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1. 设基础量为$a$，平均增长率为$x$，则一次增长后的量为$a(1+x)$，两次增长后的量为________，依此类推，$n$次增长后的量为________。
答案
$a(1+x)^2$，$a(1+x)^n$
解析
【分析】
解题时需明确平均增长率的核心逻辑：每一次增长的基数都是上一次增长完成后的总数量，而非最初的基础量。首先已知一次增长后的量为$a(1+x)$，推导两次增长的量时，就以一次增长后的量作为新的基数再次乘以$(1+x)$；推导n次增长的量时，按照规律类推，每多一次增长就多乘一次$(1+x)$，结合乘方的意义即可得出结果。
【解析】
已知基础量为$a$，平均增长率为$x$：
1. 一次增长后的量为$a(1+x)$，两次增长是在一次增长后的量的基础上再增长$x$，因此两次增长后的量为：
$a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$
2. 依此类推，每增加一次增长，就需要多乘一个$(1+x)$，因此$n$次增长后，总共乘了$n$个$(1+x)$，可得$n$次增长后的量为$a(1+x)^n$。
【答案】
$a(1+x)^2$，$a(1+x)^n$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 乘方的应用
【点评】
本题是平均增长率的基础公式推导题，掌握“每次增长的基数为上一次增长后的总量”这一核心逻辑即可轻松解题，相关公式是后续解决实际增长率类应用题的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时需明确平均增长率的核心逻辑：每一次增长的基数都是上一次增长完成后的总数量，而非最初的基础量。首先已知一次增长后的量为$a(1+x)$，推导两次增长的量时，就以一次增长后的量作为新的基数再次乘以$(1+x)$；推导n次增长的量时，按照规律类推，每多一次增长就多乘一次$(1+x)$，结合乘方的意义即可得出结果。
【解析】
已知基础量为$a$，平均增长率为$x$：
1. 一次增长后的量为$a(1+x)$，两次增长是在一次增长后的量的基础上再增长$x$，因此两次增长后的量为：
$a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$
2. 依此类推，每增加一次增长，就需要多乘一个$(1+x)$，因此$n$次增长后，总共乘了$n$个$(1+x)$，可得$n$次增长后的量为$a(1+x)^n$。
【答案】
$a(1+x)^2$，$a(1+x)^n$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 乘方的应用
【点评】
本题是平均增长率的基础公式推导题，掌握“每次增长的基数为上一次增长后的总量”这一核心逻辑即可轻松解题，相关公式是后续解决实际增长率类应用题的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 设基础量为$a$，平均降低率为$x$，则一次降低后的量为
$a(1-x)$
，两次降低后的量为$a(1-x)^2$
，依此类推，$n$次降低后的量为$a(1-x)^n$
。答案
2. $a(1-x)$，$a(1-x)^2$，$a(1-x)^n$
解析
【分析】
解题时首先明确平均降低率的含义：每次降低都是在前一次剩余量的基础上，降低前一次量的x倍。第一步先推导一次降低后的量：用基础量减去降低的部分即可得到；第二步推导两次降低后的量：以第一次降低后的量为新的基础量，再次减去本次降低的部分，整理可得；最后根据前两次的规律类推，即可得到n次降低后的量的表达式。
【解析】
1. 计算一次降低后的量：
基础量为$a$，一次降低的数值为$a· x$，因此一次降低后的量为：
$a - a· x = a(1-x)$
2. 计算两次降低后的量：
第二次降低是在一次降低后的量$a(1-x)$的基础上进行的，本次降低的数值为$a(1-x)· x$，因此两次降低后的量为：
$a(1-x) - a(1-x)· x = a(1-x)(1-x) = a(1-x)^2$
3. 推导n次降低后的量：
观察前两次的结果可知，每多降低一次，就多乘一个$(1-x)$，以此类推，$n$次降低后的量为$a(1-x)^n$。
【答案】
$a(1-x)$，$a(1-x)^2$，$a(1-x)^n$
【知识点】
降低率问题，列代数式，规律探究
【点评】
本题是平均变化率类问题的基础题型，核心是理解每次变化的基数是前一次变化后的结果，掌握该规律可以快速解决折旧、降价、衰减等同类型的实际应用问题。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确平均降低率的含义：每次降低都是在前一次剩余量的基础上，降低前一次量的x倍。第一步先推导一次降低后的量：用基础量减去降低的部分即可得到；第二步推导两次降低后的量：以第一次降低后的量为新的基础量，再次减去本次降低的部分，整理可得；最后根据前两次的规律类推，即可得到n次降低后的量的表达式。
【解析】
1. 计算一次降低后的量：
基础量为$a$，一次降低的数值为$a· x$，因此一次降低后的量为：
$a - a· x = a(1-x)$
2. 计算两次降低后的量：
第二次降低是在一次降低后的量$a(1-x)$的基础上进行的，本次降低的数值为$a(1-x)· x$，因此两次降低后的量为：
$a(1-x) - a(1-x)· x = a(1-x)(1-x) = a(1-x)^2$
3. 推导n次降低后的量：
观察前两次的结果可知，每多降低一次，就多乘一个$(1-x)$，以此类推，$n$次降低后的量为$a(1-x)^n$。
【答案】
$a(1-x)$，$a(1-x)^2$，$a(1-x)^n$
【知识点】
降低率问题，列代数式，规律探究
【点评】
本题是平均变化率类问题的基础题型，核心是理解每次变化的基数是前一次变化后的结果，掌握该规律可以快速解决折旧、降价、衰减等同类型的实际应用问题。
【难度系数】
0.85
典例分享
例 为满足师生阅读需求，某校不断增加图书馆的藏书量，2023年年底的藏书量为5万册，2025年年底的藏书量为7.2万册。
（1）求该校2023年至2025年藏书的年平均增长率；
（2）假设2026年该校藏书的年平均增长率与前两年相同，请你预测到2026年年底，该校的藏书量是多少。
解 （1）设该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为x，
依题意得 $5(1+x)^2=7.2$，
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不合题意，舍去）。
因此，该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为20%。
（2）$7.2×(1+20\%)=8.64$（万册）。
因此，预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
方法感悟 1. 在分析平均变化率问题时，需要注意平均增长率不变这个条件，列出表格进行分析更清晰明了。
2. 传播问题：传染源＋第一轮被传染的＋第二轮被传染的＝两轮传染后感染的总数。
基础训练
例 为满足师生阅读需求，某校不断增加图书馆的藏书量，2023年年底的藏书量为5万册，2025年年底的藏书量为7.2万册。
（1）求该校2023年至2025年藏书的年平均增长率；
（2）假设2026年该校藏书的年平均增长率与前两年相同，请你预测到2026年年底，该校的藏书量是多少。
解 （1）设该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为x，
依题意得 $5(1+x)^2=7.2$，
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不合题意，舍去）。
因此，该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为20%。
（2）$7.2×(1+20\%)=8.64$（万册）。
因此，预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
方法感悟 1. 在分析平均变化率问题时，需要注意平均增长率不变这个条件，列出表格进行分析更清晰明了。
2. 传播问题：传染源＋第一轮被传染的＋第二轮被传染的＝两轮传染后感染的总数。
基础训练
答案
（1）设该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为x，依题意得 $5(1+x)^2=7.2$，解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不合题意，舍去）。因此该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为20%。
（2）$7.2×(1+20\%)=8.64$（万册）。因此预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
（2）$7.2×(1+20\%)=8.64$（万册）。因此预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
解析
【分析】
（1）本题为平均增长率类应用题，首先明确平均增长率的核心数量关系：若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，经过$n$年后的总量为$a(1+x)^n$。本题中2023年藏书量为初始量5万册，到2025年经过2年，总量为7.2万册，据此设未知数列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问已知2025年藏书量和年平均增长率，求2026年藏书量，直接用2025年藏书量乘$(1+年平均增长率)$计算即可。
【解析】
（1）设该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为$x$，
依题意得：$5(1+x)^2=7.2$
整理得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，因为藏书增长率不能为负，不符合题意，舍去。
因此该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为20%。
（2）2026年藏书的年平均增长率与前两年相同，因此2026年年底藏书量为：
$7.2×(1+20\%)=8.64$（万册）
因此预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
【答案】
（1）该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为20%；
（2）预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率的典型基础题，解题核心是掌握平均增长率的计算公式，求解方程后注意结合实际问题检验根的合理性，掌握对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）本题为平均增长率类应用题，首先明确平均增长率的核心数量关系：若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，经过$n$年后的总量为$a(1+x)^n$。本题中2023年藏书量为初始量5万册，到2025年经过2年，总量为7.2万册，据此设未知数列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问已知2025年藏书量和年平均增长率，求2026年藏书量，直接用2025年藏书量乘$(1+年平均增长率)$计算即可。
【解析】
（1）设该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为$x$，
依题意得：$5(1+x)^2=7.2$
整理得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，因为藏书增长率不能为负，不符合题意，舍去。
因此该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为20%。
（2）2026年藏书的年平均增长率与前两年相同，因此2026年年底藏书量为：
$7.2×(1+20\%)=8.64$（万册）
因此预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
【答案】
（1）该校2023年至2025年藏书的年平均增长率为20%；
（2）预测到2026年年底，该校的藏书量是8.64万册。
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率的典型基础题，解题核心是掌握平均增长率的计算公式，求解方程后注意结合实际问题检验根的合理性，掌握对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 进入12月以来，某商场前三周的营业收入持续上涨，12月第1周营业收入为3万元，这三周的营业总收入为13万元.若平均每周的增长率记为$ x $，则可列方程为（
A.$ 3(1+x)=13 $
B.$ 3(1+x)^2=13 $
C.$ 3+3(1+x)^2=13 $
D.$ 3+3(1+x)+3(1+x)^2=13 $
D
）.A.$ 3(1+x)=13 $
B.$ 3(1+x)^2=13 $
C.$ 3+3(1+x)^2=13 $
D.$ 3+3(1+x)+3(1+x)^2=13 $
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确题干求的是三周的营业总收入，而非单独某一周的收入，需要分别计算出每周的营业收入再求和列方程。首先已知第1周营业收入为3万元，每周平均增长率为x，第2周营收是第1周增长x后的结果，第3周营收是第2周再增长x后的结果，最后将三周营收相加等于总营收13万元即可得到对应方程。
【解析】
解：已知12月第1周营业收入为3万元，平均每周增长率为$ x $：
1. 第2周的营业收入为：$ 3(1+x) $万元；
2. 第3周的营业收入为：$ 3(1+x) × (1+x) = 3(1+x)^2 $万元；
3. 三周营业总收入为13万元，因此列方程得：
$ 3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 13 $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题时要注意审题，区分清楚题干要求的是多段时间的总和还是某一段的单独数值，避免误将第三周收入当作总收入选错选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题干求的是三周的营业总收入，而非单独某一周的收入，需要分别计算出每周的营业收入再求和列方程。首先已知第1周营业收入为3万元，每周平均增长率为x，第2周营收是第1周增长x后的结果，第3周营收是第2周再增长x后的结果，最后将三周营收相加等于总营收13万元即可得到对应方程。
【解析】
解：已知12月第1周营业收入为3万元，平均每周增长率为$ x $：
1. 第2周的营业收入为：$ 3(1+x) $万元；
2. 第3周的营业收入为：$ 3(1+x) × (1+x) = 3(1+x)^2 $万元；
3. 三周营业总收入为13万元，因此列方程得：
$ 3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 13 $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题时要注意审题，区分清楚题干要求的是多段时间的总和还是某一段的单独数值，避免误将第三周收入当作总收入选错选项。
【难度系数】
0.8
2. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染了$ x $个人，则根据题意可列方程为(
A.$ 1+x(x+1)=144 $
B.$ x+x(x+1)=144 $
C.$ (1+x)x=144 $
D.$ 1+x+x(1+x)=144 $
D
).A.$ 1+x(x+1)=144 $
B.$ x+x(x+1)=144 $
C.$ (1+x)x=144 $
D.$ 1+x+x(1+x)=144 $
答案
2. D
解析
【分析】
解决本题需要逐步梳理每轮传染后的患病人数：首先明确初始患病人数，再计算第一轮传染后的总患病人数，接着以第一轮后的总患者作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数，最终两轮后的总患病人数为144，据此列方程即可。
【解析】
解：已知初始有1人患流感，每轮平均1人传染x个人。
1. 第一轮传染：初始的1个患者传染x个人，第一轮结束后总患病人数为 $1+x$ 人；
2. 第二轮传染：第一轮结束后的所有患者均为传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为 $x(1+x)$ 人；
3. 两轮传染后总患病人数为初始人数加第一轮新增人数加第二轮新增人数，可得方程：$1+x+x(1+x)=144$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题建模
【点评】
本题是传播问题的典型基础题，解题的核心是理清每轮传染的传染源数量，明确总患病人数的计算逻辑，即可快速列出对应的方程。
【难度系数】
0.8
解决本题需要逐步梳理每轮传染后的患病人数：首先明确初始患病人数，再计算第一轮传染后的总患病人数，接着以第一轮后的总患者作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数，最终两轮后的总患病人数为144，据此列方程即可。
【解析】
解：已知初始有1人患流感，每轮平均1人传染x个人。
1. 第一轮传染：初始的1个患者传染x个人，第一轮结束后总患病人数为 $1+x$ 人；
2. 第二轮传染：第一轮结束后的所有患者均为传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为 $x(1+x)$ 人；
3. 两轮传染后总患病人数为初始人数加第一轮新增人数加第二轮新增人数，可得方程：$1+x+x(1+x)=144$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题建模
【点评】
本题是传播问题的典型基础题，解题的核心是理清每轮传染的传染源数量，明确总患病人数的计算逻辑，即可快速列出对应的方程。
【难度系数】
0.8
3. 某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
B
).A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
答案
3. B
解析
【分析】
遇到这类分支计数问题，我们可以按以下思路思考：第一步设未知量，设每个支干长出的小分支个数为x；第二步分别梳理三类结构的数量：主干只有1个，主干长出的支干数目和每个支干长出的小分支数目相同，即支干共有x个，每个支干长x个小分支，因此小分支总数为x×x=x²个；第三步根据三类结构总数是31的条件列方程，最后解方程并舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x。
由题意可知，主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x²，三者总和为31，列方程得：
$1 + x + x^2 = 31$
整理方程得：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-6$
由于小分支个数不能为负数，因此舍去$x_2=-6$，即$x=5$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程应用问题，解题核心是梳理清楚各层结构的数量关系，求解方程后需结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合题意的答案。
【难度系数】
0.8
遇到这类分支计数问题，我们可以按以下思路思考：第一步设未知量，设每个支干长出的小分支个数为x；第二步分别梳理三类结构的数量：主干只有1个，主干长出的支干数目和每个支干长出的小分支数目相同，即支干共有x个，每个支干长x个小分支，因此小分支总数为x×x=x²个；第三步根据三类结构总数是31的条件列方程，最后解方程并舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x。
由题意可知，主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x²，三者总和为31，列方程得：
$1 + x + x^2 = 31$
整理方程得：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-6$
由于小分支个数不能为负数，因此舍去$x_2=-6$，即$x=5$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程应用问题，解题核心是梳理清楚各层结构的数量关系，求解方程后需结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合题意的答案。
【难度系数】
0.8
