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2. 已知$a,b$为有理数，现规定一种新运算“⊕”，满足$a\oplus b = a× b - a$。
(1)$(-2)\oplus4 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)求$(1\oplus4)\oplus(-2\frac{1}{2})$的值。
(3)类比我们学过的乘法交换律，新运算$a\oplus b = a× b - a$是否满足“交换律”？若满足，请说明理由；若不满足，请举出一个反例。
(1)$(-2)\oplus4 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)求$(1\oplus4)\oplus(-2\frac{1}{2})$的值。
(3)类比我们学过的乘法交换律，新运算$a\oplus b = a× b - a$是否满足“交换律”？若满足，请说明理由；若不满足，请举出一个反例。
答案
解：(1)$(-2)\oplus4=(-2)×4-(-2)=$
$-8+2=-6$。
故答案为$-6$。
(2)$(1\oplus4)\oplus(-2\frac{1}{2})$
$=(1×4-1)\oplus(-\frac{5}{2})$
$=3\oplus(-\frac{5}{2})$
$=3×(-\frac{5}{2})-3$
$=-\frac{15}{2}-3$
$=-\frac{21}{2}$。
(3)不满足。
假设$a=3,b=4$，则$a\oplus b=a×b-a=3×4-3=9$，$b\oplus a=b×a-b=4×3-4=8$，$9≠8$，所以不满足“交换律”。
$-8+2=-6$。
故答案为$-6$。
(2)$(1\oplus4)\oplus(-2\frac{1}{2})$
$=(1×4-1)\oplus(-\frac{5}{2})$
$=3\oplus(-\frac{5}{2})$
$=3×(-\frac{5}{2})-3$
$=-\frac{15}{2}-3$
$=-\frac{21}{2}$。
(3)不满足。
假设$a=3,b=4$，则$a\oplus b=a×b-a=3×4-3=9$，$b\oplus a=b×a-b=4×3-4=8$，$9≠8$，所以不满足“交换律”。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算“⊕”的规则：$a\oplus b = a× b - a$。（1）问直接将$a=-2$、$b=4$代入规则计算即可；（2）问遵循有理数混合运算顺序，先算括号内的$1\oplus4$，得到结果后再将该结果作为新的$a$，$-2\frac{1}{2}$作为$b$，再次代入新运算规则计算；（3）问判断是否满足交换律，即验证交换$a$和$b$的位置后，$a\oplus b$和$b\oplus a$的结果是否恒相等，若不相等举一个结果不同的反例即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则代入计算：
$(-2)\oplus4=(-2)×4-(-2)=-8+2=-6$
(2) 先计算括号内的部分：
$1\oplus4=1×4-1=4-1=3$
再将结果代入计算，先把$-2\frac{1}{2}$化为$-\frac{5}{2}$：
$3\oplus(-\frac{5}{2})=3×(-\frac{5}{2})-3=-\frac{15}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{21}{2}$
(3) 新运算不满足交换律，验证如下：
举反例，取$a=3$，$b=4$，
则$a\oplus b=3×4-3=12-3=9$，
$b\oplus a=4×3-4=12-4=8$，
因为$9≠8$，即$a\oplus b≠ b\oplus a$，所以新运算不满足交换律。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{21}{2}}$；(3) 不满足，反例如$a=3,b=4$时，$a\oplus b=9$，$b\oplus a=8$，二者不相等。
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、运算律判断
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与应用，解题关键是严格按照给定的新运算规则代入计算，判断运算律时需注意交换运算顺序后结果是否始终一致，是有理数运算模块的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算“⊕”的规则：$a\oplus b = a× b - a$。（1）问直接将$a=-2$、$b=4$代入规则计算即可；（2）问遵循有理数混合运算顺序，先算括号内的$1\oplus4$，得到结果后再将该结果作为新的$a$，$-2\frac{1}{2}$作为$b$，再次代入新运算规则计算；（3）问判断是否满足交换律，即验证交换$a$和$b$的位置后，$a\oplus b$和$b\oplus a$的结果是否恒相等，若不相等举一个结果不同的反例即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则代入计算：
$(-2)\oplus4=(-2)×4-(-2)=-8+2=-6$
(2) 先计算括号内的部分：
$1\oplus4=1×4-1=4-1=3$
再将结果代入计算，先把$-2\frac{1}{2}$化为$-\frac{5}{2}$：
$3\oplus(-\frac{5}{2})=3×(-\frac{5}{2})-3=-\frac{15}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{21}{2}$
(3) 新运算不满足交换律，验证如下：
举反例，取$a=3$，$b=4$，
则$a\oplus b=3×4-3=12-3=9$，
$b\oplus a=4×3-4=12-4=8$，
因为$9≠8$，即$a\oplus b≠ b\oplus a$，所以新运算不满足交换律。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{21}{2}}$；(3) 不满足，反例如$a=3,b=4$时，$a\oplus b=9$，$b\oplus a=8$，二者不相等。
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、运算律判断
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与应用，解题关键是严格按照给定的新运算规则代入计算，判断运算律时需注意交换运算顺序后结果是否始终一致，是有理数运算模块的典型题型。
【难度系数】
0.7
3. 下面是小明同学做过的一道题,请先阅读他的解题过程,然后回答所提出的问题。
计算: $-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{2^2}{3} ÷ [-2 - (-3)^2]$。
解:原式$=1 - \frac{1}{2} × \frac{4}{9} ÷ (-11)···$①
$=1 - \frac{2}{9} ÷ (-11)···$②
$=1 - \frac{2}{99}···$③
$=\frac{97}{99}$。$···$④
问题:(1)上述解法中,第
(2)请写出正确的解法。
计算: $-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{2^2}{3} ÷ [-2 - (-3)^2]$。
解:原式$=1 - \frac{1}{2} × \frac{4}{9} ÷ (-11)···$①
$=1 - \frac{2}{9} ÷ (-11)···$②
$=1 - \frac{2}{99}···$③
$=\frac{97}{99}$。$···$④
问题:(1)上述解法中,第
①
步开始出现错误。(填序号)(2)请写出正确的解法。
答案
解：(1)①
(2)原式$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-2-9)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-11)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×(-\frac{1}{11})$
$=-1+\frac{2}{33}$
$=-\frac{31}{33}$。
(2)原式$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-2-9)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-11)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×(-\frac{1}{11})$
$=-1+\frac{2}{33}$
$=-\frac{31}{33}$。
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：首先牢记有理数混合运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算，同级运算从左到右进行。针对问题(1)，逐步骤核对小明的计算：乘方运算中，$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果应为-1，小明错算为1；$\frac{2^2}{3}$仅分子需计算乘方，结果为$\frac{4}{3}$，小明错误将分母3也平方得到$\frac{4}{9}$，两个错误都出现在第①步，因此第①步开始出错。针对问题(2)，严格按照运算顺序逐步计算，注意每一步的符号判断即可。
【解析】
(1) 第①步出现两处错误：一是$-1^4=-1$，误算为1；二是$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，误算为$\frac{4}{9}$，因此第①步开始出现错误。
(2) 正确解法：
原式$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-2-9)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-11)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×(-\frac{1}{11})$
$=-1+\frac{2}{33}$
$=-\frac{31}{33}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 正确计算结果为$\boxed{-\dfrac{31}{33}}$，计算过程见解析。
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，有理数符号法则
【点评】
本题是有理数混合运算的典型易错题，重点考查运算顺序和符号判断能力，常见易错点包括混淆$-a^n$与$(-a)^n$的运算结果、弄错分数中乘方的运算范围、乘除运算时符号处理错误，计算时需严格遵循运算规则，逐步骤核对避免失误。
【难度系数】
0.65
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：首先牢记有理数混合运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算，同级运算从左到右进行。针对问题(1)，逐步骤核对小明的计算：乘方运算中，$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果应为-1，小明错算为1；$\frac{2^2}{3}$仅分子需计算乘方，结果为$\frac{4}{3}$，小明错误将分母3也平方得到$\frac{4}{9}$，两个错误都出现在第①步，因此第①步开始出错。针对问题(2)，严格按照运算顺序逐步计算，注意每一步的符号判断即可。
【解析】
(1) 第①步出现两处错误：一是$-1^4=-1$，误算为1；二是$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，误算为$\frac{4}{9}$，因此第①步开始出现错误。
(2) 正确解法：
原式$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-2-9)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}÷(-11)$
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×(-\frac{1}{11})$
$=-1+\frac{2}{33}$
$=-\frac{31}{33}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 正确计算结果为$\boxed{-\dfrac{31}{33}}$，计算过程见解析。
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，有理数符号法则
【点评】
本题是有理数混合运算的典型易错题，重点考查运算顺序和符号判断能力，常见易错点包括混淆$-a^n$与$(-a)^n$的运算结果、弄错分数中乘方的运算范围、乘除运算时符号处理错误，计算时需严格遵循运算规则，逐步骤核对避免失误。
【难度系数】
0.65
