11. 用配方法解下列关于$x$的方程：
(1) $2x^2 - x - 2 = 0$；
(2) $5x^2 + 2x - 1 = 0$；
(3) $-3(x^2 + 5) = 18x$；
(4) $\frac{2}{3}x(\frac{3}{4}x - \frac{9}{2}) = x - 3$；
(5) $x^2 + 2mx - m^2 = 0$；
(6) $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$。

11.(1) $x_1=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$
(2) $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{6}}{5},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{6}}{5}$
(3) $x_1=-1,x_2=-5$
(4) $x_1=4+\sqrt{10},x_2=4-\sqrt{10}$
(5) $x_1=(\sqrt{2}-1)m,x_2=(-\sqrt{2}-1)m$
(6) $x_1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

【分析】
用配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式；②将二次项系数化为1，方程两边同除以二次项系数；③移项，把常数项移到等号右侧；④配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，得到$(x+n)^2=p$的形式；⑤若$p≥0$，直接开平方求出方程的根，若$p＜0$则方程无实根。本题所有方程均有实根，按上述步骤逐题求解即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 - x - 2 = 0$
二次项系数化为1，得：$x^2 - \frac{1}{2}x - 1 = 0$
移项，得：$x^2 - \frac{1}{2}x = 1$
配方，两边加$(\frac{1}{4})^2$，得：$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 1 + \frac{1}{16}$
即$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{17}{16}$
开平方，得：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$
解得：$x = \frac{1\pm\sqrt{17}}{4}$
(2) 解方程$5x^2 + 2x - 1 = 0$
二次项系数化为1，得：$x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{1}{5} = 0$
移项，得：$x^2 + \frac{2}{5}x = \frac{1}{5}$
配方，两边加$(\frac{1}{5})^2$，得：$x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{1}{25} = \frac{1}{5} + \frac{1}{25}$
即$(x + \frac{1}{5})^2 = \frac{6}{25}$
开平方，得：$x + \frac{1}{5} = \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$
解得：$x = \frac{-1\pm\sqrt{6}}{5}$
(3) 解方程$-3(x^2 + 5) = 18x$
整理方程，展开移项得：$-3x^2 - 18x - 15 = 0$
二次项系数化为1，得：$x^2 + 6x + 5 = 0$
移项，得：$x^2 + 6x = -5$
配方，两边加$3^2$，得：$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$
即$(x + 3)^2 = 4$
开平方，得：$x + 3 = \pm 2$
解得：$x = -3\pm2$，即$x_1=-1, x_2=-5$
(4) 解方程$\frac{2}{3}x(\frac{3}{4}x - \frac{9}{2}) = x - 3$
整理方程，左侧展开得：$\frac{1}{2}x^2 - 3x = x - 3$
移项合并得：$\frac{1}{2}x^2 - 4x + 3 = 0$
二次项系数化为1，得：$x^2 - 8x + 6 = 0$
移项，得：$x^2 - 8x = -6$
配方，两边加$4^2$，得：$x^2 - 8x + 16 = -6 + 16$
即$(x - 4)^2 = 10$
开平方，得：$x - 4 = \pm \sqrt{10}$
解得：$x = 4\pm\sqrt{10}$
(5) 解方程$x^2 + 2mx - m^2 = 0$
移项，得：$x^2 + 2mx = m^2$
配方，两边加$m^2$，得：$x^2 + 2mx + m^2 = m^2 + m^2$
即$(x + m)^2 = 2m^2$
开平方，得：$x + m = \pm \sqrt{2}m$
解得：$x = -m\pm\sqrt{2}m$，即$x_1=(\sqrt{2}-1)m, x_2=(-\sqrt{2}-1)m$
(6) 解方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$
二次项系数化为1，得：$x^2 - \sqrt{2}x - \frac{3}{2} = 0$
移项，得：$x^2 - \sqrt{2}x = \frac{3}{2}$
配方，两边加$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$，得：$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$
即$(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2$
开平方，得：$x - \frac{\sqrt{2}}{2} = \pm \sqrt{2}$
解得：$x = \frac{\sqrt{2}}{2}\pm\sqrt{2}$，即$x_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}, x_2=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$
(2) $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{6}}{5},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{6}}{5}$
(3) $x_1=-1,x_2=-5$
(4) $x_1=4+\sqrt{10},x_2=4-\sqrt{10}$
(5) $x_1=(\sqrt{2}-1)m,x_2=(-\sqrt{2}-1)m$
(6) $x_1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的实际应用，解题时需先将方程整理为标准形式，配方时要注意等号两边同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加；含参数的方程配方逻辑与数字系数方程一致，熟练掌握配方法的通用步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7

12. 求代数式$-9x^2 +12x -1$的最大值或最小值.

12. 将代数式$-9x^2 +12x -1$配方得$-(3x-2)^2+3$，所以代数式最大值为3

【分析】
观察所求代数式是二次三项式，二次项系数为-9＜0，因此代数式存在最大值，无最小值。我们可以用配方法将代数式变形为“平方项+常数”的形式，再结合平方的非负性求解最值：首先将含x的项整理成可凑完全平方的结构，凑平方时注意保证代数式恒等变形，最后根据平方数的取值范围推导整个代数式的最值。
【解析】
解：对$-9x^2 +12x -1$配方如下：
$\begin{aligned}-9x^2 +12x -1&=-(9x^2-12x)-1\\&=-[(3x)^2-2×3x×2+2^2-4]-1\\&=-[(3x-2)^2-4]-1\\&=-(3x-2)^2+4-1\\&=-(3x-2)^2+3\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(3x-2)^2≥0$，
因此$-(3x-2)^2≤0$，可得$-(3x-2)^2+3≤3$，
当$3x-2=0$即$x=\frac{2}{3}$时，代数式取到最大值3。
【答案】
最大值为3
【知识点】
配方法，平方的非负性，二次式最值求解
【点评】
本题属于二次代数式最值的基础题型，解题核心是熟练掌握配方法的运算规则，结合平方的非负性即可快速得到结果，注意二次项系数为负时，二次式只有最大值，没有最小值。
【难度系数】
0.8

13. 定义：如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“友好方程”。
（1）下列方程是“友好方程”的是（填序号）。
① $ x^2 - \frac{1}{16} = 0 $； ② $ x^2 +7x +12 =0 $； ③ $ -2x^2 +10x -12 =0 $。
（2）若方程 $ -3x^2 +6x -k +3 =0 $是“友好方程”，求 $ k $ 的值。
（3）若 $ a(x+h)^2 +k =0(a, h, k $ 均为常数，且 $ a ≠ 0) $是关于 $ x $ 的“友好方程”，则方程 $ a(2x +h -1)^2 +4k =0 $是“友好方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由。

13.(1) ②③
(2) 配方法求得方程的根为 $ x=1\pm\sqrt{2-\dfrac{k}{3}} $，结合“友好方程”的定义得 $ 1+\sqrt{2-\dfrac{k}{3}}-(1-\sqrt{2-\dfrac{k}{3}})=1 $，解得 $ k=\dfrac{21}{4} $
(3) 解方程 $ a(x+h)^2 +k=0 $，得 $ x=-h\pm\sqrt{-\dfrac{k}{a}} $，结合“友好方程”定义，得 $ -h+\sqrt{-\dfrac{k}{a}}-(-h-\sqrt{-\dfrac{k}{a}})=1 $，即 $ \sqrt{-\dfrac{k}{a}}=\dfrac{1}{2} $；解方程 $ a(2x+h-1)^2 +4k=0 $，得 $ x=\dfrac{-h+1\pm\sqrt{-\dfrac{4k}{a}}}{2} $，故 $ \dfrac{-h+1+\sqrt{-\dfrac{4k}{a}}}{2}-\dfrac{-h+1-\sqrt{-\dfrac{4k}{a}}}{2}=\sqrt{-\dfrac{4k}{a}}=2\sqrt{-\dfrac{k}{a}}=1 $，所以 $ a(2x+h-1)^2 +4k=0 $是“友好方程”

【分析】
（1）判断“友好方程”只需先求出各方程的两个实数根，验证较大根与较小根的差是否为1即可；（2）先通过配方法求出方程的两个根，结合“友好方程”的定义列等式求解k的值；（3）先从已知的“友好方程”推导出参数之间的数量关系，再求解第二个方程，计算两根的差判断是否符合“友好方程”的定义，同时求出方程的根。
【解析】
（1）分别求解三个方程：
①解方程$x^2 - \frac{1}{16}=0$，得$x_1=\frac{1}{4}$，$x_2=-\frac{1}{4}$，两根差为$\frac{1}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}≠1$，不是友好方程；
②解方程$x^2+7x+12=0$，因式分解得$(x+3)(x+4)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-4$，两根差为$-3-(-4)=1$，是友好方程；
③解方程$-2x^2+10x-12=0$，化简为$x^2-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=2$，两根差为$3-2=1$，是友好方程；
故填②③。
（2）解方程$-3x^2+6x -k +3=0$：
移项得$x^2-2x=\frac{3-k}{3}$，配方得$(x-1)^2=2-\frac{k}{3}$，开方得$x=1\pm\sqrt{2-\frac{k}{3}}$。
根据“友好方程”定义，较大根减较小根等于1，列等式：
$1+\sqrt{2-\frac{k}{3}}-(1-\sqrt{2-\frac{k}{3}})=1$
化简得$2\sqrt{2-\frac{k}{3}}=1$，两边平方得$4(2-\frac{k}{3})=1$，解得$k=\frac{21}{4}$。
（3）是“友好方程”，推导如下：
解方程$a(x+h)^2 +k=0$，移项得$(x+h)^2=-\frac{k}{a}$，开方得$x=-h\pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$。
由该方程是“友好方程”，得：
$-h+\sqrt{-\frac{k}{a}}-(-h-\sqrt{-\frac{k}{a}})=1$，化简得$2\sqrt{-\frac{k}{a}}=1$，即$\sqrt{-\frac{k}{a}}=\frac{1}{2}$。
解方程$a(2x+h-1)^2 +4k=0$，移项得$(2x+h-1)^2=-\frac{4k}{a}$，开方得$2x+h-1=\pm\sqrt{-\frac{4k}{a}}=\pm2\sqrt{-\frac{k}{a}}=\pm1$。
解得$x_1=\frac{1-h+1}{2}=\frac{2-h}{2}$，$x_2=\frac{1-h-1}{2}=-\frac{h}{2}$，两根差为$\frac{2-h}{2}-(-\frac{h}{2})=1$，符合“友好方程”的定义。
【答案】
（1）$\boldsymbol{②③}$；（2）$\boldsymbol{k=\dfrac{21}{4}}$；（3）是“友好方程”，根为$\boldsymbol{x_1=\dfrac{2-h}{2}}$，$\boldsymbol{x_2=-\dfrac{h}{2}}$
【知识点】
一元二次方程的解法，新定义问题，二次根式运算
【点评】
本题围绕“友好方程”的新定义展开，核心考查一元二次方程的求解能力，解题关键是准确把握“两根差为1”的核心特征，按要求逐步推导计算，计算过程中要注意二次根式开方的符号规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.6