23.「2025安徽六安霍邱期末，★☆」(10分)数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在$□ ABCD$中，AB＜BC，$∠ ABC$的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，以DE，DF为邻边作$□ DFGE$.
(1)如图1，“雅思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DFGE是正方形，请你证明这一结论.
(2)“雅学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由.
(3)“雅问”小组的同学计划对$□ ABCD$展开类似研究.如图3，在$□ ABCD$中，$∠ ABC=60°$，当AB=6，BC=10时，连接AG，请直接写出线段AG的长.

23.解析
(1)证明:$\because$ 四边形ABCD为矩形,
$\therefore ∠ C=90°$,$AB// CD$,$AD// BC$,
$\therefore ∠ FED=∠ EBC$,$∠ EFD=∠ ABE$,$∠ FDE=∠ C=90°$,
$\because$ 四边形DFGE为平行四边形,$\therefore$ 平行四边形DFGE为矩形, ............ (2分)
$\because BE$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABE=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,
$\therefore ∠ FED=∠ EFD$,$\therefore DE=DF$,
$\therefore$ 四边形DFGE为正方形. ............ (4分)
(2)$BG=AC$, ............ (5分)
理由如下：
连接DG交BF于点O,连接BD,如图,

由(1)得四边形DFGE为正方形,$\therefore DG⊥ EF$,$GO=OD$,
$\therefore BF$垂直平分DG,$\therefore DB=BG$, ............ (6分)
$\because$ 四边形ABCD为矩形,$\therefore BD=AC$,$\therefore BG=AC$. ... (8分)
(3)线段AG的长为$2\sqrt{19}$. ............ (10分)
详解:如图,过点G作$GH⊥ AD$于点H,

$\because$ 四边形DFGE为平行四边形,$\therefore DF// GE$,$GF// DE$.
$\because BE$平分$∠ ABC$,$∠ ABC=60°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$,
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$BC=10$,
$\therefore AD// BC$,$AD=BC=10$,$\therefore ∠ AEB=∠ CBE=30°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ AEB=30°$,$\therefore AB=AE=6$,$\therefore DE=AD-AE=10-6=4$,$\because DF// GE$,$AD// BC$,$\therefore ∠ DEF=∠ FBC$,$GE// AB$,
$\therefore ∠ FEG=∠ ABE$,
$\therefore ∠ GEF=∠ DEF=30°$,$∠ DEF+∠ FEG=∠ FBC+∠ ABE$,即$∠ DEG=∠ ABC=60°$,
$\because GF// DE$,$\therefore ∠ DEF=∠ GFE=30°$,$\therefore ∠ GEF=∠ GFE=30°$,
$\therefore GE=GF$,$\therefore$ 四边形DFGE为菱形,$\therefore GE=DE=GF=4$,
$\therefore EH=\frac{1}{2}GE=\frac{1}{2}×4=2$,$\therefore GH=2\sqrt{3}$,$AH=AE+EH=6+2=8$,
$\therefore AG=\sqrt{GH^2+AH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+8^2}=2\sqrt{19}$.
$\therefore$ 线段AG的长为$2\sqrt{19}$.