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9 跨学科 光的折射 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，水面与杯面互相平行，$∠ 1=45°$，$∠ 2=120°$，则$∠ 3+∠ 4=$(
A.$165°$
B.$155°$
C.$105°$
D.$90°$
C
)。A.$165°$
B.$155°$
C.$105°$
D.$90°$
答案
9. C [解析]如图所示,$AB// CD$,光线在空气中也是平行的,
$\therefore ∠ 1=∠ 3,∠ 2+∠ 4=180°.$
$\because ∠ 1=45°,∠ 2=120°,$
$\therefore ∠ 3=45°,∠ 4=180°-120°=60°.$
$\therefore ∠ 3+∠ 4=45°+60°=105°.$
故选 C.
10 如图，已知$AB// CD$，$AD⊥ AC$，$∠ BAD=35°$，则$∠ ACD=$
55
°。答案
10. 55 [解析]$\because AB// CD,\therefore ∠ ADC=∠ BAD=35°.$
$\because AD⊥ AC,\therefore ∠ ADC+∠ ACD=90°,$
$\therefore ∠ ACD=90°-35°=55°.$
$\because AD⊥ AC,\therefore ∠ ADC+∠ ACD=90°,$
$\therefore ∠ ACD=90°-35°=55°.$
11 分类讨论思想在平面内，∠A和∠B的两边互相平行，且∠A=40°，则∠B=
40°或140°
。答案
11. $40°$或$140°$ [解析]如图(1),$\because ∠ A$ 和 $∠ B$ 的两边互相平行,$\therefore ∠ A=∠ 1,∠ 1=∠ B,\therefore ∠ B=∠ A=40°;$
如图(2),$\because ∠ A$ 和 $∠ B$ 的两边互相平行,$\therefore ∠ A=∠ 1,$
$∠ 1+∠ B=180°,\therefore ∠ B=140°.$
故$∠ B$ 为 $40°$或$140°.$
易错警示 本题考查了平行线的性质,易漏解$∠ B$ 是钝角的情况.
12 中考新考法 尺规作图 (2023·广元中考)如图，$a// b$，直线$l$与直线$a$，$b$分别交于$B$，$A$两点，分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点$E$，$F$，作直线$EF$，分别交直线$a$，$b$于点$C$，$D$，连接$AC$，若$∠ CDA=34°$，则$∠ CAB$的度数为
56°
。答案
12. $56°$ [解析]由作图可知 $EF$ 为线段 $AB$ 的垂直平分线,
$\therefore AC=BC,\therefore ∠ CAB=∠ CBA,∠ ACD=∠ BCD.$ $\because a// b,$
$\therefore ∠ CDA=∠ BCD=34°,\therefore ∠ ACD=∠ BCD=34°.$
$\because ∠ ACD+∠ BCD+∠ CAB+∠ CBA=180°,$
$\therefore ∠ CAB=56°.$
解后反思 本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识,判断 $EF$ 为线段 $AB$ 的垂直平分线是解答本题的关键.
$\therefore AC=BC,\therefore ∠ CAB=∠ CBA,∠ ACD=∠ BCD.$ $\because a// b,$
$\therefore ∠ CDA=∠ BCD=34°,\therefore ∠ ACD=∠ BCD=34°.$
$\because ∠ ACD+∠ BCD+∠ CAB+∠ CBA=180°,$
$\therefore ∠ CAB=56°.$
解后反思 本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识,判断 $EF$ 为线段 $AB$ 的垂直平分线是解答本题的关键.
13 如图，已知$GF// CD$，$∠ 1=∠ 2$. 证明：$∠ CED+∠ ACB=180°$.
答案
13. $\because GF// CD,\therefore ∠ 2=∠ DCB.$ $\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1=∠ DCB,\therefore DE// BC,\therefore ∠ CED+∠ ACB=180°.$
14 (2025·河北保定竞秀区期末)如图，$AB// DG$，$∠ 1+∠ 2=180°$.
(1)证明：$AD// EF$；
(2)在(1)的情况下，若$DG$是$∠ ADC$的平分线，$∠ B=40°$，$∠ C=60°$，求$∠ DAC$的度数.
(1)证明：$AD// EF$；
(2)在(1)的情况下，若$DG$是$∠ ADC$的平分线，$∠ B=40°$，$∠ C=60°$，求$∠ DAC$的度数.
答案
14. (1)$\because AB// DG,\therefore ∠ 1=∠ BAD.$ $\because ∠ 1+∠ 2=180°,$
$\therefore ∠ BAD+∠ 2=180°,\therefore AD// EF.$
(2)$\because AB// DG,∠ B=40°,\therefore ∠ CDG=∠ B=40°.$ $\because DG$是$∠ ADC$的平分线,$\therefore ∠ ADC=2∠ CDG=80°.$ $\because ∠ C=60°,\therefore ∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ C=40°.$
$\therefore ∠ BAD+∠ 2=180°,\therefore AD// EF.$
(2)$\because AB// DG,∠ B=40°,\therefore ∠ CDG=∠ B=40°.$ $\because DG$是$∠ ADC$的平分线,$\therefore ∠ ADC=2∠ CDG=80°.$ $\because ∠ C=60°,\therefore ∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ C=40°.$
15 中考新考法 改变条件探究 如图，$AB// CD$，$MG$平分$∠ EMA$，$NH$平分$∠ MNC$.
(1)$MG// NH$吗？为什么？
(2)如果把条件“$MG$平分$∠ EMA$”改为“$MG$平分$∠ BMN$”，$MG// NH$还成立吗？请说明理由.
(1)$MG// NH$吗？为什么？
(2)如果把条件“$MG$平分$∠ EMA$”改为“$MG$平分$∠ BMN$”，$MG// NH$还成立吗？请说明理由.
答案
15. (1)$MG// NH$.理由如下：
因为 $AB// CD$,所以$∠ EMA=∠ MNC.$
因为 $MG$ 平分$∠ EMA$,$NH$ 平分$∠ MNC$,
所以$∠ EMG=\frac{1}{2}∠ EMA,∠ MNH=\frac{1}{2}∠ MNC$,
所以$∠ EMG=∠ MNH$,所以$MG// NH.$
(2)$MG// NH$成立.理由如下：
因为 $AB// CD$,所以$∠ BMN=∠ MNC.$
因为 $MG$ 平分$∠ BMN$,$NH$ 平分$∠ MNC$,
所以$∠ GMN=\frac{1}{2}∠ BMN,∠ HNM=\frac{1}{2}∠ MNC$,
所以$∠ GMN=∠ HNM$,所以$MG// NH.$
直线$MG$,$NH$被直线$EN$所截,构成的一对内错角
素养考向 本题考查了平行线的判定与性质,解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.本题是一道探索性条件开放型题目,能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力.
因为 $AB// CD$,所以$∠ EMA=∠ MNC.$
因为 $MG$ 平分$∠ EMA$,$NH$ 平分$∠ MNC$,
所以$∠ EMG=\frac{1}{2}∠ EMA,∠ MNH=\frac{1}{2}∠ MNC$,
所以$∠ EMG=∠ MNH$,所以$MG// NH.$
(2)$MG// NH$成立.理由如下：
因为 $AB// CD$,所以$∠ BMN=∠ MNC.$
因为 $MG$ 平分$∠ BMN$,$NH$ 平分$∠ MNC$,
所以$∠ GMN=\frac{1}{2}∠ BMN,∠ HNM=\frac{1}{2}∠ MNC$,
所以$∠ GMN=∠ HNM$,所以$MG// NH.$
直线$MG$,$NH$被直线$EN$所截,构成的一对内错角
素养考向 本题考查了平行线的判定与性质,解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.本题是一道探索性条件开放型题目,能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力.
