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3.若一元二次方程$x^2=p(p＞0)$的两个根是$x_1=a-1$与$x_2=2a-8$，则$a$的值为
3
.答案
3
解析
【分析】
首先回忆直接开平方法解一元二次方程的性质：对于方程$x^2=p(p＞0)$，它的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以利用这一性质，将题目给出的两个根相加等于0，列出关于a的一元一次方程，求解后再验证得到的a是否满足$p＞0$的条件，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2=p(p＞0)$的两个根互为相反数，
∴ 两根之和为0，即$(a-1)+(2a-8)=0$，
整理得：$3a-9=0$，
解得：$a=3$。
验证：当$a=3$时，$x_1=3-1=2$，$x_2=2×3 -8=-2$，此时$p=x_1^2=4＞0$，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质
【点评】
本题考查直接开平方法下一元二次方程的根的特征，解题的关键是掌握$x^2=p(p＞0)$的两根互为相反数的性质，列出方程求解后注意验证p的取值是否符合题设要求即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆直接开平方法解一元二次方程的性质：对于方程$x^2=p(p＞0)$，它的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以利用这一性质，将题目给出的两个根相加等于0，列出关于a的一元一次方程，求解后再验证得到的a是否满足$p＞0$的条件，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2=p(p＞0)$的两个根互为相反数，
∴ 两根之和为0，即$(a-1)+(2a-8)=0$，
整理得：$3a-9=0$，
解得：$a=3$。
验证：当$a=3$时，$x_1=3-1=2$，$x_2=2×3 -8=-2$，此时$p=x_1^2=4＞0$，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质
【点评】
本题考查直接开平方法下一元二次方程的根的特征，解题的关键是掌握$x^2=p(p＞0)$的两根互为相反数的性质，列出方程求解后注意验证p的取值是否符合题设要求即可。
【难度系数】
0.8
4. 若$x+3$与$x-3$互为倒数，则$x$的值为
$x_1=\sqrt{10},x_2=-\sqrt{10}$
.答案
$x_1=\sqrt{10},x_2=-\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题第一步需利用倒数的核心性质：互为倒数的两个数乘积为1，据此将题干条件转化为含x的等式；再利用平方差公式展开等式左边，整理得到形如x²=a的一元二次方程，最后用直接开平方法求解即可，注意一元二次方程有两个实根，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $x+3$与$x-3$互为倒数，互为倒数的两数乘积为1
∴ $(x+3)(x-3)=1$
由平方差公式展开左边得：$x^2 - 9 = 1$
移项整理得：$x^2 = 10$
两边直接开平方得：$x = \pm\sqrt{10}$
即 $x_1=\sqrt{10},x_2=-\sqrt{10}$
【答案】
$x_1=\sqrt{10},x_2=-\sqrt{10}$
【知识点】
倒数的性质；平方差公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础型计算题，解题的关键是准确根据倒数的定义列方程，计算过程中要正确运用平方差公式化简，同时注意一元二次方程的根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
解题第一步需利用倒数的核心性质：互为倒数的两个数乘积为1，据此将题干条件转化为含x的等式；再利用平方差公式展开等式左边，整理得到形如x²=a的一元二次方程，最后用直接开平方法求解即可，注意一元二次方程有两个实根，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $x+3$与$x-3$互为倒数，互为倒数的两数乘积为1
∴ $(x+3)(x-3)=1$
由平方差公式展开左边得：$x^2 - 9 = 1$
移项整理得：$x^2 = 10$
两边直接开平方得：$x = \pm\sqrt{10}$
即 $x_1=\sqrt{10},x_2=-\sqrt{10}$
【答案】
$x_1=\sqrt{10},x_2=-\sqrt{10}$
【知识点】
倒数的性质；平方差公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础型计算题，解题的关键是准确根据倒数的定义列方程，计算过程中要正确运用平方差公式化简，同时注意一元二次方程的根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
已知方程$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 36$，则$x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
7
解析
【分析】
观察方程结构可发现$ x^2+y^2 $以整体形式出现，我们可以采用换元思想，先设$ A=x^2+y^2 $，首先根据平方的非负性确定$ A≥0 $，再将原方程转化为关于A的一元二次方程，用直接开平方法求解，最后根据A的取值范围舍去不符合要求的解即可。
【解析】
解：设$ A = x^2 + y^2 $，由平方的非负性可知$ A≥0 $。
原方程可化为：$ (A - 1)^2 = 36 $
两边直接开平方，得：$ A - 1 = \pm 6 $
①当$ A - 1 = 6 $时，解得$ A = 7 $，满足$ A≥0 $，符合题意；
②当$ A - 1 = -6 $时，解得$ A = -5 $，不符合$ A≥0 $的要求，舍去。
因此$ x^2 + y^2 = 7 $。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法解方程、换元思想、平方的非负性
【点评】
本题解题关键是运用整体换元的思想简化方程，需要注意题目中隐含的取值范围，避免未验证解的合理性导致出现错解。
【难度系数】
0.7
观察方程结构可发现$ x^2+y^2 $以整体形式出现，我们可以采用换元思想，先设$ A=x^2+y^2 $，首先根据平方的非负性确定$ A≥0 $，再将原方程转化为关于A的一元二次方程，用直接开平方法求解，最后根据A的取值范围舍去不符合要求的解即可。
【解析】
解：设$ A = x^2 + y^2 $，由平方的非负性可知$ A≥0 $。
原方程可化为：$ (A - 1)^2 = 36 $
两边直接开平方，得：$ A - 1 = \pm 6 $
①当$ A - 1 = 6 $时，解得$ A = 7 $，满足$ A≥0 $，符合题意；
②当$ A - 1 = -6 $时，解得$ A = -5 $，不符合$ A≥0 $的要求，舍去。
因此$ x^2 + y^2 = 7 $。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法解方程、换元思想、平方的非负性
【点评】
本题解题关键是运用整体换元的思想简化方程，需要注意题目中隐含的取值范围，避免未验证解的合理性导致出现错解。
【难度系数】
0.7
6. 解下列方程：
(1) $2x^2 - \frac{1}{2} = 0$；
(2) $(50 + t)^2 = 100$；
(3) $(x - 1)^2 + 1 = 8$；
(4) $9(y + 1)^2 = 25$；
(5) $(x + 1)^2 = (3 - 2x)^2$；
(6) $4(2x - 5)^2 = 9(3x - 1)^2$。
(1) $2x^2 - \frac{1}{2} = 0$；
(2) $(50 + t)^2 = 100$；
(3) $(x - 1)^2 + 1 = 8$；
(4) $9(y + 1)^2 = 25$；
(5) $(x + 1)^2 = (3 - 2x)^2$；
(6) $4(2x - 5)^2 = 9(3x - 1)^2$。
答案
(1) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $t_1=-40,t_2=-60$
(3) $x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$
(4) $y_1=\frac{2}{3},y_2=-\frac{8}{3}$
(5) $x_1=\frac{2}{3},x_2=4$
(6) $x_1=-\frac{7}{5},x_2=1$
(2) $t_1=-40,t_2=-60$
(3) $x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$
(4) $y_1=\frac{2}{3},y_2=-\frac{8}{3}$
(5) $x_1=\frac{2}{3},x_2=4$
(6) $x_1=-\frac{7}{5},x_2=1$
解析
【分析】
这6个一元二次方程都可转化为“含未知数的完全平方式等于非负数”的结构，适合用直接开平方法求解。解题思路为：①先通过移项、系数化为1，将方程变形为$[a(x+m)]^2 = b$（$b≥0$）的形式；②对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；③分别求解两个一次方程，即可得到原方程的两个根。对于等式左右两边都是完全平方式的题目（如第(5)(6)题），可直接对两边开平方，注意右边要带正负号，避免漏解。
【解析】
(1) $2x^2 - \frac{1}{2} = 0$
移项得$2x^2 = \frac{1}{2}$，
系数化为1得$x^2 = \frac{1}{4}$，
开平方得$x = \pm \frac{1}{2}$，
即$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) $(50 + t)^2 = 100$
开平方得$50 + t = \pm 10$，
当$50+t=10$时，$t=10-50=-40$；
当$50+t=-10$时，$t=-10-50=-60$，
即$t_1=-40,t_2=-60$。
(3) $(x - 1)^2 + 1 = 8$
移项得$(x-1)^2 = 7$，
开平方得$x-1 = \pm \sqrt{7}$，
即$x = 1 \pm \sqrt{7}$，
所以$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$。
(4) $9(y + 1)^2 = 25$
系数化为1得$(y+1)^2 = \frac{25}{9}$，
开平方得$y+1 = \pm \frac{5}{3}$，
当$y+1=\frac{5}{3}$时，$y=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$；
当$y+1=-\frac{5}{3}$时，$y=-\frac{5}{3}-1=-\frac{8}{3}$，
即$y_1=\frac{2}{3},y_2=-\frac{8}{3}$。
(5) $(x + 1)^2 = (3 - 2x)^2$
开平方得$x+1 = \pm (3-2x)$，
情况1：$x+1 = 3-2x$，移项得$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$；
情况2：$x+1 = -(3-2x)$，去括号得$x+1=-3+2x$，移项得$x=4$，
即$x_1=\frac{2}{3},x_2=4$。
(6) $4(2x - 5)^2 = 9(3x - 1)^2$
开平方得$2(2x-5) = \pm 3(3x-1)$，
情况1：$2(2x-5)=3(3x-1)$，去括号得$4x-10=9x-3$，移项得$-5x=7$，解得$x=-\frac{7}{5}$；
情况2：$2(2x-5)=-3(3x-1)$，去括号得$4x-10=-9x+3$，移项得$13x=13$，解得$x=1$，
即$x_1=-\frac{7}{5},x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $t_1=-40,t_2=-60$
(3) $x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$
(4) $y_1=\frac{2}{3},y_2=-\frac{8}{3}$
(5) $x_1=\frac{2}{3},x_2=4$
(6) $x_1=-\frac{7}{5},x_2=1$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元一次方程解法
【点评】
这是直接开平方法解一元二次方程的基础训练，重点考查对“若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$”这一性质的运用，解题时需注意开平方后不要遗漏负号的情况，避免丢解，熟练掌握该方法能为后续学习更复杂的一元二次方程解法打下基础。
【难度系数】
0.85
这6个一元二次方程都可转化为“含未知数的完全平方式等于非负数”的结构，适合用直接开平方法求解。解题思路为：①先通过移项、系数化为1，将方程变形为$[a(x+m)]^2 = b$（$b≥0$）的形式；②对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；③分别求解两个一次方程，即可得到原方程的两个根。对于等式左右两边都是完全平方式的题目（如第(5)(6)题），可直接对两边开平方，注意右边要带正负号，避免漏解。
【解析】
(1) $2x^2 - \frac{1}{2} = 0$
移项得$2x^2 = \frac{1}{2}$，
系数化为1得$x^2 = \frac{1}{4}$，
开平方得$x = \pm \frac{1}{2}$，
即$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) $(50 + t)^2 = 100$
开平方得$50 + t = \pm 10$，
当$50+t=10$时，$t=10-50=-40$；
当$50+t=-10$时，$t=-10-50=-60$，
即$t_1=-40,t_2=-60$。
(3) $(x - 1)^2 + 1 = 8$
移项得$(x-1)^2 = 7$，
开平方得$x-1 = \pm \sqrt{7}$，
即$x = 1 \pm \sqrt{7}$，
所以$x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$。
(4) $9(y + 1)^2 = 25$
系数化为1得$(y+1)^2 = \frac{25}{9}$，
开平方得$y+1 = \pm \frac{5}{3}$，
当$y+1=\frac{5}{3}$时，$y=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$；
当$y+1=-\frac{5}{3}$时，$y=-\frac{5}{3}-1=-\frac{8}{3}$，
即$y_1=\frac{2}{3},y_2=-\frac{8}{3}$。
(5) $(x + 1)^2 = (3 - 2x)^2$
开平方得$x+1 = \pm (3-2x)$，
情况1：$x+1 = 3-2x$，移项得$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$；
情况2：$x+1 = -(3-2x)$，去括号得$x+1=-3+2x$，移项得$x=4$，
即$x_1=\frac{2}{3},x_2=4$。
(6) $4(2x - 5)^2 = 9(3x - 1)^2$
开平方得$2(2x-5) = \pm 3(3x-1)$，
情况1：$2(2x-5)=3(3x-1)$，去括号得$4x-10=9x-3$，移项得$-5x=7$，解得$x=-\frac{7}{5}$；
情况2：$2(2x-5)=-3(3x-1)$，去括号得$4x-10=-9x+3$，移项得$13x=13$，解得$x=1$，
即$x_1=-\frac{7}{5},x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $t_1=-40,t_2=-60$
(3) $x_1=1+\sqrt{7},x_2=1-\sqrt{7}$
(4) $y_1=\frac{2}{3},y_2=-\frac{8}{3}$
(5) $x_1=\frac{2}{3},x_2=4$
(6) $x_1=-\frac{7}{5},x_2=1$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元一次方程解法
【点评】
这是直接开平方法解一元二次方程的基础训练，重点考查对“若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$”这一性质的运用，解题时需注意开平方后不要遗漏负号的情况，避免丢解，熟练掌握该方法能为后续学习更复杂的一元二次方程解法打下基础。
【难度系数】
0.85
7. 已知等腰三角形$ABC$的底边长为4，腰长恰好是关于$x$的一元二次方程$(2x - 6)^2 = 16$的一个根，求$△ ABC$的周长。
答案
由一元二次方程$(2x-6)^2=16$,得$2x-6=\pm4$.解得$x=5$,或$x=1$.$\therefore$等腰三角形的两腰长是5或1.① 当等腰三角形的腰长是1时,$1+1=2＜4$,构不成三角形,所以不合题意,舍去.② 当等腰三角形的腰长是5时,$5+5＞4,5+4＞5$,所以能构成三角形,$\therefore$该等腰三角形的周长$5+5+4=14$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个可能的腰长取值；第二步结合三角形三边关系，对两个取值分别验证，排除无法构成三角形的情况，确定符合要求的腰长；第三步用符合条件的腰长和已知底边长计算三角形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$(2x - 6)^2 = 16$开平方，得$2x - 6 = \pm4$。
当$2x - 6 = 4$时，解得$x=5$；当$2x - 6 = -4$时，解得$x=1$。
即等腰三角形腰长的可能取值为5或1。
2. 结合三角形三边关系验证：
① 若腰长为1，此时三边长为1、1、4，由于$1+1=2＜4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，舍去该情况。
② 若腰长为5，此时三边长为5、5、4，验证得$5+5＞4$、$5+4＞5$，满足构成三角形的条件。
3. 计算周长：
符合条件的三角形周长为$5+5+4=14$。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质结合的基础题型，易错点为求出方程的根后，忽略验证三角形三边的合理性，直接代入计算导致错误，解题时需注意几何边长的实际意义。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两个可能的腰长取值；第二步结合三角形三边关系，对两个取值分别验证，排除无法构成三角形的情况，确定符合要求的腰长；第三步用符合条件的腰长和已知底边长计算三角形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$(2x - 6)^2 = 16$开平方，得$2x - 6 = \pm4$。
当$2x - 6 = 4$时，解得$x=5$；当$2x - 6 = -4$时，解得$x=1$。
即等腰三角形腰长的可能取值为5或1。
2. 结合三角形三边关系验证：
① 若腰长为1，此时三边长为1、1、4，由于$1+1=2＜4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，舍去该情况。
② 若腰长为5，此时三边长为5、5、4，验证得$5+5＞4$、$5+4＞5$，满足构成三角形的条件。
3. 计算周长：
符合条件的三角形周长为$5+5+4=14$。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质结合的基础题型，易错点为求出方程的根后，忽略验证三角形三边的合理性，直接代入计算导致错误，解题时需注意几何边长的实际意义。
【难度系数】
0.7
8. 对于实数 $ p,q $,我们用符号 $ \max\{p,q\} $ 表示 $ p,q $ 两数中较大的数,如:$ \max\{1,2\}=2 $.
(1) $ \max\{-\sqrt{3},-\sqrt{2}\}= $
(2) 若 $ \max\{(x-1)^2,x^2\}=9 $,求 $ x $ 的值.
(1) $ \max\{-\sqrt{3},-\sqrt{2}\}= $
$-\sqrt{2}$
;(2) 若 $ \max\{(x-1)^2,x^2\}=9 $,求 $ x $ 的值.
答案
(1) $-\sqrt{2}$
(2) ① 当$(x-1)^2≥ x^2$时,$(x-1)^2=9$,解得$x=-2$($x=4$舍去).② 当$x^2≥(x-1)^2$时,$x^2=9$,解得$x=3$($x=-3$舍去).综上所述,$x$的值为$-2$或$3$
(2) ① 当$(x-1)^2≥ x^2$时,$(x-1)^2=9$,解得$x=-2$($x=4$舍去).② 当$x^2≥(x-1)^2$时,$x^2=9$,解得$x=3$($x=-3$舍去).综上所述,$x$的值为$-2$或$3$
解析
【分析】
（1）首先明确$\max\{p,q\}$的含义是取$p,q$中较大的数，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，比较$-\sqrt{3}$和$-\sqrt{2}$的大小即可得到结果；
（2）根据$\max$的定义，需要分两种情况讨论：①当$(x-1)^2≥ x^2$时，此时较大值为$(x-1)^2$，令其等于9求解，再验证解是否满足$(x-1)^2≥ x^2$的前提，舍去不符合的解；②当$x^2≥ (x-1)^2$时，此时较大值为$x^2$，令其等于9求解，同样验证解是否满足前提，舍去不符合的解，最终汇总符合条件的$x$值即可。
【解析】
（1）$\because \sqrt{3}＞\sqrt{2}$，$\therefore -\sqrt{3}＜-\sqrt{2}$，
根据$\max\{p,q\}$的定义，得$\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{2}\}=-\sqrt{2}$。
（2）分两种情况讨论：
① 当$(x-1)^2≥ x^2$时，
展开不等式左边得$x^2-2x+1≥ x^2$，
化简得$-2x+1≥ 0$，解得$x≤ \frac{1}{2}$，
此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=9$，
开平方得$x-1=\pm 3$，
解得$x=4$或$x=-2$，
$\because x≤ \frac{1}{2}$，$\therefore x=4$不符合前提，舍去，保留$x=-2$；
② 当$x^2≥ (x-1)^2$时，
展开不等式右边得$x^2≥ x^2-2x+1$，
化简得$2x-1≥ 0$，解得$x≥ \frac{1}{2}$，
此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=9$，
开平方得$x=\pm 3$，
$\because x≥ \frac{1}{2}$，$\therefore x=-3$不符合前提，舍去，保留$x=3$；
综上所述，$x$的值为$-2$或$3$。
【答案】
（1）$-\sqrt{2}$；（2）$x$的值为$-2$或$3$
【知识点】
新定义运算、实数大小比较、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合新定义运算考查了基础运算能力，解题的核心是准确理解新定义的规则，合理进行分类讨论，求解后注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确$\max\{p,q\}$的含义是取$p,q$中较大的数，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，比较$-\sqrt{3}$和$-\sqrt{2}$的大小即可得到结果；
（2）根据$\max$的定义，需要分两种情况讨论：①当$(x-1)^2≥ x^2$时，此时较大值为$(x-1)^2$，令其等于9求解，再验证解是否满足$(x-1)^2≥ x^2$的前提，舍去不符合的解；②当$x^2≥ (x-1)^2$时，此时较大值为$x^2$，令其等于9求解，同样验证解是否满足前提，舍去不符合的解，最终汇总符合条件的$x$值即可。
【解析】
（1）$\because \sqrt{3}＞\sqrt{2}$，$\therefore -\sqrt{3}＜-\sqrt{2}$，
根据$\max\{p,q\}$的定义，得$\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{2}\}=-\sqrt{2}$。
（2）分两种情况讨论：
① 当$(x-1)^2≥ x^2$时，
展开不等式左边得$x^2-2x+1≥ x^2$，
化简得$-2x+1≥ 0$，解得$x≤ \frac{1}{2}$，
此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=9$，
开平方得$x-1=\pm 3$，
解得$x=4$或$x=-2$，
$\because x≤ \frac{1}{2}$，$\therefore x=4$不符合前提，舍去，保留$x=-2$；
② 当$x^2≥ (x-1)^2$时，
展开不等式右边得$x^2≥ x^2-2x+1$，
化简得$2x-1≥ 0$，解得$x≥ \frac{1}{2}$，
此时$\max\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=9$，
开平方得$x=\pm 3$，
$\because x≥ \frac{1}{2}$，$\therefore x=-3$不符合前提，舍去，保留$x=3$；
综上所述，$x$的值为$-2$或$3$。
【答案】
（1）$-\sqrt{2}$；（2）$x$的值为$-2$或$3$
【知识点】
新定义运算、实数大小比较、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合新定义运算考查了基础运算能力，解题的核心是准确理解新定义的规则，合理进行分类讨论，求解后注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
