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7. 用一元二次方程描述下列问题中的数量关系，并化为一般形式.
（1）某足球赛实行主客场制循环赛，即每两队都要比赛2场：在自己足球队所在地（主场）与对方足球队所在地（客场）各赛1场.经计算共要进行132场比赛，设参加比赛的足球队有x支.
（1）某足球赛实行主客场制循环赛，即每两队都要比赛2场：在自己足球队所在地（主场）与对方足球队所在地（客场）各赛1场.经计算共要进行132场比赛，设参加比赛的足球队有x支.
答案
7. (1) 根据题意,得 $x(x-1)=132$.化为一般形式,得 $x^2-x-132=0$
解析
【分析】
解题时先明确主客场循环赛的比赛场次计算规则：有x支参赛球队时，每支球队需要与除自身外的(x-1)支球队分别在主场、客场各赛1场，即每两支球队之间共赛2场，无需像单循环赛那样对总场次除以2，因此总比赛场数可表示为x(x-1)，结合题干给出的总场次132即可列方程，再将其整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
根据主客场制比赛场次的计算逻辑，总比赛场数为每支球队的参赛场次乘球队总数，列方程得：
$x(x-1)=132$
将方程整理为一元二次方程的一般形式，展开并移项得：
$x^2 - x - 132 = 0$
【答案】
列方程为$x(x-1)=132$，化为一般形式为$x^2-x-132=0$
【知识点】
比赛场次问题、一元二次方程列写、一元二次方程一般形式
【点评】
本题考查实际背景下一元二次方程的建立与化简，核心是区分主客场制和单循环赛的场次计算差异，避免出现除以2的错误，熟练掌握一元二次方程一般形式的整理规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确主客场循环赛的比赛场次计算规则：有x支参赛球队时，每支球队需要与除自身外的(x-1)支球队分别在主场、客场各赛1场，即每两支球队之间共赛2场，无需像单循环赛那样对总场次除以2，因此总比赛场数可表示为x(x-1)，结合题干给出的总场次132即可列方程，再将其整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
根据主客场制比赛场次的计算逻辑，总比赛场数为每支球队的参赛场次乘球队总数，列方程得：
$x(x-1)=132$
将方程整理为一元二次方程的一般形式，展开并移项得：
$x^2 - x - 132 = 0$
【答案】
列方程为$x(x-1)=132$，化为一般形式为$x^2-x-132=0$
【知识点】
比赛场次问题、一元二次方程列写、一元二次方程一般形式
【点评】
本题考查实际背景下一元二次方程的建立与化简，核心是区分主客场制和单循环赛的场次计算差异，避免出现除以2的错误，熟练掌握一元二次方程一般形式的整理规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(2) 2025年大年初一某历史文化街区接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，设平均每天游客人数增长的百分率为x.
答案
(2) 根据题意,得 $20(1+x)^2=22$.化为一般形式,得 $10x^2+20x-1=0$
解析
【分析】
解题时首先回忆平均增长率的常用公式：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，经过$n$次增长后的量为$b$，则满足$a(1+x)^n=b$。本题中初始量是大年初一的20万人次，从大年初一到初三共经过2次增长，增长后的量是初三的22万人次，我们先代入公式列方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$即可。
【解析】
1. 列方程：已知初始游客量为20万人次，平均每天增长率为$x$，经过2天增长后游客量为22万人次，代入增长率公式得：
$20(1+x)^2=22$
2. 化为一般形式：
先展开左边：$20(1+2x+x^2)=22$
即$20 + 40x + 20x^2 = 22$
移项合并同类项：$20x^2 + 40x - 2 = 0$
两边同时除以2化简得：$10x^2 + 20x - 1 = 0$
【答案】
根据题意,得 $20(1+x)^2=22$.化为一般形式,得 $10x^2+20x-1=0$
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是找准增长次数和增长前后的对应数量，按照公式列方程后按要求化简即可，属于基础题型，熟练掌握增长率公式就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平均增长率的常用公式：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，经过$n$次增长后的量为$b$，则满足$a(1+x)^n=b$。本题中初始量是大年初一的20万人次，从大年初一到初三共经过2次增长，增长后的量是初三的22万人次，我们先代入公式列方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$即可。
【解析】
1. 列方程：已知初始游客量为20万人次，平均每天增长率为$x$，经过2天增长后游客量为22万人次，代入增长率公式得：
$20(1+x)^2=22$
2. 化为一般形式：
先展开左边：$20(1+2x+x^2)=22$
即$20 + 40x + 20x^2 = 22$
移项合并同类项：$20x^2 + 40x - 2 = 0$
两边同时除以2化简得：$10x^2 + 20x - 1 = 0$
【答案】
根据题意,得 $20(1+x)^2=22$.化为一般形式,得 $10x^2+20x-1=0$
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是找准增长次数和增长前后的对应数量，按照公式列方程后按要求化简即可，属于基础题型，熟练掌握增长率公式就能快速作答。
【难度系数】
0.8
（3）某校拟用总长为10 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块21 m²的矩形菜地作为实践基地，如图所示。设矩形的一边长为x m.
[第7(3)题]
[第7(3)题]
答案
(3) 根据题意,得 $x(10-x)=21$.化为一般形式,得 $x^2-10x+21=0$
解析
【分析】
首先观察图形可知，矩形菜地的两条边依靠直角围墙，无需使用篱笆，因此总长10m的篱笆对应矩形剩下的两条相邻边的长度和。已知其中一条边长为x m，即可推出另一条边长为(10-x)m；再结合矩形面积=长×宽的公式，将两边长度相乘等于给定的面积21 m²即可列出方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：由于矩形两边靠直角围墙，因此篱笆仅围两条相邻的边，已知其中一边长为x m，则另一边长为(10 - x) m。
根据矩形面积公式，可列方程：
$x(10-x)=21$
将方程化为一元二次方程的一般形式：
展开得：$10x - x^2 = 21$
移项整理得：$x^2 - 10x + 21 = 0$
【答案】
$x^2 - 10x + 21 = 0$
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是结合实际场景的基础方程列写题，解题关键是结合图形理解篱笆长度对应的是矩形两条邻边的和，再代入面积公式即可求解，主要考查实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.75
首先观察图形可知，矩形菜地的两条边依靠直角围墙，无需使用篱笆，因此总长10m的篱笆对应矩形剩下的两条相邻边的长度和。已知其中一条边长为x m，即可推出另一条边长为(10-x)m；再结合矩形面积=长×宽的公式，将两边长度相乘等于给定的面积21 m²即可列出方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：由于矩形两边靠直角围墙，因此篱笆仅围两条相邻的边，已知其中一边长为x m，则另一边长为(10 - x) m。
根据矩形面积公式，可列方程：
$x(10-x)=21$
将方程化为一元二次方程的一般形式：
展开得：$10x - x^2 = 21$
移项整理得：$x^2 - 10x + 21 = 0$
【答案】
$x^2 - 10x + 21 = 0$
【知识点】
1. 列一元二次方程解应用题
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是结合实际场景的基础方程列写题，解题关键是结合图形理解篱笆长度对应的是矩形两条邻边的和，再代入面积公式即可求解，主要考查实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.75
8. 定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a+b+c=0$，那么我们称这个方程为“黄金方程”。
（1）判断一元二次方程$3x^2-11x+8=0$是否为“黄金方程”，并说明理由。
（2）已知$3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，则$m$的值为多少？
（1）判断一元二次方程$3x^2-11x+8=0$是否为“黄金方程”，并说明理由。
（2）已知$3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，则$m$的值为多少？
答案
8. (1) 方程$3x^2-11x+8=0$是“黄金方程”,理由: $\because a=3,b=-11,c=8,\therefore a+b+c=3-11+8=0.\therefore$ 一元二次方程 $3x^2-11x+8=0$ 是“黄金方程”
(2) $\because 3x^2-mx+n=0$ 是关于 $x$ 的“黄金方程”,$\therefore 3-m+n=0.\therefore n=m-3.\because 2$ 是此方程的一个根,$\therefore 12-2m+n=0$.解得 $m=9$
(2) $\because 3x^2-mx+n=0$ 是关于 $x$ 的“黄金方程”,$\therefore 3-m+n=0.\therefore n=m-3.\because 2$ 是此方程的一个根,$\therefore 12-2m+n=0$.解得 $m=9$
解析
【分析】
（1）第一问紧扣“黄金方程”的定义思考，先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算a+b+c的和，判断其是否等于0，即可得出结论。
（2）第二问需结合两个条件列式：首先根据“黄金方程”的定义，代入对应系数得到m、n的第一个关系式；再根据一元二次方程根的性质，将根x=2代入方程得到m、n的第二个关系式，联立两个式子就能求出m的值。
【解析】
（1）判断过程如下：
在一元二次方程$3x^2-11x+8=0$中，$a=3$，$b=-11$，$c=8$，
计算得$a+b+c=3-11+8=0$，满足“黄金方程”的定义。
（2）求解过程如下：
$\because 3x^2 - mx + n = 0$是“黄金方程”，根据定义可得：
$3 - m + n = 0$，整理得$n = m - 3$①，
$\because 2$是此方程的一个根，将$x=2$代入方程得：
$3×2^2 - 2m + n = 0$，即$12 - 2m + n = 0$②，
将①代入②，得$12 - 2m + m - 3 = 0$，
解得$m=9$。
【答案】
(1) 一元二次方程$3x^2-11x+8=0$是“黄金方程”，理由：$\because a=3,b=-11,c=8,\therefore a+b+c=3-11+8=0$，符合“黄金方程”的定义；
(2) $m$的值为9。
【知识点】
新定义问题、一元二次方程根的定义、二元一次方程求解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的基础知识点，解题核心是准确理解新定义的规则，灵活运用方程根的性质列式计算，掌握基础就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）第一问紧扣“黄金方程”的定义思考，先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算a+b+c的和，判断其是否等于0，即可得出结论。
（2）第二问需结合两个条件列式：首先根据“黄金方程”的定义，代入对应系数得到m、n的第一个关系式；再根据一元二次方程根的性质，将根x=2代入方程得到m、n的第二个关系式，联立两个式子就能求出m的值。
【解析】
（1）判断过程如下：
在一元二次方程$3x^2-11x+8=0$中，$a=3$，$b=-11$，$c=8$，
计算得$a+b+c=3-11+8=0$，满足“黄金方程”的定义。
（2）求解过程如下：
$\because 3x^2 - mx + n = 0$是“黄金方程”，根据定义可得：
$3 - m + n = 0$，整理得$n = m - 3$①，
$\because 2$是此方程的一个根，将$x=2$代入方程得：
$3×2^2 - 2m + n = 0$，即$12 - 2m + n = 0$②，
将①代入②，得$12 - 2m + m - 3 = 0$，
解得$m=9$。
【答案】
(1) 一元二次方程$3x^2-11x+8=0$是“黄金方程”，理由：$\because a=3,b=-11,c=8,\therefore a+b+c=3-11+8=0$，符合“黄金方程”的定义；
(2) $m$的值为9。
【知识点】
新定义问题、一元二次方程根的定义、二元一次方程求解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的基础知识点，解题核心是准确理解新定义的规则，灵活运用方程根的性质列式计算，掌握基础就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
