22.「2025陕西中考，★☆」(10分)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部$L_1$，左、右门洞$L_2$，$L_3$均呈抛物线形，水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$，$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$，$L_2$，$L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN$，$MP$，$NQ$为框架，点$M$，$N$在$L_1$上，点$P$，$Q$分别在$L_2$，$L_3$上，$MN// AC$，$MP⊥ AC$，$NQ⊥ AC$.以点$O$为原点，以$AC$所在直线为$x$轴，以$BO$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$的函数表达式.
(2)已知抛物线$L_3$的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$，$NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$，求$MN$的长.

22.解析
(1)$\because BO=4\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 抛物线$L_1$的顶点B的坐标为$(0,4)$, ............ (1分)
设抛物线$L_1$的函数表达式为$y=ax^2+4$,
$\because AC=16\ \mathrm{m}$,$\therefore A(-8,0)$,$C(8,0)$, ............ (2分)
将$C(8,0)$代入$y=ax^2+4$,得$0=64a+4$,则$a=-\frac{1}{16}$,............ (4分)
$\therefore$ 抛物线$L_1$的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$. ........ (5分)
(2)由(1)得抛物线$L_1$的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$,
$\because MN// AC$,$MP⊥ AC$,$NQ⊥ AC$,$NQ=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$,且抛物线$L_3$的函数表达式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$,
$\therefore y_N-y_Q=-\frac{1}{16}x^2+4-[-\frac{3}{16}(x-4)^2]=\frac{5}{2}$, ........ (7分)
整理得$x^2-12x+36=0$,解得$x_1=x_2=6$, ............ (9分)
$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$,即MN的长为12 m. ............ (10分)