1. 抛物线的概念:二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象叫作$y=ax^2+bx+c.$

1. 抛物线

【分析】
本题考查抛物线的基础定义，解题时首先明确考点为二次函数图象的相关概念，回忆课本中对二次函数图象的命名规则：二次函数的图象统一称为抛物线，直接对应空缺位置填写即可。
【解析】
根据抛物线的定义：二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象叫做抛物线，因此此处应填“抛物线”。
【答案】
抛物线
【知识点】
抛物线的定义；二次函数的图象
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察对教材基础定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速作答，是典型的基础送分题。
【难度系数】
0.9

2. 抛物线 $ y=ax^2 $ 的有关性质：
(1) 抛物线 $ y=ax^2 $ 的对称轴是 ，顶点是 。
(2) 越大，抛物线的开口越小。
(3) 当 $ a＞0 $ 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点。当 $ x＜0 $ 时，y随x的增大而 ；当 $ x＞0 $ 时，y随x的增大而 。
当 $ a＜0 $ 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点。当 $ x＜0 $ 时，y随x的增大而 ；当 $ x＞0 $ 时，y随x的增大而 。

2.(1) y轴 原点
2.(2) |a|
2.(3) 向上 低 减小 增大 向下 高

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时可结合图像辅助理解：首先，$y=ax^2$的表达式中没有一次项和常数项，因此它的图像关于y轴对称，顶点在原点；其次，a的绝对值决定开口宽窄，绝对值越大开口越小；最后，a的正负决定开口方向，a为正开口向上，有最低点，对称轴左侧y随x增大而减小、右侧增大；a为负开口向下，有最高点，对称轴左侧y随x增大而增大、右侧减小，按以上性质对应填空即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2$，由于不含一次项，其对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，也就是原点。
(2) $|a|$决定抛物线的开口大小，$|a|$越大，抛物线的开口越窄，即开口越小。
(3) 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当$x＜0$（对称轴左侧）时，y随x的增大而减小；当$x＞0$（对称轴右侧）时，y随x的增大而增大。当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；当$x＜0$时，y随x的增大而增大；当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1) y轴；原点
(2) $|a|$
(3) 向上；低；减小；增大；向下；高；增大；减小
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线开口与a的关系；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础概念题，属于核心基础知识点，熟练掌握该性质是学习后续复杂二次函数的前提，建议结合函数图像记忆性质，避免混淆增减性规律。
【难度系数】
0.85

1. 二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的大致图象是（）。

A

【分析】
要判断二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：1. 图象是平滑抛物线；2. $a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；3. 顶点在原点，对称轴为y轴，函数值恒非负。接下来根据这些特征逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
1. 先判断开口方向：二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，直接排除开口向下的选项D；
2. 再判断图象形状：二次函数的图象是平滑抛物线，选项B是两条射线组成的V形，属于绝对值函数的图象，不是二次函数图象，排除B；
3. 最后判断函数值范围：对于$y=\frac{1}{2}x^2$，任意实数$x$对应的$y≥0$，图象全部在x轴及上方，选项C中存在$x＞0$时$y＜0$的部分，不符合函数特征，排除C。
综上只有选项A符合该函数的图象特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数的性质
【点评】
本题是基础的图象识别题，重点考查对二次函数$y=ax^2$的图象形状、开口方向等核心性质的掌握，牢记相关基础性质就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9

2. 已知二次函数$y=(a-2)x^2$的图象开口向上，则$a$的取值范围是().

A.$a＜0$
B.$a=2$
C.$a＞2$
D.$a≠2$

2. C

【分析】
解决本题首先要明确二次函数$y=Ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数$A$的符号决定，$A＞0$时开口向上，$A＜0$时开口向下。本题已知函数是二次函数且图象开口向上，因此只需让二次项系数$(a-2)$大于0，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=Ax^2$，其开口方向与二次项系数$A$的符号有关：
当$A＞0$时，抛物线开口向上；当$A＜0$时，抛物线开口向下。
本题中二次函数$y=(a-2)x^2$的图象开口向上，因此二次项系数满足：
$a-2＞0$
解不等式得：$a＞2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象与系数的关系
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，牢记相关性质即可快速解题，是二次函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.9

3. 若二次函数$y=ax^2$的图象经过点P(2,4)，则该图象必经过点().

A.$(-2,-4)$
B.$(-2,4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$

3. B

【分析】
本题有两种常规解题思路：思路一：先利用已知在函数图象上的点P(2,4)，代入解析式求出参数a的值，得到完整的二次函数解析式，再将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，和选项给出的纵坐标对比，一致的就是图象经过的点；思路二：利用二次函数$y=ax^2$的图象性质，它的对称轴是y轴，因此图象上关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，已知点(2,4)在图象上，它的对称点也必然在图象上，可直接锁定答案。
【解析】
方法一：
1. 求参数a：将点P(2,4)代入$y=ax^2$，得$4=a×2^2$，即$4a=4$，解得$a=1$，因此函数解析式为$y=x^2$。
2. 逐一验证选项：
A选项：$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，该点不在图象上；
B选项：$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$，该点在图象上；
C选项：$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，该点不在图象上；
D选项：$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，该点不在图象上。
方法二：
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，图象上关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，已知点(2,4)在图象上，其关于y轴的对称点为(-2,4)，因此(-2,4)也必在图象上。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数基础题型，既可以用通用的待定系数法求解验证，也可以利用对称性快速得出答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9

4. 已知二次函数 $ y = mx^2 $，当 $ x ≤ 0 $ 时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是().

A.$ m ＜ 0 $
B.$ m ≤ 0 $
C.$ m ＞ 0 $
D.$ m ≥ 0 $

4. C

【分析】
首先明确本题考察二次函数$y=ax^2$的性质，解题思路分两步：第一步，先根据二次函数的定义，确定二次项系数$m≠0$，可初步排除包含$m=0$的选项；第二步，回忆$y=ax^2$的增减性规律：该函数对称轴为y轴（$x=0$），当$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴左侧（$x≤0$）y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大；当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。结合题目给出的“$x≤0$时y随x的增大而减小”的条件，即可判断$m$的正负，得到取值范围。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=mx^2$是二次函数
$\therefore$ 二次项系数$m≠0$
该二次函数的对称轴为直线$x=0$（y轴）：
① 若$m＞0$，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧即$x≤0$时，y随x的增大而减小，符合题意；
② 若$m＜0$，抛物线开口向下，此时在对称轴左侧即$x≤0$时，y随x的增大而增大，不符合题意。
综上，实数$m$的取值范围是$m＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数定义
2. 二次函数增减性
3. 抛物线性质
【点评】
本题属于二次函数基础性质的常规考题，解题的核心是掌握$y=ax^2$的开口方向、增减性与系数$a$的对应关系，同时要注意二次函数二次项系数不为0的隐含条件，避免误选含等号的错误选项。
【难度系数】
0.8