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9. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称为三角形数.如用1,3,6,10,15,21,…数目的石子就可以排成如图25.3-6所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数.所有的三角形数都具有如图25.3-7所示的规律.
图25.3-6
图25.3-7
请解决下列问题：
(1)根据此规律可知第n个三角形数是
(2)请判断78是第几个三角形数？写出解答过程.
(3)若相邻两个三角形数的和是121，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果.
图25.3-6
图25.3-7
请解决下列问题：
(1)根据此规律可知第n个三角形数是
$\dfrac{n(n+1)}{2}$
.(用含n的代数式表示)(2)请判断78是第几个三角形数？写出解答过程.
(3)若相邻两个三角形数的和是121，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果.
答案
1. $\dfrac{n(n+1)}{2}$
2. $\dfrac{n(n+1)}{2}=78$，整理得$n^2 + n - 156=0$，$\therefore n_1=12$，$n_2=-13$（不符合题意，舍去），即78是第12个三角形数
3. 这两个三角形数分别是55和66
2. $\dfrac{n(n+1)}{2}=78$，整理得$n^2 + n - 156=0$，$\therefore n_1=12$，$n_2=-13$（不符合题意，舍去），即78是第12个三角形数
3. 这两个三角形数分别是55和66
解析
【分析】
解决本题的核心是先推导第n个三角形数的通用表达式：①观察已知三角形数序列：第1个为1，第2个为1+2=3，第3个为1+2+3=6，第4个为1+2+3+4=10，可发现第n个三角形数是从1到n的正整数之和，用求和公式即可得到表达式；②第二问将78代入通用表达式，得到关于n的一元二次方程，求解后结合n为正整数的隐含条件舍去负根即可；③第三问设相邻两个三角形数为第n个和第n+1个，根据和为121列方程，化简求解后计算两个数即可。
【解析】
(1) 观察给出的三角形数规律：
第1个三角形数：$1=\frac{1×(1+1)}{2}$
第2个三角形数：$3=\frac{2×(2+1)}{2}$
第3个三角形数：$6=\frac{3×(3+1)}{2}$
第4个三角形数：$10=\frac{4×(4+1)}{2}$
……
以此类推，第n个三角形数为从1到n的正整数之和，即$\frac{n(n+1)}{2}$。
(2) 令第n个三角形数等于78，列方程得：
$\frac{n(n+1)}{2}=78$
去分母整理得：$n^2 + n - 156=0$
因式分解得：$(n-12)(n+13)=0$
解得$n_1=12$，$n_2=-13$
∵n是三角形数的序号，为正整数，
∴$n=-13$不符合题意舍去，即78是第12个三角形数。
(3) 设较小的三角形数为第n个，较大的为第n+1个，根据题意列方程：
$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=121$
提取公因式化简得：$(n+1)^2=121$
解得$n+1=11$（负根舍去），即$n=10$
代入表达式得：第10个三角形数为$\frac{10×11}{2}=55$，第11个三角形数为$\frac{11×12}{2}=66$。
【答案】
(1) $\dfrac{n(n+1)}{2}$
(2) 78是第12个三角形数
(3) 55和66
【知识点】
数字规律探究，一元二次方程应用，代数式化简
【点评】
本题以数学史中的三角形数为背景，考查规律归纳能力和方程思想的应用，解题关键是先推导得到第n个三角形数的通用表达式，求解方程时注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先推导第n个三角形数的通用表达式：①观察已知三角形数序列：第1个为1，第2个为1+2=3，第3个为1+2+3=6，第4个为1+2+3+4=10，可发现第n个三角形数是从1到n的正整数之和，用求和公式即可得到表达式；②第二问将78代入通用表达式，得到关于n的一元二次方程，求解后结合n为正整数的隐含条件舍去负根即可；③第三问设相邻两个三角形数为第n个和第n+1个，根据和为121列方程，化简求解后计算两个数即可。
【解析】
(1) 观察给出的三角形数规律：
第1个三角形数：$1=\frac{1×(1+1)}{2}$
第2个三角形数：$3=\frac{2×(2+1)}{2}$
第3个三角形数：$6=\frac{3×(3+1)}{2}$
第4个三角形数：$10=\frac{4×(4+1)}{2}$
……
以此类推，第n个三角形数为从1到n的正整数之和，即$\frac{n(n+1)}{2}$。
(2) 令第n个三角形数等于78，列方程得：
$\frac{n(n+1)}{2}=78$
去分母整理得：$n^2 + n - 156=0$
因式分解得：$(n-12)(n+13)=0$
解得$n_1=12$，$n_2=-13$
∵n是三角形数的序号，为正整数，
∴$n=-13$不符合题意舍去，即78是第12个三角形数。
(3) 设较小的三角形数为第n个，较大的为第n+1个，根据题意列方程：
$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=121$
提取公因式化简得：$(n+1)^2=121$
解得$n+1=11$（负根舍去），即$n=10$
代入表达式得：第10个三角形数为$\frac{10×11}{2}=55$，第11个三角形数为$\frac{11×12}{2}=66$。
【答案】
(1) $\dfrac{n(n+1)}{2}$
(2) 78是第12个三角形数
(3) 55和66
【知识点】
数字规律探究，一元二次方程应用，代数式化简
【点评】
本题以数学史中的三角形数为背景，考查规律归纳能力和方程思想的应用，解题关键是先推导得到第n个三角形数的通用表达式，求解方程时注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
10. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m²的矩形菜地作为实践基地，如图25.3-8所示.设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程（
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
图25.3-8
C
）.A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
图25.3-8
答案
10. C
解析
【分析】
首先观察图形可知，矩形菜地的两条邻边靠直角围墙，不需要使用篱笆，因此总长5m的篱笆仅用来围矩形剩下的两条相邻边。设其中一条边长为x m，那么另一条相邻边的长度就等于篱笆总长减去x，即(5-x)m。矩形的面积等于相邻两边的乘积，已知面积为6m²，将两边长度代入面积公式即可列出对应的方程。
【解析】
解：由题意得，矩形菜地的两条邻边依托围墙，无需篱笆，因此5m篱笆为矩形另外两条相邻边的长度和。
设矩形的一边长为x m，则其相邻的另一边长为(5-x)m。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知菜地面积为6m²，可得方程：
$x(5-x)=6$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题的核心是结合图形明确篱笆的适用范围，准确得到矩形两条邻边的长度关系，再结合面积公式列方程即可，注意不要误将篱笆长度当成矩形的周长。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，矩形菜地的两条邻边靠直角围墙，不需要使用篱笆，因此总长5m的篱笆仅用来围矩形剩下的两条相邻边。设其中一条边长为x m，那么另一条相邻边的长度就等于篱笆总长减去x，即(5-x)m。矩形的面积等于相邻两边的乘积，已知面积为6m²，将两边长度代入面积公式即可列出对应的方程。
【解析】
解：由题意得，矩形菜地的两条邻边依托围墙，无需篱笆，因此5m篱笆为矩形另外两条相邻边的长度和。
设矩形的一边长为x m，则其相邻的另一边长为(5-x)m。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知菜地面积为6m²，可得方程：
$x(5-x)=6$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题的核心是结合图形明确篱笆的适用范围，准确得到矩形两条邻边的长度关系，再结合面积公式列方程即可，注意不要误将篱笆长度当成矩形的周长。
【难度系数】
0.8
