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例3 有下列说法：
① 方程$ax^2+bx+c=0$必是关于$x$的一元二次方程；
② 方程$3x^2-1=0$的常数项是1；
③ 当一次项系数为0时，一元二次方程一定有根；
④ 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根。
其中正确的是
① 方程$ax^2+bx+c=0$必是关于$x$的一元二次方程；
② 方程$3x^2-1=0$的常数项是1；
③ 当一次项系数为0时，一元二次方程一定有根；
④ 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根。
其中正确的是
④
(填序号)。答案
④
解析
【分析】
要判断各说法的正误，需结合一元二次方程的定义、一般形式的各项含义、方程根的判定规则，对4个说法逐一分析：首先明确一元二次方程的核心要求是二次项系数不为0，判断各项名称时需先将方程整理为一般形式，判断根是否存在可通过代入验证或变形分析是否有实数解，由此逐个排查即可得出正确结论。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
1. 对于说法①：一元二次方程要求二次项系数不为0，题干中方程$ax^2+bx+c=0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程不是一元二次方程，因此①错误；
2. 对于说法②：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$c$为常数项，方程$3x^2-1=0$可写成$3x^2+0x-1=0$，常数项是$-1$，不是1，因此②错误；
3. 对于说法③：当一元二次方程一次项系数为0时，方程为$ax^2+c=0$（$a≠0$），变形得$x^2=-\frac{c}{a}$，由于平方数具有非负性，当$-\frac{c}{a}＜0$时方程无实数根，例如$x^2+1=0$就没有实根，因此③错误；
4. 对于说法④：若一元二次方程常数项为0，则方程为$ax^2+bx=0$（$a≠0$），将$x=0$代入方程左边得$a·0^2 + b·0=0$，与方程右边相等，因此0必是方程的一个根，故④正确。
【答案】
④
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，判断常数项时忽略符号，以及对一次项系数为0的一元二次方程根的情况考虑不全面，解题时紧扣定义逐一验证即可避免错误。
【难度系数】
0.7
要判断各说法的正误，需结合一元二次方程的定义、一般形式的各项含义、方程根的判定规则，对4个说法逐一分析：首先明确一元二次方程的核心要求是二次项系数不为0，判断各项名称时需先将方程整理为一般形式，判断根是否存在可通过代入验证或变形分析是否有实数解，由此逐个排查即可得出正确结论。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
1. 对于说法①：一元二次方程要求二次项系数不为0，题干中方程$ax^2+bx+c=0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程不是一元二次方程，因此①错误；
2. 对于说法②：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$c$为常数项，方程$3x^2-1=0$可写成$3x^2+0x-1=0$，常数项是$-1$，不是1，因此②错误；
3. 对于说法③：当一元二次方程一次项系数为0时，方程为$ax^2+c=0$（$a≠0$），变形得$x^2=-\frac{c}{a}$，由于平方数具有非负性，当$-\frac{c}{a}＜0$时方程无实数根，例如$x^2+1=0$就没有实根，因此③错误；
4. 对于说法④：若一元二次方程常数项为0，则方程为$ax^2+bx=0$（$a≠0$），将$x=0$代入方程左边得$a·0^2 + b·0=0$，与方程右边相等，因此0必是方程的一个根，故④正确。
【答案】
④
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，判断常数项时忽略符号，以及对一次项系数为0的一元二次方程根的情况考虑不全面，解题时紧扣定义逐一验证即可避免错误。
【难度系数】
0.7
1. 有下列关于 $ x $ 的方程:① $ ax^2 + x + 1 = 0 $（$ a $ 为常数）；② $ (x - 2)^2 - 3(x + 1)^2 = 1 $；③ $ x - 2 = \frac{1}{x} $；④ $ x^2 - 4m = 0 $（$ m $ 为常数）。其中必为一元二次方程的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的4个判定条件：一是整式方程，二是只含1个未知数，三是未知数的最高次数为2，四是二次项系数不为0，四个条件需同时满足。我们只需逐个验证4个方程是否符合全部判定条件即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一判断：
1. 方程①$ax^2 + x + 1 = 0$：当常数$a=0$时，方程变为$x+1=0$，属于一元一次方程，因此①不一定是一元二次方程。
2. 方程②$(x - 2)^2 - 3(x + 1)^2 = 1$：展开整理得：
$\begin{aligned}x^2 -4x +4 -3(x^2 +2x +1) &= 1 \\x^2 -4x +4 -3x^2 -6x -3 &=1 \\-2x^2 -10x &=0\end{aligned}$
该方程是整式方程，只含未知数$x$，最高次数为2，且二次项系数$-2≠0$，因此②是一元二次方程。
3. 方程③$x - 2 = \frac{1}{x}$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，因此③不是一元二次方程。
4. 方程④$x^2 - 4m = 0$：$m$为常数，该方程是整式方程，只含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数$1≠0$，因此④是一元二次方程。
综上，必为一元二次方程的是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的识别
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意二次项系数不为0、方程为整式方程这两个易错点，避免误判。
【难度系数】
0.7
要判断方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的4个判定条件：一是整式方程，二是只含1个未知数，三是未知数的最高次数为2，四是二次项系数不为0，四个条件需同时满足。我们只需逐个验证4个方程是否符合全部判定条件即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一判断：
1. 方程①$ax^2 + x + 1 = 0$：当常数$a=0$时，方程变为$x+1=0$，属于一元一次方程，因此①不一定是一元二次方程。
2. 方程②$(x - 2)^2 - 3(x + 1)^2 = 1$：展开整理得：
$\begin{aligned}x^2 -4x +4 -3(x^2 +2x +1) &= 1 \\x^2 -4x +4 -3x^2 -6x -3 &=1 \\-2x^2 -10x &=0\end{aligned}$
该方程是整式方程，只含未知数$x$，最高次数为2，且二次项系数$-2≠0$，因此②是一元二次方程。
3. 方程③$x - 2 = \frac{1}{x}$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，因此③不是一元二次方程。
4. 方程④$x^2 - 4m = 0$：$m$为常数，该方程是整式方程，只含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数$1≠0$，因此④是一元二次方程。
综上，必为一元二次方程的是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的识别
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意二次项系数不为0、方程为整式方程这两个易错点，避免误判。
【难度系数】
0.7
2. 将一元二次方程$3x^2 - 2 = 4x$化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为 （
A.3,4
B.3,-2
C.3,-4
D.3,2
C
）A.3,4
B.3,-2
C.3,-4
D.3,2
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先明确一元二次方程一般形式的定义，再将题干给出的方程转化为一般形式，最后对应提取系数即可。首先要知道一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），所有项都要移到等号左侧、右侧为0，且系数要包含项前面的符号，移项时要注意变号，这是本题的易错点。
【解析】
1. 写出一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数。
2. 对原方程$3x^2 - 2 = 4x$移项，将右侧的$4x$移到左侧并变号，整理得：
$3x^2 - 4x - 2 = 0$
3. 对应提取系数：二次项系数为3，一次项系数为$-4$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式、一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念题，重点考查一元二次方程一般式的化简规则，易错点是移项时忘记变号、提取一次项系数时遗漏负号，掌握基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先明确一元二次方程一般形式的定义，再将题干给出的方程转化为一般形式，最后对应提取系数即可。首先要知道一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），所有项都要移到等号左侧、右侧为0，且系数要包含项前面的符号，移项时要注意变号，这是本题的易错点。
【解析】
1. 写出一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数。
2. 对原方程$3x^2 - 2 = 4x$移项，将右侧的$4x$移到左侧并变号，整理得：
$3x^2 - 4x - 2 = 0$
3. 对应提取系数：二次项系数为3，一次项系数为$-4$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式、一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念题，重点考查一元二次方程一般式的化简规则，易错点是移项时忘记变号、提取一次项系数时遗漏负号，掌握基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 一元二次方程 $3x^2 -5=2x$ 化成一般式是
$3x^2-2x-5=0$
，其中一次项为$-2x$
.答案
3. $3x^2-2x-5=0,-2x$
解析
【分析】
解题需先明确一元二次方程一般式的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的形式为一元二次方程的一般式。解题思路为：第一步对原方程移项，将所有项移到等号左侧，使右侧为0，再按未知数降幂排列得到一般式；第二步根据一般式中各项的定义识别一次项，注意项的符号需要一同保留。
【解析】
原方程为$3x^2 -5=2x$，将右侧的$2x$移到左侧，移项需变号，整理后可得：$3x^2-2x-5=0$，即为该方程的一般式。
对照一元二次方程一般式的结构，$ax^2$为二次项，$bx$为一次项，$c$为常数项，因此该方程的一次项为$-2x$。
【答案】
$3x^2-2x-5=0$；$-2x$
【知识点】
一元二次方程的一般式；一元二次方程的项的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点为移项时忘记变号，或是识别一次项时漏写前面的负号，熟练掌握一元二次方程的相关定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题需先明确一元二次方程一般式的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的形式为一元二次方程的一般式。解题思路为：第一步对原方程移项，将所有项移到等号左侧，使右侧为0，再按未知数降幂排列得到一般式；第二步根据一般式中各项的定义识别一次项，注意项的符号需要一同保留。
【解析】
原方程为$3x^2 -5=2x$，将右侧的$2x$移到左侧，移项需变号，整理后可得：$3x^2-2x-5=0$，即为该方程的一般式。
对照一元二次方程一般式的结构，$ax^2$为二次项，$bx$为一次项，$c$为常数项，因此该方程的一次项为$-2x$。
【答案】
$3x^2-2x-5=0$；$-2x$
【知识点】
一元二次方程的一般式；一元二次方程的项的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点为移项时忘记变号，或是识别一次项时漏写前面的负号，熟练掌握一元二次方程的相关定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
4. 若关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + x + m^2 -9 =0$的常数项是0，则$m=$
$-3$
.答案
4. $-3$
解析
【分析】
解这道题需要抓住两个核心条件：一是题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，这是隐含限制条件；二是题目给出常数项为0，即常数项对应的代数式值为0。我们可以先根据常数项为0列方程求出m的所有可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $ m-3 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 3 $
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $ m^2 -9 = 0 $
移项得 $ m^2 =9 $，解得 $ m=3 $ 或 $ m=-3 $
结合$ m ≠ 3 $的限制条件，最终可得 $ m=-3 $
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制，直接由常数项为0得出$ m=\pm3 $的错误结论，解题时要先明确隐含限制条件再求解。
【难度系数】
0.7
解这道题需要抓住两个核心条件：一是题目明确该方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，这是隐含限制条件；二是题目给出常数项为0，即常数项对应的代数式值为0。我们可以先根据常数项为0列方程求出m的所有可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $ m-3 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 3 $
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $ m^2 -9 = 0 $
移项得 $ m^2 =9 $，解得 $ m=3 $ 或 $ m=-3 $
结合$ m ≠ 3 $的限制条件，最终可得 $ m=-3 $
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制，直接由常数项为0得出$ m=\pm3 $的错误结论，解题时要先明确隐含限制条件再求解。
【难度系数】
0.7
5. 若$x=-2$是一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$的解，求$c$的值。
答案
5. $-8$
解析
【分析】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，本题已知x=-2是方程的解，解题时只需将x=-2代入原方程，即可得到仅含参数c的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出c的值，这是求解方程中未知参数的常规思路。
【解析】
解：
∵$x=-2$是一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$的解
∴将$x=-2$代入方程，等式成立，可得：
$(-2)^2 - 2×(-2) + c = 0$
计算得：$4 + 4 + c = 0$
整理得：$8 + c = 0$
解得：$c=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
一元二次方程的解，代入求值，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程解的概念的应用，熟练掌握代入法求解参数是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，本题已知x=-2是方程的解，解题时只需将x=-2代入原方程，即可得到仅含参数c的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出c的值，这是求解方程中未知参数的常规思路。
【解析】
解：
∵$x=-2$是一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$的解
∴将$x=-2$代入方程，等式成立，可得：
$(-2)^2 - 2×(-2) + c = 0$
计算得：$4 + 4 + c = 0$
整理得：$8 + c = 0$
解得：$c=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
一元二次方程的解，代入求值，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程解的概念的应用，熟练掌握代入法求解参数是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
6. 已知关于$x$的方程$(k^2 - 4)x^2 - (k - 2)x + 1 = 0$，回答下列问题：
（1）当$k$满足什么条件时，该方程是一元二次方程？
（2）当$k$满足什么条件时，该方程是一元一次方程？
（1）当$k$满足什么条件时，该方程是一元二次方程？
（2）当$k$满足什么条件时，该方程是一元一次方程？
答案
6. (1) $k≠±2$
(2) $k=-2$
(2) $k=-2$
解析
【分析】
要判断方程的类型，需紧扣一元二次方程、一元一次方程的定义分析：
（1）一元二次方程的核心特征是“未知数最高次数为2，且二次项系数不为0”，因此只需让该方程的二次项系数不等于0，列不等式求解即可；
（2）一元一次方程的核心特征是“未知数最高次数为1，且一次项系数不为0”，因此需要先让二次项系数为0消去二次项，同时保证一次项系数不等于0，联立两个条件求解即可。
【解析】
（1）若该方程是一元二次方程，则二次项系数不为0，即：
$k^2 - 4 ≠ 0$
解得$k^2 ≠ 4$，即$k ≠ \pm 2$。
（2）若该方程是一元一次方程，则需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列条件得：
$\begin{cases}k^2 - 4 = 0 \\-(k - 2) ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程得$k = 2$或$k = -2$；
解第二个不等式得$k ≠ 2$；
综上可得$k = -2$。
【答案】
（1）$k≠±2$；（2）$k=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义、一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是牢记不同整式方程对各次项系数的要求，注意求解一元一次方程的条件时，不要遗漏“一次项系数不为0”的限制，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
要判断方程的类型，需紧扣一元二次方程、一元一次方程的定义分析：
（1）一元二次方程的核心特征是“未知数最高次数为2，且二次项系数不为0”，因此只需让该方程的二次项系数不等于0，列不等式求解即可；
（2）一元一次方程的核心特征是“未知数最高次数为1，且一次项系数不为0”，因此需要先让二次项系数为0消去二次项，同时保证一次项系数不等于0，联立两个条件求解即可。
【解析】
（1）若该方程是一元二次方程，则二次项系数不为0，即：
$k^2 - 4 ≠ 0$
解得$k^2 ≠ 4$，即$k ≠ \pm 2$。
（2）若该方程是一元一次方程，则需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列条件得：
$\begin{cases}k^2 - 4 = 0 \\-(k - 2) ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程得$k = 2$或$k = -2$；
解第二个不等式得$k ≠ 2$；
综上可得$k = -2$。
【答案】
（1）$k≠±2$；（2）$k=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义、一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是牢记不同整式方程对各次项系数的要求，注意求解一元一次方程的条件时，不要遗漏“一次项系数不为0”的限制，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
