m}{cd}+1$的值。
答案
8. 解:由题意得:$a+b=0$,$cd=1$,$m=±6$,
所以当$m=6$时,原式$=0+6+1=7$；
当$m=-6$时,原式$=0-6+1=-5$。
故$\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{m}{cd}+1$的值为7或$-5$。
所以当$m=6$时,原式$=0+6+1=7$；
当$m=-6$时,原式$=0-6+1=-5$。
故$\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{m}{cd}+1$的值为7或$-5$。
解析
【分析】
解题时先结合相关数学概念的性质推导已知条件的值：首先，互为相反数的两个数和为0，可直接得到a+b的数值；其次，互为倒数的两个数乘积为1，可得到cd的数值；最后，距离原点固定单位长度的点表示的数有2个，互为相反数，因此m有+6和-6两种取值，最后分两种情况将对应的值代入代数式计算即可，注意不要遗漏m为负数的情况。
【解析】
解：根据题意推导可得：
∵a，b互为相反数，
∴$a+b=0$；
∵c，d互为倒数，
∴$cd=1$；
∵m是距离原点6个单位长度的点所表示的数，
∴$|m|=6$，即$m=±6$。
分两种情况代入计算：
①当$m=6$时，原式$=\dfrac{0}{3}+\dfrac{6}{1}+1=0+6+1=7$；
②当$m=-6$时，原式$=\dfrac{0}{3}+\dfrac{-6}{1}+1=0-6+1=-5$。
【答案】
7或$-5$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是有理数基础概念的综合应用题，解题核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的性质，需要注意距离原点固定长度的数包含正负两种情况，解题时避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合相关数学概念的性质推导已知条件的值：首先，互为相反数的两个数和为0，可直接得到a+b的数值；其次，互为倒数的两个数乘积为1，可得到cd的数值；最后，距离原点固定单位长度的点表示的数有2个，互为相反数，因此m有+6和-6两种取值，最后分两种情况将对应的值代入代数式计算即可，注意不要遗漏m为负数的情况。
【解析】
解：根据题意推导可得：
∵a，b互为相反数，
∴$a+b=0$；
∵c，d互为倒数，
∴$cd=1$；
∵m是距离原点6个单位长度的点所表示的数，
∴$|m|=6$，即$m=±6$。
分两种情况代入计算：
①当$m=6$时，原式$=\dfrac{0}{3}+\dfrac{6}{1}+1=0+6+1=7$；
②当$m=-6$时，原式$=\dfrac{0}{3}+\dfrac{-6}{1}+1=0-6+1=-5$。
【答案】
7或$-5$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是有理数基础概念的综合应用题，解题核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的性质，需要注意距离原点固定长度的数包含正负两种情况，解题时避免漏解。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 下面两个集合中(如图 2-5-2)各有一些有理数,请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数,再用“＋，－，×，÷”中的两种运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数。
整数
0，－5，－100，2024，－1
图 2-5-2
9. 下面两个集合中(如图 2-5-2)各有一些有理数,请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数,再用“＋，－，×，÷”中的两种运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数。
整数
0，－5，－100，2024，－1
图 2-5-2
答案
9. 解:选择$-100,-5,\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{100}$,
$-100×(-\dfrac{1}{100})-(-5)×\dfrac{1}{5}=1-(-1)=2$。(答案不唯一)
$-100×(-\dfrac{1}{100})-(-5)×\dfrac{1}{5}=1-(-1)=2$。(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求：需从给定集合中选出2个不同的整数、2个不同的分数，仅使用两种运算符号，使运算结果为正整数。我们可以优先选择存在倒数关系或相乘能凑整的数简化运算：首先观察到整数-100和分数$-\dfrac{1}{100}$互为负倒数，相乘可得整数1；整数-5和分数$\dfrac{1}{5}$相乘可得整数-1，再选择减法运算即可得到正整数2，完全符合题目要求。
【解析】
第一步：选择符合要求的数：2个整数选$-100$、$-5$，2个分数选$\dfrac{1}{5}$、$-\dfrac{1}{100}$，选择的运算符号为“×”和“-”。
第二步：按运算顺序计算：
先计算乘法部分：
$-100×(-\dfrac{1}{100})=1$，
$-5×\dfrac{1}{5}=-1$，
再计算减法部分：
$1-(-1)=1+1=2$，
结果2是正整数，满足题目要求，本题答案不唯一，只要符合要求即可。
【答案】
选择$-100,-5,\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{100}$，$-100×(-\dfrac{1}{100})-(-5)×\dfrac{1}{5}=1-(-1)=2$。(答案不唯一)
【知识点】
有理数混合运算，有理数的分类，倒数的应用
【点评】
本题属于开放性运算题，形式灵活，既考查了对有理数分类的识别能力，也考查了有理数混合运算的灵活运用能力，需要学生主动寻找可凑整的数组合，有助于提升运算的灵活性和数感。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目要求：需从给定集合中选出2个不同的整数、2个不同的分数，仅使用两种运算符号，使运算结果为正整数。我们可以优先选择存在倒数关系或相乘能凑整的数简化运算：首先观察到整数-100和分数$-\dfrac{1}{100}$互为负倒数，相乘可得整数1；整数-5和分数$\dfrac{1}{5}$相乘可得整数-1，再选择减法运算即可得到正整数2，完全符合题目要求。
【解析】
第一步：选择符合要求的数：2个整数选$-100$、$-5$，2个分数选$\dfrac{1}{5}$、$-\dfrac{1}{100}$，选择的运算符号为“×”和“-”。
第二步：按运算顺序计算：
先计算乘法部分：
$-100×(-\dfrac{1}{100})=1$，
$-5×\dfrac{1}{5}=-1$，
再计算减法部分：
$1-(-1)=1+1=2$，
结果2是正整数，满足题目要求，本题答案不唯一，只要符合要求即可。
【答案】
选择$-100,-5,\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{100}$，$-100×(-\dfrac{1}{100})-(-5)×\dfrac{1}{5}=1-(-1)=2$。(答案不唯一)
【知识点】
有理数混合运算，有理数的分类，倒数的应用
【点评】
本题属于开放性运算题，形式灵活，既考查了对有理数分类的识别能力，也考查了有理数混合运算的灵活运用能力，需要学生主动寻找可凑整的数组合，有助于提升运算的灵活性和数感。
【难度系数】
0.7
10. 小明在解一道有理数混合运算题时，一个有理数 $ m $ 被污染了。
计算：$ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + m × (-1) $。
(1) 若 $ m=2 $，计算：$ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + 2 × (-1) $；
(2) 若 $ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + m × (-1) = 3 $，求 $ m $ 的值；
(3) 若要使 $ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + m × (-1) $ 的结果为最小正整数，求 $ m $ 的值。
计算：$ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + m × (-1) $。
(1) 若 $ m=2 $，计算：$ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + 2 × (-1) $；
(2) 若 $ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + m × (-1) = 3 $，求 $ m $ 的值；
(3) 若要使 $ 3 ÷ \dfrac{3}{2} + m × (-1) $ 的结果为最小正整数，求 $ m $ 的值。
答案
10. 解:(1)$3÷\dfrac{3}{2}+2×(-1)=3×\dfrac{2}{3}-2=2-2=0$。
(2)已知等式经整理得:$3×\dfrac{2}{3}-m=3$,即$2-m=3$,
所以$m=2-3=-1$。
(3)根据题意得:$3÷\dfrac{3}{2}+m×(-1)=1$,
整理得:$2-m=1$,所以$m=1$。
(2)已知等式经整理得:$3×\dfrac{2}{3}-m=3$,即$2-m=3$,
所以$m=2-3=-1$。
(3)根据题意得:$3÷\dfrac{3}{2}+m×(-1)=1$,
整理得:$2-m=1$,所以$m=1$。
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路清晰：(1) 已知m的具体数值，直接代入原式，按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算，除法运算转化为乘以除数的倒数更简便；(2) 已知运算结果求m，先计算出原式中可直接求解的乘除部分，整理为关于m的一元一次方程，再通过移项计算m的值；(3) 首先明确最小正整数是1，令原式结果等于1，同样先化简原式的乘除部分，得到关于m的方程后求解即可。
【解析】
(1) 当$m=2$时，代入原式计算：
$\begin{aligned}3÷\frac{3}{2}+2×(-1)&=3×\frac{2}{3}-2\\&=2-2\\&=0\end{aligned}$
(2) 由题意得$3÷\frac{3}{2}+m×(-1)=3$，先化简左边运算：
$\begin{aligned}3×\frac{2}{3}-m&=3\\2-m&=3\end{aligned}$
移项得：$m=2-3=-1$
(3) 最小正整数为1，由题意得$3÷\frac{3}{2}+m×(-1)=1$，化简得：
$\begin{aligned}2-m&=1\\m&=2-1=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{m=-1}$；(3) $\boxed{m=1}$
【知识点】
有理数混合运算、解一元一次方程、正整数的概念
【点评】
本题围绕有理数混合运算核心考点展开，结合代数式求值、解方程、特殊整数定义进行考查，侧重基础运算能力的检验，运算时注意符号处理，牢记运算顺序即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
本题分为三个小问，解题思路清晰：(1) 已知m的具体数值，直接代入原式，按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算，除法运算转化为乘以除数的倒数更简便；(2) 已知运算结果求m，先计算出原式中可直接求解的乘除部分，整理为关于m的一元一次方程，再通过移项计算m的值；(3) 首先明确最小正整数是1，令原式结果等于1，同样先化简原式的乘除部分，得到关于m的方程后求解即可。
【解析】
(1) 当$m=2$时，代入原式计算：
$\begin{aligned}3÷\frac{3}{2}+2×(-1)&=3×\frac{2}{3}-2\\&=2-2\\&=0\end{aligned}$
(2) 由题意得$3÷\frac{3}{2}+m×(-1)=3$，先化简左边运算：
$\begin{aligned}3×\frac{2}{3}-m&=3\\2-m&=3\end{aligned}$
移项得：$m=2-3=-1$
(3) 最小正整数为1，由题意得$3÷\frac{3}{2}+m×(-1)=1$，化简得：
$\begin{aligned}2-m&=1\\m&=2-1=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{m=-1}$；(3) $\boxed{m=1}$
【知识点】
有理数混合运算、解一元一次方程、正整数的概念
【点评】
本题围绕有理数混合运算核心考点展开，结合代数式求值、解方程、特殊整数定义进行考查，侧重基础运算能力的检验，运算时注意符号处理，牢记运算顺序即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
