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6. 现有六张分别标有数1,3,4,5,7,8的卡片,其中标有数1,4,7的卡片在甲手中,标有数3,5,8的卡片在乙手中。两人各随机出一张卡片,则甲出的卡片上的数比乙的大的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
6. $\frac{1}{3}$。提示:甲可能出的数为1,4,7,乙可能出的数为3,5,8。所有等可能的结果共有3×3=9(种),其中甲出的数大于乙出的数的结果有:甲4乙3,甲7乙3,甲7乙5,共3种,因此概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题属于简单随机事件概率求解问题，解题思路如下：首先确定该事件为古典概型，所有出现的结果是等可能的；第一步先计算甲乙各出一张卡片的总等可能结果数，第二步通过枚举法逐一找出甲出的数大于乙出的数的所有结果数，最后根据古典概型的概率公式（概率等于符合条件的结果数除以总等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
解：已知甲有3张卡片，乙有3张卡片，两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果总数为：$3 × 3 = 9$（种）。
接下来枚举甲出的卡片上的数比乙大的情况：
1. 甲出4，乙出3，满足条件；
2. 甲出7，乙出3，满足条件；
3. 甲出7，乙出5，满足条件。
综上，符合条件的结果共有3种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 简单随机事件概率计算
2. 枚举法计数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是准确枚举符合要求的事件数，枚举时要注意做到不重复、不遗漏，再结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
本题属于简单随机事件概率求解问题，解题思路如下：首先确定该事件为古典概型，所有出现的结果是等可能的；第一步先计算甲乙各出一张卡片的总等可能结果数，第二步通过枚举法逐一找出甲出的数大于乙出的数的所有结果数，最后根据古典概型的概率公式（概率等于符合条件的结果数除以总等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
解：已知甲有3张卡片，乙有3张卡片，两人各随机出一张卡片，所有等可能的结果总数为：$3 × 3 = 9$（种）。
接下来枚举甲出的卡片上的数比乙大的情况：
1. 甲出4，乙出3，满足条件；
2. 甲出7，乙出3，满足条件；
3. 甲出7，乙出5，满足条件。
综上，符合条件的结果共有3种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 简单随机事件概率计算
2. 枚举法计数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是准确枚举符合要求的事件数，枚举时要注意做到不重复、不遗漏，再结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
7. 规定：“上升数”是一个右边数位上的数比左边数位上的数大的自然数（如23，567，3467等）。一个不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3。从袋中随机摸出1个小球（不放回），所标数字作为十位数；再随机摸出1个小球，所标数字作为个位数，则组成的两位数是“上升数”的概率为（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）。A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
7. C。提示:画树状图如图
。共有6种等可能的结果数,其中组成的两位数是“上升数”的结果数为3,所以组成的两位数是“上升数”的概率=$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
首先明确“上升数”的定义，本题中即组成的两位数的个位数字大于十位数字；其次本次试验是不放回摸球，两次摸出的数字分别作为十位、个位，所有结果均为等可能结果，可通过枚举或树状图法找出所有等可能的总结果数；再从总结果中筛选出符合“上升数”定义的结果数；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
我们通过枚举法列出所有可能组成的两位数：
第一次摸球作为十位，有1、2、3三种可能，不放回摸第二次作为个位：
1. 当十位为1时，个位可能为2或3，组成12、13两个数；
2. 当十位为2时，个位可能为1或3，组成21、23两个数；
3. 当十位为3时，个位可能为1或2，组成31、32两个数。
综上，共有6种等可能的结果。
根据“上升数”的定义，筛选出个位大于十位的数：12、13、23，共3种。
根据概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
提示：也可通过画树状图分析所有结果，树状图如图。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，列举法求概率，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查概率的基础计算，解题的核心是准确理解新定义，正确枚举出不放回试验的所有结果，避免漏数、错数，熟练掌握概率公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先明确“上升数”的定义，本题中即组成的两位数的个位数字大于十位数字；其次本次试验是不放回摸球，两次摸出的数字分别作为十位、个位，所有结果均为等可能结果，可通过枚举或树状图法找出所有等可能的总结果数；再从总结果中筛选出符合“上升数”定义的结果数；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
我们通过枚举法列出所有可能组成的两位数：
第一次摸球作为十位，有1、2、3三种可能，不放回摸第二次作为个位：
1. 当十位为1时，个位可能为2或3，组成12、13两个数；
2. 当十位为2时，个位可能为1或3，组成21、23两个数；
3. 当十位为3时，个位可能为1或2，组成31、32两个数。
综上，共有6种等可能的结果。
根据“上升数”的定义，筛选出个位大于十位的数：12、13、23，共3种。
根据概率计算公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
提示：也可通过画树状图分析所有结果，树状图如图
。【答案】
C
【知识点】
概率计算，列举法求概率，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查概率的基础计算，解题的核心是准确理解新定义，正确枚举出不放回试验的所有结果，避免漏数、错数，熟练掌握概率公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
8. 如图，两个可自由转动的转盘A，B分别被分成4等份、3等份，每份内标有数字。小王和小刘用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A，B；
②两个转盘停止转动后，将指针所指区域的数相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）；
③如果和为0，那么小王获胜；否则，小刘获胜。
（1）用列表法（或画树状图）求小王获胜的概率。
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
（第8题）
①分别转动转盘A，B；
②两个转盘停止转动后，将指针所指区域的数相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）；
③如果和为0，那么小王获胜；否则，小刘获胜。
（1）用列表法（或画树状图）求小王获胜的概率。
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
（第8题）答案
8. (1) $\frac{1}{4}$。列表和树状图略。
(2) 不公平。双方获胜的概率不相等。
(2) 不公平。双方获胜的概率不相等。
解析
【分析】
（1）求小王获胜的概率，首先要列出两个转盘指针所指数字组合的所有等可能结果，再筛选出两数之和为0的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可，用列表法可以清晰直观地列举所有组合，避免出现重复或遗漏。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，算出小王获胜的概率后，用1减去小王获胜的概率就能得到小刘获胜的概率，对比两个概率大小即可判断公平性。
【解析】
（1）列表列举所有等可能的结果如下：
| 转盘A\转盘B | 0 | -1 | -2 |
|------------|----|----|----|
| 0 | 0 | -1 | -2 |
| 1 | 1 | 0 | -1 |
| 2 | 2 | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 2 | 1 |
由表可知，总共有$4×3=12$种等可能的结果，其中和为0的结果有3种，
因此小王获胜的概率$P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）这个游戏对双方不公平，理由如下：
小王获胜的概率为$\frac{1}{4}$，则小刘获胜的概率为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
因为$\frac{1}{4}≠\frac{3}{4}$，双方获胜的概率不相等，所以游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 不公平，双方获胜的概率不相等。
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题是概率应用的典型基础题，结合转盘游戏考查概率的计算和游戏公平性的判断，解题关键是掌握用列表法或树状图法列举所有等可能结果，理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等。
【难度系数】
0.7
（1）求小王获胜的概率，首先要列出两个转盘指针所指数字组合的所有等可能结果，再筛选出两数之和为0的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可，用列表法可以清晰直观地列举所有组合，避免出现重复或遗漏。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，算出小王获胜的概率后，用1减去小王获胜的概率就能得到小刘获胜的概率，对比两个概率大小即可判断公平性。
【解析】
（1）列表列举所有等可能的结果如下：
| 转盘A\转盘B | 0 | -1 | -2 |
|------------|----|----|----|
| 0 | 0 | -1 | -2 |
| 1 | 1 | 0 | -1 |
| 2 | 2 | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 2 | 1 |
由表可知，总共有$4×3=12$种等可能的结果，其中和为0的结果有3种，
因此小王获胜的概率$P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）这个游戏对双方不公平，理由如下：
小王获胜的概率为$\frac{1}{4}$，则小刘获胜的概率为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
因为$\frac{1}{4}≠\frac{3}{4}$，双方获胜的概率不相等，所以游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 不公平，双方获胜的概率不相等。
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题是概率应用的典型基础题，结合转盘游戏考查概率的计算和游戏公平性的判断，解题关键是掌握用列表法或树状图法列举所有等可能结果，理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等。
【难度系数】
0.7
