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定义:三角分别
定理:两角分别
定理:两边
相等
、三边成比例
的两个三角形叫作相似三角形。定理:两角分别
相等
的两个三角形相似。定理:两边
成比例
且夹角
相等的两个三角形相似。答案
定义:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
定理:两角分别相等的两个三角形相似。
定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
定理:两角分别相等的两个三角形相似。
定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
解析
【分析】
本题考查相似三角形的定义与判定定理的基础识记，解题时只需准确回忆教材中对应概念的标准表述，逐一匹配填空即可。要注意两边判定相似的特殊要求：必须是两边成比例且夹角相等，避免遗漏“夹角”的限定条件，不要和全等三角形的判定条件混淆。
【解析】
根据相似三角形的官方定义及判定定理内容依次填写：
1. 相似三角形定义要求：三角分别相等，且三边对应成比例，因此前两空依次填“相等”“成比例”；
2. 第一个相似判定定理：只要两个三角形有两组角分别相等，即可判定相似，因此第三空填“相等”；
3. 第二个相似判定定理：两组边对应成比例的前提下，还需要两组边的夹角相等才能判定相似，因此最后两空依次填“成比例”“夹角”。
【答案】
定义:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
定理:两角分别相等的两个三角形相似。
定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
【知识点】
相似三角形定义；相似三角形判定定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，是后续解决相似三角形证明、计算类问题的核心基础，需要准确牢记各判定条件的细节表述，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形的定义与判定定理的基础识记，解题时只需准确回忆教材中对应概念的标准表述，逐一匹配填空即可。要注意两边判定相似的特殊要求：必须是两边成比例且夹角相等，避免遗漏“夹角”的限定条件，不要和全等三角形的判定条件混淆。
【解析】
根据相似三角形的官方定义及判定定理内容依次填写：
1. 相似三角形定义要求：三角分别相等，且三边对应成比例，因此前两空依次填“相等”“成比例”；
2. 第一个相似判定定理：只要两个三角形有两组角分别相等，即可判定相似，因此第三空填“相等”；
3. 第二个相似判定定理：两组边对应成比例的前提下，还需要两组边的夹角相等才能判定相似，因此最后两空依次填“成比例”“夹角”。
【答案】
定义:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
定理:两角分别相等的两个三角形相似。
定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
【知识点】
相似三角形定义；相似三角形判定定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，是后续解决相似三角形证明、计算类问题的核心基础，需要准确牢记各判定条件的细节表述，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
1. 能判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$的条件是(
A.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$
B.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ A=∠ A'$
C.$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{A'C'}$且$∠ B=∠ C'$
D.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ B=∠ B'$
B
)。A.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$
B.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ A=∠ A'$
C.$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{A'C'}$且$∠ B=∠ C'$
D.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ B=∠ B'$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，核心是运用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理解题。解题思路如下：首先明确该判定定理的两个必备条件：①两组对应边成比例；②相等的角必须是这两组对应边的夹角，两个条件缺一不可。接下来我们逐个验证四个选项是否满足上述要求即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：仅给出两组边对应成比例，缺少两边的夹角相等的条件，无法判定两个三角形相似，故A错误；
B选项：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$说明两组对应边成比例，且相等的∠A和∠A'恰好是AB与AC、A'B'与A'C'的夹角，完全符合两边成比例且夹角相等的相似判定定理，可判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，故B正确；
C选项：给出的比例式中边的对应关系错误，且∠B和∠C'不是两组成比例边的对应夹角，无法判定相似，故C错误；
D选项：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$的两组边的夹角是∠A和∠A'，选项给出的相等角是∠B和∠B'，属于两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形相似，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定定理
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题是相似三角形判定的常规基础题，重点考查对判定定理的细节掌握，容易错选D选项，出错原因多是忽略了相等的角必须是两组成比例对应边的夹角，做题时要特别注意角的位置和边的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，核心是运用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理解题。解题思路如下：首先明确该判定定理的两个必备条件：①两组对应边成比例；②相等的角必须是这两组对应边的夹角，两个条件缺一不可。接下来我们逐个验证四个选项是否满足上述要求即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：仅给出两组边对应成比例，缺少两边的夹角相等的条件，无法判定两个三角形相似，故A错误；
B选项：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$说明两组对应边成比例，且相等的∠A和∠A'恰好是AB与AC、A'B'与A'C'的夹角，完全符合两边成比例且夹角相等的相似判定定理，可判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，故B正确；
C选项：给出的比例式中边的对应关系错误，且∠B和∠C'不是两组成比例边的对应夹角，无法判定相似，故C错误；
D选项：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$的两组边的夹角是∠A和∠A'，选项给出的相等角是∠B和∠B'，属于两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形相似，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定定理
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题是相似三角形判定的常规基础题，重点考查对判定定理的细节掌握，容易错选D选项，出错原因多是忽略了相等的角必须是两组成比例对应边的夹角，做题时要特别注意角的位置和边的对应关系。
【难度系数】
0.7
2.如图,已知△ABC为等腰三角形,则下列四个三角形中与△ABC相似的是(
A
6
6
B 75° C
A
5
75°
5
5
5
5
B
5
30°
5
C
5
5
40°
5
D
C
)。A
6
6
B 75° C
A
5
75°
5
5
5
5
B
5
30°
5
C
5
5
40°
5
D
答案
2.C
解析
【分析】首先确定已知△ABC的各个内角度数：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC=6，故两底角∠B=∠C=75°，根据三角形内角和180°，可算出顶角∠A=180°-2×75°=30°，即△ABC的三个内角为30°、75°、75°。接下来根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一计算四个选项中三角形的内角度数，对比角度是否对应相等即可判断是否相似。
【解析】
第一步：计算△ABC的内角度数
∵△ABC中，AB=AC=6，∠B=75°
∴∠C=∠B=75°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°-75°=30°
即△ABC的三个内角分别为30°，75°，75°。
第二步：逐一分析各选项
选项A：该等腰三角形中，两边长为5的边夹角为75°，则另外两个角的度数均为(180°-75°)÷2=52.5°，三个内角为75°、52.5°、52.5°，与△ABC角度不对应相等，不相似；
选项B：该三角形三边长均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，与△ABC角度不对应相等，不相似；
选项C：该等腰三角形中，两边长为5的边夹角为30°，则另外两个角的度数均为(180°-30°)÷2=75°，三个内角为30°、75°、75°，与△ABC的三个内角对应相等，故两三角形相似；
选项D：该等腰三角形顶角为40°，则两个底角均为(180°-40°)÷2=70°，三个内角为40°、70°、70°，与△ABC角度不对应相等，不相似。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题关键是先求出原三角形的各内角度数，再通过计算各选项三角形的内角，利用两角对应相等的三角形相似来判断，属于基础的相似判定应用题。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：计算△ABC的内角度数
∵△ABC中，AB=AC=6，∠B=75°
∴∠C=∠B=75°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°-75°=30°
即△ABC的三个内角分别为30°，75°，75°。
第二步：逐一分析各选项
选项A：该等腰三角形中，两边长为5的边夹角为75°，则另外两个角的度数均为(180°-75°)÷2=52.5°，三个内角为75°、52.5°、52.5°，与△ABC角度不对应相等，不相似；
选项B：该三角形三边长均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，与△ABC角度不对应相等，不相似；
选项C：该等腰三角形中，两边长为5的边夹角为30°，则另外两个角的度数均为(180°-30°)÷2=75°，三个内角为30°、75°、75°，与△ABC的三个内角对应相等，故两三角形相似；
选项D：该等腰三角形顶角为40°，则两个底角均为(180°-40°)÷2=70°，三个内角为40°、70°、70°，与△ABC角度不对应相等，不相似。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题关键是先求出原三角形的各内角度数，再通过计算各选项三角形的内角，利用两角对应相等的三角形相似来判断，属于基础的相似判定应用题。
【难度系数】0.7
3.如图,线段AC与BD相交于O点,且OA=12,OC=54,OB=18,OD=36,则△ABO与△DCO 
(第3题)
相似
。(填“相似”或“不相似”) (第3题)答案
3.相似
解析
【分析】
要判断△ABO和△DCO是否相似，首先观察图形可得两个三角形有一组对顶角相等，接下来只需要验证夹这组对顶角的两组对应边的比值是否相等，若相等则满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，即可判断两三角形相似。
【解析】
∵线段AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
计算两组对应边的比值：
$\frac{OA}{OD}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OC}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABO∽△DCO。
【答案】
相似
【知识点】
1.对顶角的性质
2.相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是准确找到对应相等的夹角（对顶角），再验证夹边的比例关系，熟练掌握相似三角形的判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断△ABO和△DCO是否相似，首先观察图形可得两个三角形有一组对顶角相等，接下来只需要验证夹这组对顶角的两组对应边的比值是否相等，若相等则满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，即可判断两三角形相似。
【解析】
∵线段AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
计算两组对应边的比值：
$\frac{OA}{OD}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OC}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABO∽△DCO。
【答案】
相似
【知识点】
1.对顶角的性质
2.相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是准确找到对应相等的夹角（对顶角），再验证夹边的比例关系，熟练掌握相似三角形的判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3。求证：△DBA∽△ABC。
（第4题）
（第4题）答案
4. 证明:
∵BC=BD+DC=1+3=4，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又
∵∠B=∠B,
∴△DBA∽△ABC。
∵BC=BD+DC=1+3=4，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又
∵∠B=∠B,
∴△DBA∽△ABC。
解析
【分析】
要证明△DBA∽△ABC，首先观察到两个三角形存在公共角∠B，可优先选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。第一步先计算BC的总长度，第二步计算夹∠B的两组对应边的比值，验证比值相等后，结合公共角相等即可推出两三角形相似。
【解析】
证明：
∵BC = BD + DC = 1 + 3 = 4，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又
∵∠B是两个三角形的公共角，即∠B=∠B，
∴△DBA∽△ABC。
【答案】
证明:
∵BC=BD+DC=1+3=4，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又
∵∠B=∠B,
∴△DBA∽△ABC。
【知识点】
相似三角形判定，线段和差计算
【点评】
本题是三角形相似判定的基础应用题，解题核心是先找到两个三角形的公共角，再通过计算验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要证明△DBA∽△ABC，首先观察到两个三角形存在公共角∠B，可优先选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。第一步先计算BC的总长度，第二步计算夹∠B的两组对应边的比值，验证比值相等后，结合公共角相等即可推出两三角形相似。
【解析】
证明：
∵BC = BD + DC = 1 + 3 = 4，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又
∵∠B是两个三角形的公共角，即∠B=∠B，
∴△DBA∽△ABC。
【答案】
证明:
∵BC=BD+DC=1+3=4，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又
∵∠B=∠B,
∴△DBA∽△ABC。
【知识点】
相似三角形判定，线段和差计算
【点评】
本题是三角形相似判定的基础应用题，解题核心是先找到两个三角形的公共角，再通过计算验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=6$，E是AD的中点，在AB上取一点F，使$△ CBF ∽ △ CDE$，则BF的长是（
A.8.2
B.6.4
C.5
D.1.8
D
）。A.8.2
B.6.4
C.5
D.1.8
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，求出CD、BC的长度，再结合中点的定义求出DE的长度；接着根据相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边列出比例式，最后代入数值计算即可得到BF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，AD=6，
∴$DE = \frac{1}{2}AD = 3$，
∵$△ CBF ∽ △ CDE$，
∴$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入得：
$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，
解得$BF=\frac{6×3}{10}=1.8$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；比例的计算
【点评】
本题是基础类题目，重点考查平行四边形性质与相似三角形性质的结合应用，解题的核心是准确识别相似三角形的对应边，列出正确的比例式求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，求出CD、BC的长度，再结合中点的定义求出DE的长度；接着根据相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边列出比例式，最后代入数值计算即可得到BF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，AD=6，
∴$DE = \frac{1}{2}AD = 3$，
∵$△ CBF ∽ △ CDE$，
∴$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入得：
$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，
解得$BF=\frac{6×3}{10}=1.8$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；比例的计算
【点评】
本题是基础类题目，重点考查平行四边形性质与相似三角形性质的结合应用，解题的核心是准确识别相似三角形的对应边，列出正确的比例式求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$∠ AOD = 90°$, $OA = OB = BC = CD$,以下结论成立的是(
A.$△ OAB ∽ △ OCA$
B.$△ OAB ∽ △ ODA$
C.$△ BAC ∽ △ BDA$
D.以上结论都不对
C
)。A.$△ OAB ∽ △ OCA$
B.$△ OAB ∽ △ ODA$
C.$△ BAC ∽ △ BDA$
D.以上结论都不对
答案
6.C
解析
【分析】
已知多个线段相等且存在直角，我们可以通过设单位长度的参数，用勾股定理求出各三角形的边长，再结合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一验证选项即可得出正确结论。
【解析】
设$OA=OB=BC=CD=a$，在$Rt△ AOD$中，$∠ O=90°$，根据勾股定理计算各线段长度：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{a^2+(3a)^2}=\sqrt{10}a$，
$BD=BC+CD=2a$。
逐一判断选项：
选项A：$△ OAB$与$△ OCA$中，$\frac{OA}{OC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{a}{a}=1$，对应边比值不相等，两三角形不相似，A错误；
选项B：$△ OAB$与$△ ODA$中，$\frac{OA}{OD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{a}{a}=1$，对应边比值不相等，两三角形不相似，B错误；
选项C：在$△ BAC$和$△ BDA$中，$\frac{BA}{BD}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{BA}{BD}=\frac{BC}{BA}$，又$∠ ABC=∠ DBA$（公共角），根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ BAC ∽ △ BDA$，C正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题通过设参数将抽象的线段相等关系转化为具体的边长比值，结合相似三角形判定定理即可快速解题，设单位长度的方法在解决线段成比例类问题时十分常用。
【难度系数】
0.7
已知多个线段相等且存在直角，我们可以通过设单位长度的参数，用勾股定理求出各三角形的边长，再结合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一验证选项即可得出正确结论。
【解析】
设$OA=OB=BC=CD=a$，在$Rt△ AOD$中，$∠ O=90°$，根据勾股定理计算各线段长度：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{a^2+(3a)^2}=\sqrt{10}a$，
$BD=BC+CD=2a$。
逐一判断选项：
选项A：$△ OAB$与$△ OCA$中，$\frac{OA}{OC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{a}{a}=1$，对应边比值不相等，两三角形不相似，A错误；
选项B：$△ OAB$与$△ ODA$中，$\frac{OA}{OD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{a}{a}=1$，对应边比值不相等，两三角形不相似，B错误；
选项C：在$△ BAC$和$△ BDA$中，$\frac{BA}{BD}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{BA}{BD}=\frac{BC}{BA}$，又$∠ ABC=∠ DBA$（公共角），根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ BAC ∽ △ BDA$，C正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题通过设参数将抽象的线段相等关系转化为具体的边长比值，结合相似三角形判定定理即可快速解题，设单位长度的方法在解决线段成比例类问题时十分常用。
【难度系数】
0.7
