例1 （1）如果关于$x$的方程$(x-1)^2=2-k$可以根据平方根的意义求解，那么$k$满足的条件是 （）

A.$k≥1$
B.$k＜1$
C.$k＞2$
D.$k≤2$

D

【分析】
要使用平方根的意义求解形如$a^2=b$的方程，核心前提是等号右侧的$b$必须是非负数（负数没有平方根）。本题中方程左侧$(x-1)^2$本身就是非负数，因此只需保证右侧的$2-k$为非负数，列出不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
根据平方根的性质，只有非负数才有平方根，因此方程$(x-1)^2=2-k$可通过开平方求解的前提为：
$2 - k ≥ 0$
移项得：$-k ≥ -2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$k ≤ 2$
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的适用条件，解题核心是牢记开平方运算中被开方数必须为非负数，据此建立不等式求解即可。
【难度系数】
0.8

（2）下列方程中，不能直接开平方求解的是 （）

A.$x^2 -7=0$
B.$(x-1)^2 -4=0$
C.$x^2 +9x=0$
D.$(x+1)^2=(2x-3)^2$

C

【分析】
要解决这道题，首先要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：方程需能转化为“一个整式的平方等于非负常数”，或者“两个整式的平方相等”的形式，满足该条件即可直接开平方求解，反之则不能。接下来只需逐个判断每个选项的方程是否符合这一条件即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 方程$x^2 -7=0$可变形为$x^2=7$，符合“平方等于非负常数”的形式，可直接开平方求解；
B. 方程$(x-1)^2 -4=0$可变形为$(x-1)^2=4$，符合“平方等于非负常数”的形式，可直接开平方求解；
C. 方程$x^2 +9x=0$的左边是两项和，不是完全平方式，无法直接变形为“平方等于非负常数”的形式，不能直接开平方求解，需用因式分解法或配方法求解；
D. 方程$(x+1)^2=(2x-3)^2$左右两边均为完全平方式，符合“两个平方相等”的形式，可直接开平方得到$x+1=\pm(2x-3)$求解。
综上，不能直接开平方求解的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方式的特征
【点评】
本题考查直接开平方法的适用范围，解题核心是观察方程结构，判断是否能转化为$A^2=B（B≥0）$的形式，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8

例2 根据平方根的意义解下列方程：
(1) $x^2 = 9$；
(2) $25x^2 - 16 = 0$；
(3) $(x+1)^2 - \frac{25}{4} = 0$；
(4) $3(x-1)^2 - 6 = 0$；
(5) $(x-3)^2 = (5-2x)^2$；
(6) $(3-2x)^2 = 9(x+2)^2$。

(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$
(3) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{7}{2}$
(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(5) $x_1=\frac{8}{3},x_2=2$
(6) $x_1=-\frac{3}{5},x_2=-9$

【分析】
本组题目考查利用平方根的意义（直接开平方法）解一元二次方程，解题核心思路为：先将方程整理为「含未知数的完全平方式=非负数」的形式，再根据“正数有两个互为相反数的平方根”，对等式两边同时开平方，转化为两个一元一次方程分别求解，注意开平方时不要遗漏负根，最后整理得到方程的两个解即可。
【解析】
(1) 根据平方根的意义，$x$是9的平方根，因此：
$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 先移项得：$25x^2=16$，系数化为1得：$x^2=\frac{16}{25}$，开平方得：
$x=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}=\pm\frac{4}{5}$，即$x_1=\frac{4}{5}$，$x_2=-\frac{4}{5}$。
(3) 移项得：$(x+1)^2=\frac{25}{4}$，开平方得：$x+1=\pm\frac{5}{2}$，
当$x+1=\frac{5}{2}$时，解得$x=\frac{3}{2}$；当$x+1=-\frac{5}{2}$时，解得$x=-\frac{7}{2}$，
即$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{7}{2}$。
(4) 移项得：$3(x-1)^2=6$，系数化为1得：$(x-1)^2=2$，开平方得：$x-1=\pm\sqrt{2}$，
当$x-1=\sqrt{2}$时，解得$x=1+\sqrt{2}$；当$x-1=-\sqrt{2}$时，解得$x=1-\sqrt{2}$，
即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
(5) 方程两边均为完全平方式，直接开平方得：$x-3=\pm(5-2x)$，
当$x-3=5-2x$时，移项合并得$3x=8$，解得$x=\frac{8}{3}$；
当$x-3=-(5-2x)$时，去括号得$x-3=-5+2x$，移项合并得$x=2$，
即$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2=2$。
(6) 直接开平方得：$3-2x=\pm3(x+2)$，
当$3-2x=3(x+2)$时，去括号得$3-2x=3x+6$，移项合并得$-5x=3$，解得$x=-\frac{3}{5}$；
当$3-2x=-3(x+2)$时，去括号得$3-2x=-3x-6$，移项合并得$x=-9$，
即$x_1=-\frac{3}{5}$，$x_2=-9$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$
(3) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{7}{2}$
(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(5) $x_1=\frac{8}{3},x_2=2$
(6) $x_1=-\frac{3}{5},x_2=-9$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义；一元二次方程的解
【点评】
本组题目是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是熟练掌握将方程变形为完全平方式等于非负数的形式，开平方时注意不要遗漏负根，对于左右两边都是完全平方式的方程，可直接开平方转化为两个一次方程求解，计算时注意符号处理即可。
【难度系数】
0.75

1. 一元二次方程$x^2 -4x +1=0$配方后可变形为 （）

A.$(x-2)^2=5$
B.$(x+2)^2=5$
C.$(x-2)^2=3$
D.$(x+2)^2=3$

C

【分析】
本题考查一元二次方程的配方变形，解题按照配方法的固定步骤推导即可：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将等号左侧整理为完全平方的形式，对比选项就能得到答案。解题时要注意移项需变号，计算一次项系数一半的平方时不要搞错符号。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -4x = -1$
2. 配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，等号两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = -1 +4$
3. 等号左侧利用完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：
$(x-2)^2=3$
因此变形结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程配方法
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、凑完全平方的方法即可快速解题，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

2. 下面4个小题中,解答正确的有 （）
① $x^2=-5$,解方程,得$x=\pm\sqrt{-5}$;
② $(x-1)^2=9$,解方程,得$x-1=3$,$\therefore x=4$;
③ $(x+3)^2=4x$,解方程,得$x+3=\pm\sqrt{4x}$,$\therefore x=-3\pm2\sqrt{x}$;
④ $2(x+1)^2=3$,解方程,得$x+1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$,$x=-1\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$,$\therefore x=-1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

A

【分析】
本题考查一元二次方程直接开平方法的正确运用，解题需结合平方根的性质（实数范围内负数没有平方根，正数有两个互为相反数的平方根），逐个判断4个小题的解法：首先确认方程等号右侧开平方时是否为非负数，其次开平方需同时取正负两个值，另外要注意直接开平方后需能得到整式形式的解，避免出现根号下含未知数的无效变形。
【解析】
逐个分析4个小题的解法：
① 方程$x^2=-5$，实数范围内负数没有平方根，该方程无实数根，①解法错误；
② 方程$(x-1)^2=9$，开平方应得$x-1=\pm3$，即$x=4$或$x=-2$，原解法漏了负根，②解法错误；
③ 方程$(x+3)^2=4x$，右侧是含未知数$x$的代数式，直接开平方后得到的式子根号下仍含未知数，不是方程的解，需先展开整理为一元二次方程一般式再求解，③解法错误；
④ 方程$2(x+1)^2=3$，两边同除以2得$(x+1)^2=\frac{3}{2}$，开平方得$x+1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$，化简二次根式$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得$x=-1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，④解法正确。
综上，解答正确的只有1个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题易错点为开平方时只取正根、忽略实数范围内被开方数必须非负，以及对直接开平方法的适用规则理解不到位，解题时要严格按照运算规范逐步推导。
【难度系数】
0.7