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1. 下列函数解析式中,一定为二次函数的是 ()
A.$y=3x-1$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$s=2t^2-2t+1$
D.$y=x^2+\dfrac{1}{x}$
A.$y=3x-1$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$s=2t^2-2t+1$
D.$y=x^2+\dfrac{1}{x}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数的判定条件：①函数表达式的右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来带着这三个条件逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=3x-1$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=ax^2+bx+c$中没有说明$a\ne0$，若$a=0$，则函数变为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数，排除；
选项C：$s=2t^2-2t+1$中，自变量$t$的最高次数是2，二次项系数$2\ne0$，且表达式右边是整式，完全符合二次函数的定义，符合要求；
选项D：$y=x^2+\dfrac{1}{x}$中$\dfrac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合二次函数表达式为整式的要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的三个判定要点，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0、表达式为整式这两个容易出错的点。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数的判定条件：①函数表达式的右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来带着这三个条件逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=3x-1$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=ax^2+bx+c$中没有说明$a\ne0$，若$a=0$，则函数变为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数，排除；
选项C：$s=2t^2-2t+1$中，自变量$t$的最高次数是2，二次项系数$2\ne0$，且表达式右边是整式，完全符合二次函数的定义，符合要求；
选项D：$y=x^2+\dfrac{1}{x}$中$\dfrac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合二次函数表达式为整式的要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的三个判定要点，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0、表达式为整式这两个容易出错的点。
【难度系数】
0.8
2. 已知$y=(m-2)x^{|m|}-3x-4$是二次函数，则（）
A.$m≠±2$
B.$m=-2$
C.$m=2$
D.$m=±2$
A.$m≠±2$
B.$m=-2$
C.$m=2$
D.$m=±2$
答案
B
解析
【分析】
要判断m的取值，需依据二次函数的定义求解：二次函数需满足两个核心条件，一是最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0，我们只需根据这两个条件列等式和不等式，联立求解即可得到m的值。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的函数为二次函数，可得：
1. 最高次项的次数为2：$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$；
联立两个条件，可得$m=-2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，解题时容易遗漏“二次项系数不为0”的隐含条件，直接由次数为2错选$m=\pm2$，学习相关概念时要注意梳理隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
要判断m的取值，需依据二次函数的定义求解：二次函数需满足两个核心条件，一是最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0，我们只需根据这两个条件列等式和不等式，联立求解即可得到m的值。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的函数为二次函数，可得：
1. 最高次项的次数为2：$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$；
联立两个条件，可得$m=-2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，解题时容易遗漏“二次项系数不为0”的隐含条件，直接由次数为2错选$m=\pm2$，学习相关概念时要注意梳理隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
3. 二次函数$y=-(2x-1)^2+1$的二次项系数为，一次项系数为，常数项为。
答案
解：将二次函数解析式整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=-(2x-1)^2+1\\&=-(4x^2-4x+1)+1\\&=-4x^2+4x-1+1\\&=-4x^2+4x\end{aligned}$
因此二次项系数为$\boldsymbol{-4}$，一次项系数为$\boldsymbol{4}$，常数项为$\boldsymbol{0}$。
$\begin{aligned}y&=-(2x-1)^2+1\\&=-(4x^2-4x+1)+1\\&=-4x^2+4x-1+1\\&=-4x^2+4x\end{aligned}$
因此二次项系数为$\boldsymbol{-4}$，一次项系数为$\boldsymbol{4}$，常数项为$\boldsymbol{0}$。
解析
【分析】
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将给定的解析式转化为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先利用完全平方公式展开平方项，再去括号、合并同类项得到一般式，最后对应提取各项系数即可，运算过程中要注意符号不要出错。
【解析】
将二次函数解析式整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=-(2x-1)^2+1\\&=-(4x^2-4x+1)+1\\&=-4x^2+4x-1+1\\&=-4x^2+4x\end{aligned}$
对照二次函数一般式，可得二次项系数为$-4$，一次项系数为$4$，常数项为$0$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数的一般形式；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数各项系数的识别，解题关键是熟练掌握二次函数一般式的结构，展开运算时要注意负号的分配，避免出现符号错误，同时注意常数项合并后为0时不要漏填。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将给定的解析式转化为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先利用完全平方公式展开平方项，再去括号、合并同类项得到一般式，最后对应提取各项系数即可，运算过程中要注意符号不要出错。
【解析】
将二次函数解析式整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=-(2x-1)^2+1\\&=-(4x^2-4x+1)+1\\&=-4x^2+4x-1+1\\&=-4x^2+4x\end{aligned}$
对照二次函数一般式，可得二次项系数为$-4$，一次项系数为$4$，常数项为$0$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{0}$
【知识点】
二次函数的一般形式；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数各项系数的识别，解题关键是熟练掌握二次函数一般式的结构，展开运算时要注意负号的分配，避免出现符号错误，同时注意常数项合并后为0时不要漏填。
【难度系数】
0.8
4. 若函数$y=(k-2)x^{k^2 -k}$是关于x的二次函数，则一次函数$y=kx-1$的图象不经过第象限。
答案
一
解析
【分析】
要解决这道题，首先需根据二次函数的定义求出k的取值：二次函数需同时满足两个条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不为0，据此列方程和不等式即可求出符合条件的k值。再将k代入一次函数解析式，根据一次函数中k（斜率）和b（截距）的正负判断图象经过的象限，就能得出不经过的象限。
【解析】
∵函数$y=(k-2)x^{k^2 -k}$是关于x的二次函数
∴需满足条件：$\begin{cases}k^2 -k = 2 \\ k-2 ≠ 0 \end{cases}$
解方程$k^2 -k -2 = 0$，因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k=2$或$k=-1$
由$k-2 ≠ 0$得$k ≠ 2$，因此$k=-1$
将$k=-1$代入一次函数$y=kx-1$，得解析式为$y=-x-1$
在$y=-x-1$中，$k=-1＜0$，图象从左到右呈下降趋势；$b=-1＜0$，图象与y轴交于负半轴
∴该一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的概念；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数定义的理解，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，结合一次函数的图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需根据二次函数的定义求出k的取值：二次函数需同时满足两个条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不为0，据此列方程和不等式即可求出符合条件的k值。再将k代入一次函数解析式，根据一次函数中k（斜率）和b（截距）的正负判断图象经过的象限，就能得出不经过的象限。
【解析】
∵函数$y=(k-2)x^{k^2 -k}$是关于x的二次函数
∴需满足条件：$\begin{cases}k^2 -k = 2 \\ k-2 ≠ 0 \end{cases}$
解方程$k^2 -k -2 = 0$，因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k=2$或$k=-1$
由$k-2 ≠ 0$得$k ≠ 2$，因此$k=-1$
将$k=-1$代入一次函数$y=kx-1$，得解析式为$y=-x-1$
在$y=-x-1$中，$k=-1＜0$，图象从左到右呈下降趋势；$b=-1＜0$，图象与y轴交于负半轴
∴该一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的概念；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数定义的理解，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，结合一次函数的图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 关于x的函数$y=(a^2 - 2a +7)x^2 +4ax +1$（a为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数。”乙说：“此函数一定是二次函数。”请问谁的说法正确？为什么？
答案
解：乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数变形可得：
$a^2 - 2a +7 = a^2 -2a +1 +6 = (a-1)^2 +6$
∵ 无论a取何实数，都有$(a-1)^2 ≥ 0$，
∴ $(a-1)^2 +6 ≥ 6 ＞ 0$，即二次项系数$a^2-2a+7$恒不为0。
根据二次函数的定义，该函数一定是二次函数，因此乙的说法正确。
对二次项系数变形可得：
$a^2 - 2a +7 = a^2 -2a +1 +6 = (a-1)^2 +6$
∵ 无论a取何实数，都有$(a-1)^2 ≥ 0$，
∴ $(a-1)^2 +6 ≥ 6 ＞ 0$，即二次项系数$a^2-2a+7$恒不为0。
根据二次函数的定义，该函数一定是二次函数，因此乙的说法正确。
解析
【分析】
要判断甲、乙谁的说法正确，核心是验证函数是否符合二次函数的定义。二次函数要求最高次为二次且二次项系数不为0，因此本题解题关键是判断二次项系数$a^2 - 2a +7$是否可能等于0。我们可以通过配方法对该系数变形，再结合偶次方的非负性判断其取值范围，即可推导得出结论。
【解析】
解：乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数配方变形可得：
$a^2 - 2a +7 = a^2 -2a +1 +6 = (a-1)^2 +6$
∵ 无论a取何实数，偶次方具有非负性，都有$(a-1)^2 ≥ 0$，
∴ $(a-1)^2 +6 ≥ 6 ＞ 0$，即二次项系数$a^2-2a+7$恒不为0。
根据二次函数的定义，该函数一定是二次函数，因此乙的说法正确。
【答案】
乙的说法正确，理由：二次项系数$a^2 - 2a +7 = (a-1)^2 +6 ≥6＞0$恒不为0，符合二次函数的定义，因此该函数一定是二次函数。
【知识点】
1.二次函数的定义 2.配方法 3.偶次方的非负性
【点评】
本题是二次函数概念的典型基础题，解题核心是抓住二次函数二次项系数不为0的判定条件，通过配方法就能快速判断含参数的系数的取值范围，可有效避免因误认为含参数的系数一定可能为0而出现误判。
【难度系数】
0.7
要判断甲、乙谁的说法正确，核心是验证函数是否符合二次函数的定义。二次函数要求最高次为二次且二次项系数不为0，因此本题解题关键是判断二次项系数$a^2 - 2a +7$是否可能等于0。我们可以通过配方法对该系数变形，再结合偶次方的非负性判断其取值范围，即可推导得出结论。
【解析】
解：乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数配方变形可得：
$a^2 - 2a +7 = a^2 -2a +1 +6 = (a-1)^2 +6$
∵ 无论a取何实数，偶次方具有非负性，都有$(a-1)^2 ≥ 0$，
∴ $(a-1)^2 +6 ≥ 6 ＞ 0$，即二次项系数$a^2-2a+7$恒不为0。
根据二次函数的定义，该函数一定是二次函数，因此乙的说法正确。
【答案】
乙的说法正确，理由：二次项系数$a^2 - 2a +7 = (a-1)^2 +6 ≥6＞0$恒不为0，符合二次函数的定义，因此该函数一定是二次函数。
【知识点】
1.二次函数的定义 2.配方法 3.偶次方的非负性
【点评】
本题是二次函数概念的典型基础题，解题核心是抓住二次函数二次项系数不为0的判定条件，通过配方法就能快速判断含参数的系数的取值范围，可有效避免因误认为含参数的系数一定可能为0而出现误判。
【难度系数】
0.7
6. 已知函数$y=(m^2+m)x^{m^2-2m-1}+(m-3)x+m^2-11$是关于$x$的二次函数.
(1)求$m$的值；
(2)写出函数的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)求$m$的值；
(2)写出函数的二次项系数、一次项系数及常数项.
答案
解：
(1) 由二次函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2m - 1 = 2$，整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
解不等式$m^2 + m ≠ 0$，即$m(m+1)≠0$，得$m≠0$且$m≠-1$。
舍去$m=-1$，得$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数，得$y=12x^2 - 2$，
因此该函数的二次项系数为12，一次项系数为0，常数项为-2。
(1) 由二次函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - 2m - 1 = 2$，整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
解不等式$m^2 + m ≠ 0$，即$m(m+1)≠0$，得$m≠0$且$m≠-1$。
舍去$m=-1$，得$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数，得$y=12x^2 - 2$，
因此该函数的二次项系数为12，一次项系数为0，常数项为-2。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数的两个核心判定条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不能为0（否则不存在二次项，不符合二次函数要求）。第(1)问可根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解后排除不符合要求的m值即可；第(2)问将求得的m代入原函数，整理为二次函数的标准形式，就能对应找到各项系数，注意若函数没有一次项，一次项系数为0。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可得联立条件：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
先解方程$m^2 - 2m - 1 = 2$，移项整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
再解不等式$m^2 + m ≠ 0$，提取公因式得$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$。
结合方程的解，舍去不符合不等式的$m=-1$，最终得$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数：
$y=(3^2+3)x^{3^2-2×3-1}+(3-3)x+3^2-11=12x^2+0x-2$，即$y=12x^2-2$，
因此该函数的二次项系数为12，一次项系数为0，常数项为-2。
【答案】
(1) $m=3$；
(2) 二次项系数为12，一次项系数为0，常数项为-2。
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，易错点有两处：一是求解m时容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留m=-1这个解；二是代入m后若函数没有一次项，容易漏写一次项系数为0，熟练掌握二次函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二次函数的两个核心判定条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不能为0（否则不存在二次项，不符合二次函数要求）。第(1)问可根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解后排除不符合要求的m值即可；第(2)问将求得的m代入原函数，整理为二次函数的标准形式，就能对应找到各项系数，注意若函数没有一次项，一次项系数为0。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可得联立条件：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
先解方程$m^2 - 2m - 1 = 2$，移项整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
再解不等式$m^2 + m ≠ 0$，提取公因式得$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$。
结合方程的解，舍去不符合不等式的$m=-1$，最终得$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数：
$y=(3^2+3)x^{3^2-2×3-1}+(3-3)x+3^2-11=12x^2+0x-2$，即$y=12x^2-2$，
因此该函数的二次项系数为12，一次项系数为0，常数项为-2。
【答案】
(1) $m=3$；
(2) 二次项系数为12，一次项系数为0，常数项为-2。
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，易错点有两处：一是求解m时容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留m=-1这个解；二是代入m后若函数没有一次项，容易漏写一次项系数为0，熟练掌握二次函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
