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5. 在同一平面直角坐标系中,作 $ y = 2x^2, y = -2x^2, y = \frac{1}{2}x^2 $ 的图象,它们共同的特点是(
A.都关于y轴对称,抛物线开口向上
B.都关于y轴对称,抛物线开口向下
C.都关于原点对称,抛物线的顶点都是原点
D.都关于y轴对称,抛物线的顶点都是原点
D
).A.都关于y轴对称,抛物线开口向上
B.都关于y轴对称,抛物线开口向下
C.都关于原点对称,抛物线的顶点都是原点
D.都关于y轴对称,抛物线的顶点都是原点
答案
5. D
解析
【分析】
首先明确本题考查的是形如$y=ax^2$的二次函数的图象性质，解题时可按以下步骤思考：第一步，先回忆$y=ax^2$的共性特征：对称性、顶点坐标；第二步，分析三个函数的$a$的正负，判断开口方向是否一致；第三步，结合选项逐一排除错误选项，锁定正确答案。首先，$y=ax^2$类函数都满足将$x$替换为$-x$时函数值不变，因此都关于$y$轴对称，可直接排除提到关于原点对称的C选项；其次，三个函数的$a$有正有负，开口方向有上有下，因此排除声称开口都向上的A、开口都向下的B；最后验证D选项的两个特征：都关于y轴对称、顶点都是原点，均符合三个函数的共性，因此选D。
【解析】
对于形如$y=ax^2$的二次函数，有以下基本性质：
1. 对称性：对任意$x$，都有$a(-x)^2=ax^2$，因此图象关于$y$轴对称；
2. 顶点坐标：当$x=0$时，$y=0$，因此顶点恒为原点$(0,0)$；
3. 开口方向：当$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下。
对题干中的三个函数逐一分析：
$y=2x^2$中$a=2＞0$，开口向上，关于$y$轴对称，顶点为原点；
$y=-2x^2$中$a=-2＜0$，开口向下，关于$y$轴对称，顶点为原点；
$y=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，关于$y$轴对称，顶点为原点。
据此判断选项：
A选项“都开口向上”错误，排除；
B选项“都开口向下”错误，排除；
C选项“都关于原点对称”错误，排除；
D选项描述完全符合三个函数的共同特点，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 抛物线的对称性
3. 抛物线的顶点特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，只要熟练掌握$y=ax^2$类函数的共性，以及参数$a$对开口方向的影响，就能快速排除错误选项得到答案，是对基础知识点掌握情况的检验。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查的是形如$y=ax^2$的二次函数的图象性质，解题时可按以下步骤思考：第一步，先回忆$y=ax^2$的共性特征：对称性、顶点坐标；第二步，分析三个函数的$a$的正负，判断开口方向是否一致；第三步，结合选项逐一排除错误选项，锁定正确答案。首先，$y=ax^2$类函数都满足将$x$替换为$-x$时函数值不变，因此都关于$y$轴对称，可直接排除提到关于原点对称的C选项；其次，三个函数的$a$有正有负，开口方向有上有下，因此排除声称开口都向上的A、开口都向下的B；最后验证D选项的两个特征：都关于y轴对称、顶点都是原点，均符合三个函数的共性，因此选D。
【解析】
对于形如$y=ax^2$的二次函数，有以下基本性质：
1. 对称性：对任意$x$，都有$a(-x)^2=ax^2$，因此图象关于$y$轴对称；
2. 顶点坐标：当$x=0$时，$y=0$，因此顶点恒为原点$(0,0)$；
3. 开口方向：当$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下。
对题干中的三个函数逐一分析：
$y=2x^2$中$a=2＞0$，开口向上，关于$y$轴对称，顶点为原点；
$y=-2x^2$中$a=-2＜0$，开口向下，关于$y$轴对称，顶点为原点；
$y=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，关于$y$轴对称，顶点为原点。
据此判断选项：
A选项“都开口向上”错误，排除；
B选项“都开口向下”错误，排除；
C选项“都关于原点对称”错误，排除；
D选项描述完全符合三个函数的共同特点，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 抛物线的对称性
3. 抛物线的顶点特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，只要熟练掌握$y=ax^2$类函数的共性，以及参数$a$对开口方向的影响，就能快速排除错误选项得到答案，是对基础知识点掌握情况的检验。
【难度系数】
0.8
6. 二次函数$y=\frac{2}{3}x^2$的图象开口向
上
，二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下
，它们的对称轴都是y轴
，顶点都是(0,0)
。答案
6. 上 下 y轴 (0,0)
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路如下：首先明确二次函数开口方向由二次项系数$a$的正负决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；再回忆$y=ax^2$类二次函数的共同特征，直接确定对称轴和顶点即可。
【解析】
1. 分析二次函数$y=\frac{2}{3}x^2$：二次项系数$a=\frac{2}{3}＞0$，因此图象开口向上；
2. 分析二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$：二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此图象开口向下；
3. 两个函数均为$y=ax^2$的形式，这类二次函数的对称轴均为y轴，顶点均为坐标原点$(0,0)$。
【答案】
上 下 y轴 $(0,0)$
【知识点】
1. 二次项系数与开口方向
2. 二次函数对称轴
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对$y=ax^2$型二次函数性质的识记，牢记相关性质就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路如下：首先明确二次函数开口方向由二次项系数$a$的正负决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；再回忆$y=ax^2$类二次函数的共同特征，直接确定对称轴和顶点即可。
【解析】
1. 分析二次函数$y=\frac{2}{3}x^2$：二次项系数$a=\frac{2}{3}＞0$，因此图象开口向上；
2. 分析二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$：二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此图象开口向下；
3. 两个函数均为$y=ax^2$的形式，这类二次函数的对称轴均为y轴，顶点均为坐标原点$(0,0)$。
【答案】
上 下 y轴 $(0,0)$
【知识点】
1. 二次项系数与开口方向
2. 二次函数对称轴
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对$y=ax^2$型二次函数性质的识记，牢记相关性质就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
7. 当$a=$
-1
时，函数$y=ax^2$的图象与函数$y=x^2$的图象开口大小相同、方向相反。答案
7. -1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数$y=ax^2$中二次项系数$a$的作用：①$|a|$决定抛物线的开口大小，两个二次函数的$|a|$相等时，它们的图象开口大小相同；②$a$的符号决定抛物线的开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。题干要求两个函数图象开口大小相同、方向相反，我们可以对照$a$的这两个性质，结合已知函数$y=x^2$的二次项系数为1，推导$a$的取值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 开口大小由$|a|$决定，要与$y=x^2$（二次项系数为1）开口大小相同，则$|a|=|1|=1$；
2. 开口方向相反，说明$a$与1的符号相反，即$a＜0$；
结合以上两个条件，可得$a=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是基础题，重点考查二次项系数对抛物线开口特征的影响，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次函数$y=ax^2$中二次项系数$a$的作用：①$|a|$决定抛物线的开口大小，两个二次函数的$|a|$相等时，它们的图象开口大小相同；②$a$的符号决定抛物线的开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。题干要求两个函数图象开口大小相同、方向相反，我们可以对照$a$的这两个性质，结合已知函数$y=x^2$的二次项系数为1，推导$a$的取值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 开口大小由$|a|$决定，要与$y=x^2$（二次项系数为1）开口大小相同，则$|a|=|1|=1$；
2. 开口方向相反，说明$a$与1的符号相反，即$a＜0$；
结合以上两个条件，可得$a=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是基础题，重点考查二次项系数对抛物线开口特征的影响，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
8.(易错题)已知函数$y=(m+1)x^{m^2+m}$的图象是开口向下的抛物线，则$m=$
-2
。答案
8. -2
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的定义和性质逐步推导：首先，函数图象是抛物线，说明该函数是二次函数，需满足两个基本条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0；其次，抛物线开口向下，说明二次项系数小于0。我们可以先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再结合系数的限制条件筛选出符合要求的m值。
【解析】
∵函数$y=(m+1)x^{m^2+m}$的图象是开口向下的抛物线
∴该函数是二次函数，可依次列出条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2+m=2$
整理得$m^2+m-2=0$，因式分解为$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=1$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$，上述两个解均满足该条件
3. 抛物线开口向下，故二次项系数小于0：$m+1＜0$，解得$m＜-1$
综上，只有$m=-2$同时满足所有条件。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于易错题，解题时容易仅根据二次函数的次数要求求解方程，忽略二次项系数的符号限制以及不为0的要求，导致出现多解的错误，需注意结合所有限定条件逐一验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合二次函数的定义和性质逐步推导：首先，函数图象是抛物线，说明该函数是二次函数，需满足两个基本条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0；其次，抛物线开口向下，说明二次项系数小于0。我们可以先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再结合系数的限制条件筛选出符合要求的m值。
【解析】
∵函数$y=(m+1)x^{m^2+m}$的图象是开口向下的抛物线
∴该函数是二次函数，可依次列出条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2+m=2$
整理得$m^2+m-2=0$，因式分解为$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=1$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$，上述两个解均满足该条件
3. 抛物线开口向下，故二次项系数小于0：$m+1＜0$，解得$m＜-1$
综上，只有$m=-2$同时满足所有条件。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于易错题，解题时容易仅根据二次函数的次数要求求解方程，忽略二次项系数的符号限制以及不为0的要求，导致出现多解的错误，需注意结合所有限定条件逐一验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
9. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y=-2x^2, y=\sqrt{2}x^2, y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象如图26.2-2所示，则 $y=-2x^2$ 的图象是 ，$y=\sqrt{2}x^2$ 的图象是 ，$y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象是 .(填序号)
答案
解：对于二次函数$y=ax^2$，
当$a＜0$时，抛物线开口向下，因此$y=-2x^2$的图象开口向下，对应序号③；
当$a＞0$时，$|a|$越大，抛物线的开口越窄，
因为$\sqrt{2}＞\frac{1}{2}＞0$，所以$y=\sqrt{2}x^2$的开口更窄，对应序号①，$y=\frac{1}{2}x^2$的开口更宽，对应序号②。
答案依次为：③；①；②。
当$a＜0$时，抛物线开口向下，因此$y=-2x^2$的图象开口向下，对应序号③；
当$a＞0$时，$|a|$越大，抛物线的开口越窄，
因为$\sqrt{2}＞\frac{1}{2}＞0$，所以$y=\sqrt{2}x^2$的开口更窄，对应序号①，$y=\frac{1}{2}x^2$的开口更宽，对应序号②。
答案依次为：③；①；②。
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：首先根据$a$的正负判断抛物线的开口方向，先确定开口向下的函数对应的图象；再对于开口向上的两个函数，根据$|a|$越大开口越窄的规律，比较两个正$a$的大小，对应匹配开口宽窄不同的图象即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 开口方向由$a$的符号决定：当$a＜0$时，抛物线开口向下；当$a＞0$时，抛物线开口向上。
三个函数中只有$y=-2x^2$的$a=-2＜0$，开口向下，对应题图中的序号③。
2. 当$a＞0$时，$|a|$越大，抛物线的开口越窄。
剩余两个函数的$a$分别为$\sqrt{2}$和$\frac{1}{2}$，因为$\sqrt{2}＞\frac{1}{2}＞0$，所以$y=\sqrt{2}x^2$的开口更窄，对应序号①；$y=\frac{1}{2}x^2$的开口更宽，对应序号②。
【答案】
③；①；②
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向判断；开口宽窄规律
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查二次函数$y=ax^2$中参数$a$对图象的影响，熟练掌握相关性质即可快速准确解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：首先根据$a$的正负判断抛物线的开口方向，先确定开口向下的函数对应的图象；再对于开口向上的两个函数，根据$|a|$越大开口越窄的规律，比较两个正$a$的大小，对应匹配开口宽窄不同的图象即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 开口方向由$a$的符号决定：当$a＜0$时，抛物线开口向下；当$a＞0$时，抛物线开口向上。
三个函数中只有$y=-2x^2$的$a=-2＜0$，开口向下，对应题图中的序号③。
2. 当$a＞0$时，$|a|$越大，抛物线的开口越窄。
剩余两个函数的$a$分别为$\sqrt{2}$和$\frac{1}{2}$，因为$\sqrt{2}＞\frac{1}{2}＞0$，所以$y=\sqrt{2}x^2$的开口更窄，对应序号①；$y=\frac{1}{2}x^2$的开口更宽，对应序号②。
【答案】
③；①；②
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向判断；开口宽窄规律
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查二次函数$y=ax^2$中参数$a$对图象的影响，熟练掌握相关性质即可快速准确解答。
【难度系数】
0.8
10. 已知$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大.
(1) 求$k$的值.
(2) 求顶点坐标和对称轴.
(3) 如果点$P(m,n)$是此二次函数的图象上一点,当$-2≤ m≤1$时,$n$的取值范围是.
(1) 求$k$的值.
(2) 求顶点坐标和对称轴.
(3) 如果点$P(m,n)$是此二次函数的图象上一点,当$-2≤ m≤1$时,$n$的取值范围是.
答案
1. 根据题意得k+2≠0且k²+k−4=2，解得k₁=−3，k₂=2.
∵当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象开口向下，即k+2＜0，
∴k=−3
2.
∵y=−x²，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为(0,0)
∵当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象开口向下，即k+2＜0，
∴k=−3
2.
∵y=−x²，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为(0,0)
解析
【分析】
(1) 解题时先依据二次函数的定义列两个约束条件：一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，解方程得到k的两个可能值；再结合“x＜0时y随x增大而增大”的增减性，判断抛物线开口向下，即二次项系数小于0，筛选出符合条件的k值。
(2) 将求出的k代入原解析式，得到最简二次函数形式，直接根据y=ax²类二次函数的性质写出顶点坐标和对称轴即可。
(3) 结合抛物线的开口方向、对称轴，分析区间[-2,1]内的函数最值：顶点处取最大值，离对称轴最远的点取最小值，由此得到n的取值范围。
【解析】
(1)
∵$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数
∴$\begin{cases}k+2≠0 \\k^2 +k -4=2 \end{cases}$
整理方程$k^2 +k -4=2$得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k_1=-3$，$k_2=2$
∵当x＜0时，y随x的增大而增大，说明抛物线开口向下，
∴$k+2＜0$，即$k＜-2$
综上，$k=-3$
(2) 将$k=-3$代入解析式得：$y=(-3+2)x^2=-x^2$
对于二次函数$y=-x^2$，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$
(3)
∵抛物线$y=-x^2$开口向下，对称轴为直线$x=0$
∴当$x=0$时，函数取最大值$y=0$
在$-2≤m≤1$范围内，$x=-2$到对称轴的距离为2，$x=1$到对称轴的距离为1，离对称轴越远函数值越小，因此当$x=-2$时取最小值：$y=-(-2)^2=-4$
故n的取值范围是$-4≤n≤0$
【答案】
(1) $k=-3$
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴（或直线$x=0$）
(3) $-4≤n≤0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，核心考查对二次函数定义和增减性的理解，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，结合图象性质分析区间最值更直观。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先依据二次函数的定义列两个约束条件：一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，解方程得到k的两个可能值；再结合“x＜0时y随x增大而增大”的增减性，判断抛物线开口向下，即二次项系数小于0，筛选出符合条件的k值。
(2) 将求出的k代入原解析式，得到最简二次函数形式，直接根据y=ax²类二次函数的性质写出顶点坐标和对称轴即可。
(3) 结合抛物线的开口方向、对称轴，分析区间[-2,1]内的函数最值：顶点处取最大值，离对称轴最远的点取最小值，由此得到n的取值范围。
【解析】
(1)
∵$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数
∴$\begin{cases}k+2≠0 \\k^2 +k -4=2 \end{cases}$
整理方程$k^2 +k -4=2$得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k_1=-3$，$k_2=2$
∵当x＜0时，y随x的增大而增大，说明抛物线开口向下，
∴$k+2＜0$，即$k＜-2$
综上，$k=-3$
(2) 将$k=-3$代入解析式得：$y=(-3+2)x^2=-x^2$
对于二次函数$y=-x^2$，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$
(3)
∵抛物线$y=-x^2$开口向下，对称轴为直线$x=0$
∴当$x=0$时，函数取最大值$y=0$
在$-2≤m≤1$范围内，$x=-2$到对称轴的距离为2，$x=1$到对称轴的距离为1，离对称轴越远函数值越小，因此当$x=-2$时取最小值：$y=-(-2)^2=-4$
故n的取值范围是$-4≤n≤0$
【答案】
(1) $k=-3$
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴（或直线$x=0$）
(3) $-4≤n≤0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，核心考查对二次函数定义和增减性的理解，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，结合图象性质分析区间最值更直观。
【难度系数】
0.7
11. 若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则(
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
).A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
11. A
解析
【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，有两种常用思路：思路1：直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体值，再比较大小即可；思路2：先分析二次函数$y=x^2$的图象性质，它开口向上，对称轴为y轴，在$x≥0$的区间内y随x的增大而增大，只需比较三个点横坐标的大小，即可对应得到纵坐标的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
方法二：利用二次函数增减性判断
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），因此当$x≥0$时，y随x的增大而增大；
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，因此对应的纵坐标满足$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，两种解题方法都比较直观，熟练掌握二次函数的基本性质可以提升解题效率，是对二次函数基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
要比较三个点的纵坐标大小，有两种常用思路：思路1：直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体值，再比较大小即可；思路2：先分析二次函数$y=x^2$的图象性质，它开口向上，对称轴为y轴，在$x≥0$的区间内y随x的增大而增大，只需比较三个点横坐标的大小，即可对应得到纵坐标的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
方法二：利用二次函数增减性判断
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），因此当$x≥0$时，y随x的增大而增大；
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，因此对应的纵坐标满足$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，两种解题方法都比较直观，熟练掌握二次函数的基本性质可以提升解题效率，是对二次函数基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
