4.如图所示，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且$∠ DCM = ∠ MAE$.求证：$△ AEM$是直角三角形.

4. 证明:因为AD是BC边上的高，
所以$∠MDC=90°$,
所以$∠DMC+∠DCM=90°$.
又因为$∠DMC = ∠AME$, $∠DCM = ∠MAE$,
所以$∠AME+∠MAE=90°$,
所以在$△AME$ 中, $∠AEM = 180°-(∠AME+∠MAE)=90°$,
所以$△AEM$是直角三角形.

1. 已知在$△ ABC$中，$∠ A = ∠ B - ∠ C$，则$△ ABC$为（）

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能

1. C

2.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,∠BCD=30°,∠ACB=80°,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是.

第2题图 第3题图

2. 100°

3.如图，C处在B处的北偏西$40°$方向，C处在A处的北偏西$75°$方向，则$∠ ACB$的度数为。

3. 35°

4.(新定义题)在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,那么这样的三角形我们称为“三倍角三角形”.例如,一个三角形的三个内角分别为$120°,40°,20°$,则这个三角形是“三倍角三角形”.
(1)在$△ ABC$中,$∠ A = 35°, ∠ B = 40°$,$△ ABC$是“三倍角三角形”吗?为什么?
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”,且$∠ B = 30°$,求$△ ABC$中最小内角的度数.

4.解:(1)△ABC 是“三倍角三角形”.理由如下：
因为∠A=35°,∠B=40°,
所以∠C=180°-35°-40°=105°=3∠A,
所以△ABC是“三倍角三角形”.
(2)由题意可知,∠A+∠C=150°.
设最小内角的度数为x.
①若30°=3x,则x=10°,180°-30°-10°=140°,成立.
②若x+3x=150°,则x=37.5°,30°＜37.5°,所以不成立.
③若x=30°,则30°×3=90°,180°-30°-90°=60°,成立.
所以△ABC中最小内角的度数为10°或30°.

5.在$△ ABC$中，$AD$是角平分线，$∠ B＜∠ C$，
(1)如图①，$AE$是$△ ABC$的高，$∠ B＝50°$，
$∠ C＝70°$，求$∠ DAE$的度数.
(2)如图②，点$E$在$AD$上，$EF⊥ BC$于点
$F$，试探究$∠ DEF$与$∠ B$，$∠ C$的数量关系，
并证明你的结论.
(3)如图③，点$E$在$AD$的延长线上，$EF⊥$
$BC$于点$F$，此时(2)中的结论还成立吗？试
说明理由.

5.解:(1)因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC.
因为AE⊥BC,所以∠CAE=90°-∠C，
所以∠DAE=∠CAD-∠CAE
=$\frac{1}{2}$∠BAC-(90°-∠C)
=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)
=$\frac{1}{2}$∠C-$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
因为∠B=50°,∠C=70°，
所以∠DAE=$\frac{1}{2}$×(70°-50°)=10°.
(2)∠DEF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).证明如下：
如图,过点A作AG⊥BC于点G.

因为EF⊥BC,所以AG//EF，
所以∠DAG=∠DEF.
由(1)可得,∠DAG=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)，
所以∠DEF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
(3)成立.理由如下：
如图,过点A作AG⊥BC于点G.

因为EF⊥BC,所以AG//EF，
所以∠DAG=∠DEF.
由(1)可得,∠DAG=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)，
所以∠DEF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)，
所以(2)中的结论成立.

6.如图，在$△ ABC$中，$∠ A＝60°$，$∠ ACB＝42°$，$D$为边$BC$延长线上一点，$BF$平分$∠ ABC$，$E$为射线$BF$上一点.若直线$CE$垂直于$△ ABC$的一边，求$∠ BEC$的度数.

6.解:∠BEC 的度数为 51°或 129°或 9°.