登录
1. 若$A · B = 0$，则$A$，$B$满足 （
A.$A=0$
B.$B=0$
C.$A=0$且$B=0$
D.$A=0$或$B=0$
D
）A.$A=0$
B.$B=0$
C.$A=0$且$B=0$
D.$A=0$或$B=0$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查乘积为0的运算性质，解题时先回忆乘法中积为0的规律：0乘任何数都得0，因此两个因式相乘得0时，只需至少一个因式为0即可。接着区分逻辑连接词“或”和“且”的差异：“或”指满足其中一个条件即可，“且”指需同时满足两个条件，再逐一判断选项即可。
【解析】
根据乘法的零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，即A=0或者B=0。
对各选项逐一判断：
选项A：仅提到A=0，忽略了B=0也可使$A·B=0$，表述不全面，错误；
选项B：仅提到B=0，忽略了A=0也可使$A·B=0$，表述不全面，错误；
选项C：“A=0且B=0”要求两个因式同时为0，实际上只需其中一个为0就满足乘积为0，表述错误；
选项D：“A=0或B=0”符合零乘积性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 零乘积性质
2. 逻辑连接词辨析
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对乘积为0的成立条件的理解，核心是区分“或”和“且”的不同适用场景，该知识点是因式分解法解方程的核心依据，学习时要注意避免“必须两个因式都为0乘积才为0”的误区。
【难度系数】
0.9
本题考查乘积为0的运算性质，解题时先回忆乘法中积为0的规律：0乘任何数都得0，因此两个因式相乘得0时，只需至少一个因式为0即可。接着区分逻辑连接词“或”和“且”的差异：“或”指满足其中一个条件即可，“且”指需同时满足两个条件，再逐一判断选项即可。
【解析】
根据乘法的零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，即A=0或者B=0。
对各选项逐一判断：
选项A：仅提到A=0，忽略了B=0也可使$A·B=0$，表述不全面，错误；
选项B：仅提到B=0，忽略了A=0也可使$A·B=0$，表述不全面，错误；
选项C：“A=0且B=0”要求两个因式同时为0，实际上只需其中一个为0就满足乘积为0，表述错误；
选项D：“A=0或B=0”符合零乘积性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 零乘积性质
2. 逻辑连接词辨析
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对乘积为0的成立条件的理解，核心是区分“或”和“且”的不同适用场景，该知识点是因式分解法解方程的核心依据，学习时要注意避免“必须两个因式都为0乘积才为0”的误区。
【难度系数】
0.9
2. 方程$x^2=x$的解为
$x_1=0,x_2=1$
.答案
2. $x_1=0,x_2=1$
解析
【分析】
求解该方程时，不能直接在等号两边同时除以x，否则会漏掉x=0的根。正确的解题思路是先通过移项将方程变形为右边为0的形式，再对左边的多项式因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的所有解。
【解析】
第一步：移项，将右边的x移到左边，使方程右边为0，得：
$x^2 - x = 0$
第二步：对左边的多项式提取公因式x进行因式分解，得：
$x(x - 1) = 0$
第三步：根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可拆分为两个一元一次方程：
$x = 0$ 或 $x - 1 = 0$
第四步：分别解上述两个一元一次方程，得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=0,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题的易错点是直接在方程两边除以含未知数的式子导致漏解，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
求解该方程时，不能直接在等号两边同时除以x，否则会漏掉x=0的根。正确的解题思路是先通过移项将方程变形为右边为0的形式，再对左边的多项式因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的所有解。
【解析】
第一步：移项，将右边的x移到左边，使方程右边为0，得：
$x^2 - x = 0$
第二步：对左边的多项式提取公因式x进行因式分解，得：
$x(x - 1) = 0$
第三步：根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可拆分为两个一元一次方程：
$x = 0$ 或 $x - 1 = 0$
第四步：分别解上述两个一元一次方程，得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=0,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题的易错点是直接在方程两边除以含未知数的式子导致漏解，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
3. 如果一元二次方程 $x(x - 3) - 4(x - 3) = 0$ 的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为
$12或7+\sqrt{7}$
。答案
3. $12或7+\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先观察一元二次方程的结构，发现左边有公因式$(x-3)$，优先选用因式分解法求解方程，得到两个根后，因为题目仅说明两根是直角三角形的两条边长，未明确是直角边还是斜边，需结合“直角三角形中斜边为最长边”的隐含条件分类讨论：较短的根3不可能为斜边，因此分3和4均为直角边、4为斜边3为直角边两种情况，分别用勾股定理计算第三边，再求周长即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程
对$x(x - 3) - 4(x - 3) = 0$提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-4)=0$
则$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即直角三角形的两条边长为3和4。
第二步：分类讨论计算周长
① 当3和4均为直角边长时，由勾股定理得斜边长为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
此时直角三角形的周长为$3+4+5=12$。
② 当4为斜边长，3为直角边长时，由勾股定理得另一条直角边长为：
$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
此时直角三角形的周长为$3+4+\sqrt{7}=7+\sqrt{7}$。
因为$3＜4$，3不可能作为直角三角形的斜边，故不存在其他情况。
【答案】
$12或7+\sqrt{7}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于方程与几何的综合基础题，解题的关键是先正确求解一元二次方程，再结合直角三角形的边长性质分类讨论，注意不要遗漏4为斜边的情况，同时利用斜边最长的隐含条件排除不可能的情况，避免多解。
【难度系数】
0.6
首先观察一元二次方程的结构，发现左边有公因式$(x-3)$，优先选用因式分解法求解方程，得到两个根后，因为题目仅说明两根是直角三角形的两条边长，未明确是直角边还是斜边，需结合“直角三角形中斜边为最长边”的隐含条件分类讨论：较短的根3不可能为斜边，因此分3和4均为直角边、4为斜边3为直角边两种情况，分别用勾股定理计算第三边，再求周长即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程
对$x(x - 3) - 4(x - 3) = 0$提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-4)=0$
则$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即直角三角形的两条边长为3和4。
第二步：分类讨论计算周长
① 当3和4均为直角边长时，由勾股定理得斜边长为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
此时直角三角形的周长为$3+4+5=12$。
② 当4为斜边长，3为直角边长时，由勾股定理得另一条直角边长为：
$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
此时直角三角形的周长为$3+4+\sqrt{7}=7+\sqrt{7}$。
因为$3＜4$，3不可能作为直角三角形的斜边，故不存在其他情况。
【答案】
$12或7+\sqrt{7}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于方程与几何的综合基础题，解题的关键是先正确求解一元二次方程，再结合直角三角形的边长性质分类讨论，注意不要遗漏4为斜边的情况，同时利用斜边最长的隐含条件排除不可能的情况，避免多解。
【难度系数】
0.6
4. 若$(x+1)(x+4)=0$，则计算$(x+2)(x+3)$的结果是（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
4. D
解析
【分析】
解题有两种常见思路：思路一，先根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，解出已知方程中x的两个取值，再分别代入待求代数式计算结果；思路二，先分别展开已知等式左边和待求的代数式，找到公共部分$x^2+5x$，利用整体代入的方法计算，无需解出x的值，两种方法最终得到的结果一致。
【解析】
方法一：
解：$\because (x+1)(x+4)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x+4=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=-4$
当$x=-1$时，$(x+2)(x+3)=(-1+2)×(-1+3)=1×2=2$
当$x=-4$时，$(x+2)(x+3)=(-4+2)×(-4+3)=(-2)×(-1)=2$
$\therefore (x+2)(x+3)$的结果为2。
方法二：
解：将已知等式左边展开得：$x^2+5x+4=0$，整理得 $x^2+5x=-4$
将待求代数式展开得：$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$
把$x^2+5x=-4$代入上式得：原式$=-4+6=2$
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，既可以通过解方程求根后代入计算，也可以通过展开代数式整体代入求解，解题时注意两种方法的灵活运用，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
解题有两种常见思路：思路一，先根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，解出已知方程中x的两个取值，再分别代入待求代数式计算结果；思路二，先分别展开已知等式左边和待求的代数式，找到公共部分$x^2+5x$，利用整体代入的方法计算，无需解出x的值，两种方法最终得到的结果一致。
【解析】
方法一：
解：$\because (x+1)(x+4)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $x+4=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=-4$
当$x=-1$时，$(x+2)(x+3)=(-1+2)×(-1+3)=1×2=2$
当$x=-4$时，$(x+2)(x+3)=(-4+2)×(-4+3)=(-2)×(-1)=2$
$\therefore (x+2)(x+3)$的结果为2。
方法二：
解：将已知等式左边展开得：$x^2+5x+4=0$，整理得 $x^2+5x=-4$
将待求代数式展开得：$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$
把$x^2+5x=-4$代入上式得：原式$=-4+6=2$
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，既可以通过解方程求根后代入计算，也可以通过展开代数式整体代入求解，解题时注意两种方法的灵活运用，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
5. 若一元二次方程的两根分别是$x_1=2$，$x_2=-3$，则这个方程可以是 （
A.$(x+2)(x+3)=0$
B.$(x+2)(x-3)=0$
C.$(x-2)(x+3)=0$
D.$(x-2)(x-3)=0$
C
）A.$(x+2)(x+3)=0$
B.$(x+2)(x-3)=0$
C.$(x-2)(x+3)=0$
D.$(x-2)(x-3)=0$
答案
5. C
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：思路一：逆用因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，那么方程可以写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式，直接代入已知的两个根构造方程，再匹配选项即可。思路二：根据一元二次方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，把两个根分别代入各选项验证，选出两个根都满足的选项即可。
【解析】
方法1（构造法）：
已知一元二次方程的两根为$x_1=2$，$x_2=-3$，根据因式分解法解一元二次方程的逆用，方程可写为：
$(x - x_1)(x - x_2)=0$
代入$x_1$、$x_2$的值得：
$(x - 2)(x - (-3))=0$，即$(x - 2)(x + 3)=0$，对应选项C。
方法2（代入验证法）：
根据方程根的定义，将$x=2$代入各选项：
A选项：左边$=(2+2)(2+3)=20≠0$，不符合；
B选项：左边$=(2+2)(2-3)=-4≠0$，不符合；
C选项：左边$=(2-2)(2+3)=0$，符合；
D选项：左边$=(2-2)(2-3)=0$，暂时符合；
再将$x=-3$代入剩余的C、D选项：
C选项：左边$=(-3-2)(-3+3)=0$，符合；
D选项：左边$=(-3-2)(-3-3)=30≠0$，不符合。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关性质，两种解题方法都较为常用，熟练掌握对应知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题可以从两个思路入手：思路一：逆用因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，那么方程可以写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式，直接代入已知的两个根构造方程，再匹配选项即可。思路二：根据一元二次方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，把两个根分别代入各选项验证，选出两个根都满足的选项即可。
【解析】
方法1（构造法）：
已知一元二次方程的两根为$x_1=2$，$x_2=-3$，根据因式分解法解一元二次方程的逆用，方程可写为：
$(x - x_1)(x - x_2)=0$
代入$x_1$、$x_2$的值得：
$(x - 2)(x - (-3))=0$，即$(x - 2)(x + 3)=0$，对应选项C。
方法2（代入验证法）：
根据方程根的定义，将$x=2$代入各选项：
A选项：左边$=(2+2)(2+3)=20≠0$，不符合；
B选项：左边$=(2+2)(2-3)=-4≠0$，不符合；
C选项：左边$=(2-2)(2+3)=0$，符合；
D选项：左边$=(2-2)(2-3)=0$，暂时符合；
再将$x=-3$代入剩余的C、D选项：
C选项：左边$=(-3-2)(-3+3)=0$，符合；
D选项：左边$=(-3-2)(-3-3)=30≠0$，不符合。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关性质，两种解题方法都较为常用，熟练掌握对应知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. 写出一个一般形式的一元二次方程，使它的两根分别为3和－8，且方程的二次项系数是1：
$x^2+5x-24=0$
.答案
6. $x^2+5x-24=0$
解析
【分析】
要写出满足条件的一元二次方程，可通过两种思路解题：思路一：利用因式分解法的逆用，若二次项系数为1的一元二次方程两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，代入两根后展开整理为一般形式即可；思路二：利用根与系数的关系，先计算两根之和、两根之积，再代入二次项系数为1的一元二次方程形式$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$整理即可，解题时需注意符号处理，避免出错。
【解析】
方法一：交点式法
已知方程两根为3和-8，二次项系数为1，先写成交点式：
$(x-3)(x+8)=0$
展开整理：
$x^2+8x-3x-24=0$
合并同类项得：$x^2+5x-24=0$
方法二：根与系数关系法
设方程为$x^2+bx+c=0$，两根$x_1=3$，$x_2=-8$
根据根与系数关系：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$
计算得：$3+(-8)=-5=-b$，则$b=5$；$3×(-8)=-24=c$
代入得方程：$x^2+5x-24=0$
【答案】
$x^2+5x-24=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查已知方程根构造一元二次方程的方法，解题关键是熟练掌握交点式结构或根与系数的关系，计算时需重点注意一次项系数的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
要写出满足条件的一元二次方程，可通过两种思路解题：思路一：利用因式分解法的逆用，若二次项系数为1的一元二次方程两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，代入两根后展开整理为一般形式即可；思路二：利用根与系数的关系，先计算两根之和、两根之积，再代入二次项系数为1的一元二次方程形式$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$整理即可，解题时需注意符号处理，避免出错。
【解析】
方法一：交点式法
已知方程两根为3和-8，二次项系数为1，先写成交点式：
$(x-3)(x+8)=0$
展开整理：
$x^2+8x-3x-24=0$
合并同类项得：$x^2+5x-24=0$
方法二：根与系数关系法
设方程为$x^2+bx+c=0$，两根$x_1=3$，$x_2=-8$
根据根与系数关系：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$
计算得：$3+(-8)=-5=-b$，则$b=5$；$3×(-8)=-24=c$
代入得方程：$x^2+5x-24=0$
【答案】
$x^2+5x-24=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查已知方程根构造一元二次方程的方法，解题关键是熟练掌握交点式结构或根与系数的关系，计算时需重点注意一次项系数的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
7. 若关于$x$的方程$(x+2)(x-m)=0$与$(x-3m)^2=n$的解相同，则常数$n$的值为（
A.1
B.$\dfrac{16}{25}$
C.$\dfrac{9}{25}$
D.$\dfrac{4}{25}$
B
）A.1
B.$\dfrac{16}{25}$
C.$\dfrac{9}{25}$
D.$\dfrac{4}{25}$
答案
7. B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先求解第一个因式分解形式的一元二次方程，得到它的两个根；第二步利用两个方程解完全相同的条件，可知第二个方程的根与第一个方程的根一致，第二个方程$(x-3m)^2=n$的两根关于$x=3m$对称，即两根的平均值为$3m$，结合第一个方程两根的平均值即可求出参数$m$；第三步将求出的$m$和第一个方程的任意一个根代入第二个方程，就能计算出$n$的值。
【解析】
1. 解方程$(x+2)(x-m)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得：
$x+2=0$或$x-m=0$，即$x_1=-2$，$x_2=m$。
2. 因为两个方程的解相同，所以方程$(x-3m)^2=n$的两根也为$-2$和$m$。
方程$(x-3m)^2=n$的两根为$x=3m\pm\sqrt{n}$，两根的平均值为$3m$；第一个方程两根的平均值为$\frac{-2+m}{2}$，因此有：
$\frac{-2+m}{2}=3m$
解得：$-2+m=6m$，$5m=-2$，$m=-\frac{2}{5}$。
3. 将$m=-\frac{2}{5}$、$x=-2$代入$(x-3m)^2=n$：
先计算$3m=3×(-\frac{2}{5})=-\frac{6}{5}$，
则$n=(-2 - (-\frac{6}{5}))^2=(-\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的性质
【点评】
本题核心是利用两个方程解相同的条件建立参数关系，解题时不需要先展开方程，通过根的对称性求$m$的方法更简便，熟练掌握一元二次方程的不同解法和根的特征可以快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先求解第一个因式分解形式的一元二次方程，得到它的两个根；第二步利用两个方程解完全相同的条件，可知第二个方程的根与第一个方程的根一致，第二个方程$(x-3m)^2=n$的两根关于$x=3m$对称，即两根的平均值为$3m$，结合第一个方程两根的平均值即可求出参数$m$；第三步将求出的$m$和第一个方程的任意一个根代入第二个方程，就能计算出$n$的值。
【解析】
1. 解方程$(x+2)(x-m)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得：
$x+2=0$或$x-m=0$，即$x_1=-2$，$x_2=m$。
2. 因为两个方程的解相同，所以方程$(x-3m)^2=n$的两根也为$-2$和$m$。
方程$(x-3m)^2=n$的两根为$x=3m\pm\sqrt{n}$，两根的平均值为$3m$；第一个方程两根的平均值为$\frac{-2+m}{2}$，因此有：
$\frac{-2+m}{2}=3m$
解得：$-2+m=6m$，$5m=-2$，$m=-\frac{2}{5}$。
3. 将$m=-\frac{2}{5}$、$x=-2$代入$(x-3m)^2=n$：
先计算$3m=3×(-\frac{2}{5})=-\frac{6}{5}$，
则$n=(-2 - (-\frac{6}{5}))^2=(-\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的性质
【点评】
本题核心是利用两个方程解相同的条件建立参数关系，解题时不需要先展开方程，通过根的对称性求$m$的方法更简便，熟练掌握一元二次方程的不同解法和根的特征可以快速解题。
【难度系数】
0.7
8. 方程$x^2 -9=2x(x-3)$的解是
$x_1=x_2=3$
.答案
8. $x_1=x_2=3$
解析
【分析】
解本题可优先选择因式分解法简化计算：首先观察到方程左边$x^2-9$是平方差形式，可分解为$(x-3)(x+3)$，方程右边含有因式$(x-3)$，因此可通过移项、提取公因式$(x-3)$将方程转化为两个整式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”求解即可，注意不要直接两边同时除以$(x-3)$，否则会忽略$x-3=0$的情况导致漏解。
【解析】
第一步：利用平方差公式分解左侧式子，原方程变形为：
$(x-3)(x+3)=2x(x-3)$
第二步：移项，将右侧项移至等号左侧：
$(x-3)(x+3)-2x(x-3)=0$
第三步：提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)[(x+3)-2x]=0$
第四步：化简括号内的式子：
$(x-3)(3-x)=0$，即$-(x-3)^2=0$
第五步：求解得：$x-3=0$，即$x_1=x_2=3$
【答案】
$x_1=x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提取公因式分解因式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，选择合适的解法可以大幅降低计算量，解题时要注意避免直接约掉含未知数的公因式，否则容易出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
解本题可优先选择因式分解法简化计算：首先观察到方程左边$x^2-9$是平方差形式，可分解为$(x-3)(x+3)$，方程右边含有因式$(x-3)$，因此可通过移项、提取公因式$(x-3)$将方程转化为两个整式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”求解即可，注意不要直接两边同时除以$(x-3)$，否则会忽略$x-3=0$的情况导致漏解。
【解析】
第一步：利用平方差公式分解左侧式子，原方程变形为：
$(x-3)(x+3)=2x(x-3)$
第二步：移项，将右侧项移至等号左侧：
$(x-3)(x+3)-2x(x-3)=0$
第三步：提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)[(x+3)-2x]=0$
第四步：化简括号内的式子：
$(x-3)(3-x)=0$，即$-(x-3)^2=0$
第五步：求解得：$x-3=0$，即$x_1=x_2=3$
【答案】
$x_1=x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提取公因式分解因式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，选择合适的解法可以大幅降低计算量，解题时要注意避免直接约掉含未知数的公因式，否则容易出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
9. 定义新运算：$a\oplus b=a^2+ab$，若$x\oplus (x-2)=0$，则$x$的值为
0或1
。答案
9. 0或1
解析
【分析】
首先明确题目给出的新运算规则：$a\oplus b=a^2+ab$，解题时将$x\oplus (x-2)$里的x对应规则中的a，$x-2$对应规则中的b，把新运算转化为常规代数式，得到关于x的一元二次方程后，求解方程即可得到x的值。
【解析】
根据新运算$a\oplus b=a^2+ab$，代入$a=x$，$b=x-2$可得：
$x\oplus (x-2)=x^2 + x(x-2)=0$
展开整理方程：
$x^2 + x^2 - 2x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
对左侧因式分解得：
$2x(x-1)=0$
因此$2x=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
0或1
【知识点】
定义新运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算和一元二次方程解法考查，解题关键是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为常规代数运算，再用因式分解法快速求解，侧重考查新定义理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的新运算规则：$a\oplus b=a^2+ab$，解题时将$x\oplus (x-2)$里的x对应规则中的a，$x-2$对应规则中的b，把新运算转化为常规代数式，得到关于x的一元二次方程后，求解方程即可得到x的值。
【解析】
根据新运算$a\oplus b=a^2+ab$，代入$a=x$，$b=x-2$可得：
$x\oplus (x-2)=x^2 + x(x-2)=0$
展开整理方程：
$x^2 + x^2 - 2x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
对左侧因式分解得：
$2x(x-1)=0$
因此$2x=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
【答案】
0或1
【知识点】
定义新运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算和一元二次方程解法考查，解题关键是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为常规代数运算，再用因式分解法快速求解，侧重考查新定义理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
10. 用因式分解法解下列方程：
(1) $4x^2 +12x +9=0$；
(2) $(x-3)^2 -4(x+2)^2=0$；
(3) $3x(2x-1)=2(2x-1)$；
(4) $2x(2x+5)-(x-1)(2x+5)=0$；
(5) $x^4 -x^2 -12=0$.(提示：设 $x^2 =t$)
(1) $4x^2 +12x +9=0$；
(2) $(x-3)^2 -4(x+2)^2=0$；
(3) $3x(2x-1)=2(2x-1)$；
(4) $2x(2x+5)-(x-1)(2x+5)=0$；
(5) $x^4 -x^2 -12=0$.(提示：设 $x^2 =t$)
答案
10. (1) $x=-\dfrac{3}{2}$
(2) $x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},x_2=\dfrac{1}{2}$
(4) $x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=-1$
(5) $x_1=2,x_2=-2$
(2) $x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},x_2=\dfrac{1}{2}$
(4) $x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=-1$
(5) $x_1=2,x_2=-2$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个整式的乘积为0，则至少其中一个整式为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$，解题的关键是将方程整理为“左边是若干整式乘积、右边为0”的形式。各小题的思考方向如下：
(1) 左边符合完全平方公式的结构特征，直接用完全平方公式分解；
(2) 左边是两个平方的差，符合平方差公式特征，用平方差公式分解；
(3)(4) 两边有相同的公因式，先移项再提取公因式分解；
(5) 是四次方程，按提示用换元法将$x^2$设为$t$，降次为一元二次方程后用十字相乘法分解，注意换元后$t≥0$，要舍去不符合的解。
【解析】
(1) $4x^2 +12x +9=0$
左边用完全平方公式分解，得：$(2x+3)^2=0$
$\therefore 2x+3=0$
解得：$x=-\dfrac{3}{2}$
(2) $(x-3)^2 -4(x+2)^2=0$
将方程变形为平方差形式：$(x-3)^2 -[2(x+2)]^2=0$
用平方差公式分解，得：$[(x-3)+2(x+2)][(x-3)-2(x+2)]=0$
化简括号内的式子：
第一个括号：$x-3+2x+4=3x+1$
第二个括号：$x-3-2x-4=-x-7$
$\therefore (3x+1)(-x-7)=0$
即$3x+1=0$或$-x-7=0$
解得：$x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
(3) $3x(2x-1)=2(2x-1)$
移项，得：$3x(2x-1)-2(2x-1)=0$
提取公因式$(2x-1)$，得：$(2x-1)(3x-2)=0$
$\therefore 2x-1=0$或$3x-2=0$
解得：$x_1=\dfrac{2}{3},x_2=\dfrac{1}{2}$
(4) $2x(2x+5)-(x-1)(2x+5)=0$
提取公因式$(2x+5)$，得：$(2x+5)[2x-(x-1)]=0$
化简括号内的式子：$2x-x+1=x+1$
$\therefore (2x+5)(x+1)=0$
即$2x+5=0$或$x+1=0$
解得：$x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=-1$
(5) $x^4 -x^2 -12=0$
设$x^2 =t$（$t≥0$），原方程可化为：$t^2 -t -12=0$
用十字相乘法分解，得：$(t-4)(t+3)=0$
$\therefore t-4=0$或$t+3=0$
解得$t=4$或$t=-3$（$t=-3$不符合$t≥0$，舍去）
$\therefore x^2=4$
解得：$x_1=2,x_2=-2$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{3}{2}$
(2) $x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},x_2=\dfrac{1}{2}$
(4) $x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=-1$
(5) $x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 换元法解方程
3. 乘法公式应用
【点评】
本题组是因式分解法解方程的基础训练题，覆盖了提公因式、公式法、十字相乘法、换元法等常用解题技巧，熟练掌握各类因式分解方法是快速解题的关键，求解高次方程时要注意检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个整式的乘积为0，则至少其中一个整式为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$，解题的关键是将方程整理为“左边是若干整式乘积、右边为0”的形式。各小题的思考方向如下：
(1) 左边符合完全平方公式的结构特征，直接用完全平方公式分解；
(2) 左边是两个平方的差，符合平方差公式特征，用平方差公式分解；
(3)(4) 两边有相同的公因式，先移项再提取公因式分解；
(5) 是四次方程，按提示用换元法将$x^2$设为$t$，降次为一元二次方程后用十字相乘法分解，注意换元后$t≥0$，要舍去不符合的解。
【解析】
(1) $4x^2 +12x +9=0$
左边用完全平方公式分解，得：$(2x+3)^2=0$
$\therefore 2x+3=0$
解得：$x=-\dfrac{3}{2}$
(2) $(x-3)^2 -4(x+2)^2=0$
将方程变形为平方差形式：$(x-3)^2 -[2(x+2)]^2=0$
用平方差公式分解，得：$[(x-3)+2(x+2)][(x-3)-2(x+2)]=0$
化简括号内的式子：
第一个括号：$x-3+2x+4=3x+1$
第二个括号：$x-3-2x-4=-x-7$
$\therefore (3x+1)(-x-7)=0$
即$3x+1=0$或$-x-7=0$
解得：$x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
(3) $3x(2x-1)=2(2x-1)$
移项，得：$3x(2x-1)-2(2x-1)=0$
提取公因式$(2x-1)$，得：$(2x-1)(3x-2)=0$
$\therefore 2x-1=0$或$3x-2=0$
解得：$x_1=\dfrac{2}{3},x_2=\dfrac{1}{2}$
(4) $2x(2x+5)-(x-1)(2x+5)=0$
提取公因式$(2x+5)$，得：$(2x+5)[2x-(x-1)]=0$
化简括号内的式子：$2x-x+1=x+1$
$\therefore (2x+5)(x+1)=0$
即$2x+5=0$或$x+1=0$
解得：$x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=-1$
(5) $x^4 -x^2 -12=0$
设$x^2 =t$（$t≥0$），原方程可化为：$t^2 -t -12=0$
用十字相乘法分解，得：$(t-4)(t+3)=0$
$\therefore t-4=0$或$t+3=0$
解得$t=4$或$t=-3$（$t=-3$不符合$t≥0$，舍去）
$\therefore x^2=4$
解得：$x_1=2,x_2=-2$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{3}{2}$
(2) $x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},x_2=\dfrac{1}{2}$
(4) $x_1=-\dfrac{5}{2},x_2=-1$
(5) $x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 换元法解方程
3. 乘法公式应用
【点评】
本题组是因式分解法解方程的基础训练题，覆盖了提公因式、公式法、十字相乘法、换元法等常用解题技巧，熟练掌握各类因式分解方法是快速解题的关键，求解高次方程时要注意检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
