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7. 一个二次函数的二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是1，这个二次函数的解析式是
$y=2x^2-5x+1$
。答案
7. $y=2x^2-5x+1$
解析
【分析】
首先回忆二次函数的一般形式：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。本题已经直接给出了三项对应的系数数值，只需将数值对应代入一般式即可得到所求解析式。
【解析】
二次函数的标准一般式为：$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$
根据题意可知：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$
将上述系数代入一般式，可得该二次函数解析式为$y=2x^2-5x+1$
【答案】
$y=2x^2-5x+1$
【知识点】
二次函数的一般形式
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查二次函数一般式和各项系数的对应关系，牢记基本定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先回忆二次函数的一般形式：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。本题已经直接给出了三项对应的系数数值，只需将数值对应代入一般式即可得到所求解析式。
【解析】
二次函数的标准一般式为：$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$
根据题意可知：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$
将上述系数代入一般式，可得该二次函数解析式为$y=2x^2-5x+1$
【答案】
$y=2x^2-5x+1$
【知识点】
二次函数的一般形式
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查二次函数一般式和各项系数的对应关系，牢记基本定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8.（易错题）如果$y=(1-m)x^{m^2+1}$是二次函数，那么$m=$
-1
。答案
8. -1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次函数的判定需满足两个核心条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$y=(1-m)x^{m^2+1}$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$m^2+1=2$
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$1-m≠0$，解得$m≠1$
综上，排除$m=1$，可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题是典型的易错题，很多同学解题时容易忽略二次项系数不为0的限制，仅通过最高次数为2求m的取值，导致出现多解错误。解题时养成求出参数后代入系数验证的习惯，就能规避这类失误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确二次函数的判定需满足两个核心条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$y=(1-m)x^{m^2+1}$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$m^2+1=2$
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$1-m≠0$，解得$m≠1$
综上，排除$m=1$，可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题是典型的易错题，很多同学解题时容易忽略二次项系数不为0的限制，仅通过最高次数为2求m的取值，导致出现多解错误。解题时养成求出参数后代入系数验证的习惯，就能规避这类失误。
【难度系数】
0.6
9. 写出下列各函数解析式,不要求写自变量取值范围.
(1)某环保公司第一个月投放1 000个垃圾桶,写出计划第三个月投放垃圾桶$y$(单位:个)关于投放的月平均增长率$x$的函数解析式;
(2)菱形的两条对角线的和为26 cm,求菱形的面积$S$(单位:$\mathrm{cm}^2$)关于一条对角线长$x$(单位:cm)的函数解析式;
(3)在毕业典礼上每两名同学都握一次手,写出握手总次数$y$(单位:次)关于全班人数$x$(单位:名)的函数解析式.
(1)某环保公司第一个月投放1 000个垃圾桶,写出计划第三个月投放垃圾桶$y$(单位:个)关于投放的月平均增长率$x$的函数解析式;
(2)菱形的两条对角线的和为26 cm,求菱形的面积$S$(单位:$\mathrm{cm}^2$)关于一条对角线长$x$(单位:cm)的函数解析式;
(3)在毕业典礼上每两名同学都握一次手,写出握手总次数$y$(单位:次)关于全班人数$x$(单位:名)的函数解析式.
答案
(1) $y=1 000(1+x)^2$
(2) $S=\frac{(26-x)x}{2}$
(3) $y=\frac{x(x-1)}{2}$
(2) $S=\frac{(26-x)x}{2}$
(3) $y=\frac{x(x-1)}{2}$
解析
【分析】
(1) 平均增长率问题中，后一期的量=前一期的量×(1+增长率)，已知第一个月的投放量，先推导第二个月的投放量，再以第二个月的投放量为基础推导第三个月的投放量，即可得到函数关系；
(2) 菱形面积等于两条对角线乘积的一半，已知两条对角线的和与其中一条对角线的长度，先表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式即可得到解析式；
(3) 握手问题中，每个人要和除自己之外的其余所有人握手，直接按每人握手次数求和会将每一次握手重复计算1次，因此总次数需要除以2，据此推导即可。
【解析】
(1) 第一个月投放1000个垃圾桶，月平均增长率为$x$：
第二个月的投放量为 $1000(1+x)$ 个；
第三个月的投放量为 $1000(1+x)×(1+x)=1000(1+x)^2$ 个，
因此$y = 1000(1+x)^2$。
(2) 一条对角线长为$x$ cm，两条对角线和为26 cm，则另一条对角线长为$(26-x)$ cm，
代入菱形面积公式$S=\frac{1}{2}× 对角线1 × 对角线2$，得：
$S=\frac{1}{2}x(26-x)=\frac{x(26-x)}{2}$。
(3) 全班共$x$名同学，每名同学要和其余$(x-1)$名同学握手，直接计算$x(x-1)$时每一次握手被重复计算2次，
因此实际总握手次数$y=\frac{x(x-1)}{2}$。
【答案】
(1) $y=1\,000(1+x)^2$
(2) $S=\frac{(26-x)x}{2}$
(3) $y=\frac{x(x-1)}{2}$
【知识点】
增长率问题、菱形面积计算、计数模型应用
【点评】
本题考查实际场景下函数解析式的列写，解题核心是准确对应场景的数量关系、熟练运用相关公式与常见模型，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
(1) 平均增长率问题中，后一期的量=前一期的量×(1+增长率)，已知第一个月的投放量，先推导第二个月的投放量，再以第二个月的投放量为基础推导第三个月的投放量，即可得到函数关系；
(2) 菱形面积等于两条对角线乘积的一半，已知两条对角线的和与其中一条对角线的长度，先表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式即可得到解析式；
(3) 握手问题中，每个人要和除自己之外的其余所有人握手，直接按每人握手次数求和会将每一次握手重复计算1次，因此总次数需要除以2，据此推导即可。
【解析】
(1) 第一个月投放1000个垃圾桶，月平均增长率为$x$：
第二个月的投放量为 $1000(1+x)$ 个；
第三个月的投放量为 $1000(1+x)×(1+x)=1000(1+x)^2$ 个，
因此$y = 1000(1+x)^2$。
(2) 一条对角线长为$x$ cm，两条对角线和为26 cm，则另一条对角线长为$(26-x)$ cm，
代入菱形面积公式$S=\frac{1}{2}× 对角线1 × 对角线2$，得：
$S=\frac{1}{2}x(26-x)=\frac{x(26-x)}{2}$。
(3) 全班共$x$名同学，每名同学要和其余$(x-1)$名同学握手，直接计算$x(x-1)$时每一次握手被重复计算2次，
因此实际总握手次数$y=\frac{x(x-1)}{2}$。
【答案】
(1) $y=1\,000(1+x)^2$
(2) $S=\frac{(26-x)x}{2}$
(3) $y=\frac{x(x-1)}{2}$
【知识点】
增长率问题、菱形面积计算、计数模型应用
【点评】
本题考查实际场景下函数解析式的列写，解题核心是准确对应场景的数量关系、熟练运用相关公式与常见模型，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
10. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m + 1) $。
(1) 当 $ m $ 为何值时，此函数是二次函数？
(2) 当 $ m $ 为何值时，此函数是一次函数？
(1) 当 $ m $ 为何值时，此函数是二次函数？
(2) 当 $ m $ 为何值时，此函数是一次函数？
答案
(1) 由二次函数的概念可得$m^2 - m ≠ 0$,即$m(m-1) ≠ 0$,解得$m ≠ 0$且$m ≠ 1$
(2) 由一次函数的概念可得$\begin{cases}m^2 - m=0,\\m ≠ 0,\end{cases}$ 解得$m=1$
(2) 由一次函数的概念可得$\begin{cases}m^2 - m=0,\\m ≠ 0,\end{cases}$ 解得$m=1$
解析
【分析】
解决本题需紧扣一次函数、二次函数的定义逐步推导：
(1) 二次函数的核心特征是最高次数为2，且二次项系数不为0，因此只需令函数中$x^2$的系数不等于0，解对应的不等式即可得到$m$的取值范围；
(2) 一次函数的核心特征是最高次数为1，因此首先要让二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0，联立两个条件求解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得：$m(m-1) ≠ 0$
解得：$m ≠ 0$且$m ≠ 1$
(2) 根据一次函数的定义，需满足二次项系数为0且一次项系数不为0，因此列方程组：
$\begin{cases}m^2 - m=0\\m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m=0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$，结合$m≠0$的限制条件，最终得$m=1$
【答案】
(1) $m ≠ 0$且$m ≠ 1$；(2) $m=1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一次函数的定义
【点评】
本题是函数概念类的基础题型，解题的关键是准确掌握不同类型函数对最高次项系数的限制要求，求解时注意不要遗漏一次项系数不为0的条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
解决本题需紧扣一次函数、二次函数的定义逐步推导：
(1) 二次函数的核心特征是最高次数为2，且二次项系数不为0，因此只需令函数中$x^2$的系数不等于0，解对应的不等式即可得到$m$的取值范围；
(2) 一次函数的核心特征是最高次数为1，因此首先要让二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0，联立两个条件求解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得：$m(m-1) ≠ 0$
解得：$m ≠ 0$且$m ≠ 1$
(2) 根据一次函数的定义，需满足二次项系数为0且一次项系数不为0，因此列方程组：
$\begin{cases}m^2 - m=0\\m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m=0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$，结合$m≠0$的限制条件，最终得$m=1$
【答案】
(1) $m ≠ 0$且$m ≠ 1$；(2) $m=1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一次函数的定义
【点评】
本题是函数概念类的基础题型，解题的关键是准确掌握不同类型函数对最高次项系数的限制要求，求解时注意不要遗漏一次项系数不为0的条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
11. 如图26.1-1,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{mm}$,$BC=24\ \mathrm{mm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度移动(不与点$B$重合),动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度移动(不与点$C$重合).如果$P,Q$两点分别从$A,B$两点同时出发,设运动的时间为$x\ \mathrm{s}$,四边形$APQC$的面积为$y\ \mathrm{mm}^2$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式;
(2)求自变量$x$的取值范围.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式;
(2)求自变量$x$的取值范围.
答案
(1) $y=\frac{1}{2}×12×24-\frac{1}{2}×(12-2x)×4x=4x^2-24x+144$
(2) $0＜x＜6$
(2) $0＜x＜6$
解析
【分析】
(1) 直接计算不规则四边形APQC的面积难度较大，可采用割补法解题：用Rt△ABC的总面积减去Rt△PBQ的面积即可得到四边形的面积。先根据动点的运动速度和时间x，表示出线段PB、BQ的长度，再分别计算两个直角三角形的面积，作差即可推导得到y关于x的函数解析式。
(2) 求自变量x的取值范围时，结合题目中点P不与B重合、点Q不与C重合的限制，分别列出关于x的不等式，同时运动时间x为正数，联立求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 先计算Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 24 = 144\ \mathrm{mm}^2$
当运动时间为$x\ \mathrm{s}$时，点P的移动距离$AP=2x\ \mathrm{mm}$，因此$PB=AB-AP=(12-2x)\ \mathrm{mm}$；点Q的移动距离$BQ=4x\ \mathrm{mm}$。
则Rt△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (12-2x) × 4x = 24x -4x^2\ \mathrm{mm}^2$
四边形APQC的面积$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ}$，代入得：
$y = 144 - (24x -4x^2) = 4x^2 -24x +144$
(2) 由于点P不与点B重合，因此$PB＞0$，即$12-2x＞0$，解得$x＜6$；
点Q不与点C重合，因此$BQ＜24$，即$4x＜24$，解得$x＜6$；
同时运动时间x为正数，即$x＞0$。
综上，自变量x的取值范围是$0＜x＜6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=4x^2-24x+144}$
(2) $\boldsymbol{0＜x＜6}$
【知识点】
动点问题函数建模；直角三角形面积计算；自变量取值范围确定
【点评】
本题是几何动点与函数结合的基础题型，解题核心是利用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，再结合动点的运动限制求出自变量取值范围，重点考查转化思想的应用，解题时需注意自变量符合实际意义。
【难度系数】
0.75
(1) 直接计算不规则四边形APQC的面积难度较大，可采用割补法解题：用Rt△ABC的总面积减去Rt△PBQ的面积即可得到四边形的面积。先根据动点的运动速度和时间x，表示出线段PB、BQ的长度，再分别计算两个直角三角形的面积，作差即可推导得到y关于x的函数解析式。
(2) 求自变量x的取值范围时，结合题目中点P不与B重合、点Q不与C重合的限制，分别列出关于x的不等式，同时运动时间x为正数，联立求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 先计算Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 24 = 144\ \mathrm{mm}^2$
当运动时间为$x\ \mathrm{s}$时，点P的移动距离$AP=2x\ \mathrm{mm}$，因此$PB=AB-AP=(12-2x)\ \mathrm{mm}$；点Q的移动距离$BQ=4x\ \mathrm{mm}$。
则Rt△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (12-2x) × 4x = 24x -4x^2\ \mathrm{mm}^2$
四边形APQC的面积$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ}$，代入得：
$y = 144 - (24x -4x^2) = 4x^2 -24x +144$
(2) 由于点P不与点B重合，因此$PB＞0$，即$12-2x＞0$，解得$x＜6$；
点Q不与点C重合，因此$BQ＜24$，即$4x＜24$，解得$x＜6$；
同时运动时间x为正数，即$x＞0$。
综上，自变量x的取值范围是$0＜x＜6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=4x^2-24x+144}$
(2) $\boldsymbol{0＜x＜6}$
【知识点】
动点问题函数建模；直角三角形面积计算；自变量取值范围确定
【点评】
本题是几何动点与函数结合的基础题型，解题核心是利用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，再结合动点的运动限制求出自变量取值范围，重点考查转化思想的应用，解题时需注意自变量符合实际意义。
【难度系数】
0.75
12. 某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量$y$(单位:万件)关于售价$x$(单位:元/件)的函数解析式为$y=24-x$,第一年除60万元外其他成本为8元/件.求该产品第一年的利润$w$(单位:万元)关于售价$x$的函数解析式.
答案
$w=(x-8)(24-x)-60=-x^2+32x-252$
解析
【分析】
要推导利润w关于售价x的函数解析式，首先明确销售利润的核心计算逻辑：总利润 =（单件售价 - 单件可变成本）× 销售量 - 固定投入。本题中单件售价为x元，单件可变成本为8元，销售量y与x的关系已知为y=24-x，固定投入为60万元，将对应量代入利润公式后化简即可得到目标解析式。
【解析】
根据销售利润的计算公式：
总利润 =（单件售价 - 单件可变成本）× 销售量 - 固定投入
将题中已知条件代入：单件售价x元/件，单件可变成本8元/件，销售量$y=24-x$万件，固定投入60万元，可得：
$w=(x-8)y-60$
把$y=24-x$代入上式：
$w=(x-8)(24-x)-60$
展开并化简：
$\begin{aligned}w&=24x - x^2 - 192 + 8x - 60\\w&=-x^2+32x-252\end{aligned}$
【答案】
$w=-x^2+32x-252$
【知识点】
1.销售利润计算
2.二次函数解析式建立
【点评】
本题是典型的函数实际应用基础题，解题核心是理清成本、售价、销量、利润之间的数量关系，代入后仔细化简即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要推导利润w关于售价x的函数解析式，首先明确销售利润的核心计算逻辑：总利润 =（单件售价 - 单件可变成本）× 销售量 - 固定投入。本题中单件售价为x元，单件可变成本为8元，销售量y与x的关系已知为y=24-x，固定投入为60万元，将对应量代入利润公式后化简即可得到目标解析式。
【解析】
根据销售利润的计算公式：
总利润 =（单件售价 - 单件可变成本）× 销售量 - 固定投入
将题中已知条件代入：单件售价x元/件，单件可变成本8元/件，销售量$y=24-x$万件，固定投入60万元，可得：
$w=(x-8)y-60$
把$y=24-x$代入上式：
$w=(x-8)(24-x)-60$
展开并化简：
$\begin{aligned}w&=24x - x^2 - 192 + 8x - 60\\w&=-x^2+32x-252\end{aligned}$
【答案】
$w=-x^2+32x-252$
【知识点】
1.销售利润计算
2.二次函数解析式建立
【点评】
本题是典型的函数实际应用基础题，解题核心是理清成本、售价、销量、利润之间的数量关系，代入后仔细化简即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
