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1. 元旦游园晚会上有一个闯关活动:将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中,其中8个白色,5个黄色,5个绿色,2个红色。任意摸出一个球,如果是红色就可以过关,那么一次过关的概率为(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{10}$
D
)。A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{10}$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道简单随机事件的概率计算问题，解题前首先判断摸球属于等可能试验，因为袋中球大小、质量完全相同，任意摸一个球时每个球被摸到的可能性相等，符合概率公式的使用条件。解题核心是找到两个关键数据：一是摸球的所有等可能结果总数，也就是袋中球的总个数；二是符合“过关”条件的结果数，也就是袋中红色球的个数，再将两个数据代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知袋中共有20个大小、质量完全相同的球，因此任意摸出一个球，共有20种等可能的结果。
其中红色球有2个，即摸出红球（过关）的等可能结果有2种。
根据简单随机事件的概率公式：$ P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}} $
可得一次过关的概率为：$ P=\frac{2}{20}=\frac{1}{10} $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
简单事件概率计算；概率公式
【点评】
本题属于基础类概率计算题，重点考查对概率公式的理解与应用，只要准确找出总情况数和符合条件的情况数，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这是一道简单随机事件的概率计算问题，解题前首先判断摸球属于等可能试验，因为袋中球大小、质量完全相同，任意摸一个球时每个球被摸到的可能性相等，符合概率公式的使用条件。解题核心是找到两个关键数据：一是摸球的所有等可能结果总数，也就是袋中球的总个数；二是符合“过关”条件的结果数，也就是袋中红色球的个数，再将两个数据代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知袋中共有20个大小、质量完全相同的球，因此任意摸出一个球，共有20种等可能的结果。
其中红色球有2个，即摸出红球（过关）的等可能结果有2种。
根据简单随机事件的概率公式：$ P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}} $
可得一次过关的概率为：$ P=\frac{2}{20}=\frac{1}{10} $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
简单事件概率计算；概率公式
【点评】
本题属于基础类概率计算题，重点考查对概率公式的理解与应用，只要准确找出总情况数和符合条件的情况数，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 某饮料厂举办促销活动，在一箱饮料(24瓶)中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶饮料中奖的概率是
$\frac{1}{5}$
。答案
2. $\frac{1}{5}$
解析
【分析】
要计算打开下一瓶饮料中奖的概率，首先需结合已知的“连续打开4瓶均未中奖”的条件确定当前的样本范围：已经打开的4瓶确定无奖，因此只需计算剩余未开饮料中，有奖瓶数占剩余总瓶数的比例即可。解题步骤为：先算剩余未开饮料的总瓶数，再确定剩余的有奖瓶数，最后用等可能事件概率公式计算。
【解析】
已知一箱饮料共24瓶，连续打开4瓶均未中奖，因此剩余未打开的饮料瓶数为：
$24-4=20$（瓶）
由于已打开的4瓶均无奖，因此剩余的20瓶中还有4瓶印有“奖”字。
根据等可能事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}$，因此打开下一瓶中奖的概率为：
$P=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 简单随机事件概率
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题易出错点是忽略已打开4瓶未中奖的前置条件，直接用初始总瓶数24计算概率得到$\frac{1}{6}$的错误结果，解题时需注意结合已知条件调整计算的样本范围。
【难度系数】
0.6
要计算打开下一瓶饮料中奖的概率，首先需结合已知的“连续打开4瓶均未中奖”的条件确定当前的样本范围：已经打开的4瓶确定无奖，因此只需计算剩余未开饮料中，有奖瓶数占剩余总瓶数的比例即可。解题步骤为：先算剩余未开饮料的总瓶数，再确定剩余的有奖瓶数，最后用等可能事件概率公式计算。
【解析】
已知一箱饮料共24瓶，连续打开4瓶均未中奖，因此剩余未打开的饮料瓶数为：
$24-4=20$（瓶）
由于已打开的4瓶均无奖，因此剩余的20瓶中还有4瓶印有“奖”字。
根据等可能事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}$，因此打开下一瓶中奖的概率为：
$P=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 简单随机事件概率
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题易出错点是忽略已打开4瓶未中奖的前置条件，直接用初始总瓶数24计算概率得到$\frac{1}{6}$的错误结果，解题时需注意结合已知条件调整计算的样本范围。
【难度系数】
0.6
3. 如图，随机闭合开关$S_1,S_2,S_3$中的两个，能让灯泡$\otimes$发光的概率是（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{3}$
B
）。A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
3. B
解析
【分析】
要解决本题，首先需用列举法找出随机闭合3个开关中2个的所有等可能结果，再结合电路通断的原理，判断哪些结果能让灯泡发光，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算概率。观察电路图可知，开关S₁在干路，只有S₁闭合时电路才可能形成通路，S₂和S₃为并联支路的开关，闭合任意一个都可配合S₁形成通路。
【解析】
首先列举随机闭合两个开关的所有等可能结果，共3种：
1. 闭合S₁、S₂：电路为通路，灯泡发光；
2. 闭合S₁、S₃：电路为通路，灯泡发光；
3. 闭合S₂、S₃：S₁断开，电路断路，灯泡不发光。
其中能让灯泡发光的结果有2种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{灯泡发光})=\frac{\mathrm{灯泡发光的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{3}$
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，电路通断判断，概率公式应用
【点评】
本题是概率与简单电路知识结合的基础题，解题核心是准确列举所有等可能事件，再结合电路原理筛选符合要求的情况，代入公式计算即可，对跨学科知识的基础应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需用列举法找出随机闭合3个开关中2个的所有等可能结果，再结合电路通断的原理，判断哪些结果能让灯泡发光，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算概率。观察电路图可知，开关S₁在干路，只有S₁闭合时电路才可能形成通路，S₂和S₃为并联支路的开关，闭合任意一个都可配合S₁形成通路。
【解析】
首先列举随机闭合两个开关的所有等可能结果，共3种：
1. 闭合S₁、S₂：电路为通路，灯泡发光；
2. 闭合S₁、S₃：电路为通路，灯泡发光；
3. 闭合S₂、S₃：S₁断开，电路断路，灯泡不发光。
其中能让灯泡发光的结果有2种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{灯泡发光})=\frac{\mathrm{灯泡发光的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{3}$
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，电路通断判断，概率公式应用
【点评】
本题是概率与简单电路知识结合的基础题，解题核心是准确列举所有等可能事件，再结合电路原理筛选符合要求的情况，代入公式计算即可，对跨学科知识的基础应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
4. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（
A.$\frac{5}{8}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{16}$
D.$\frac{13}{16}$
A
）。A.$\frac{5}{8}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{16}$
D.$\frac{13}{16}$
答案
4. A
解析
【分析】
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，确定总等可能结果数：两个转盘各有4个等面积区域，分别自由转动一次，总共有$4×4=16$种等可能的结果；第二步，筛选符合条件的结果：逐一计算两个指针对应数字的和，找出和是2的倍数或3的倍数的结果数；第三步，根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
解：两个转盘的区域数字均为1、2、3、4，列表得出所有等可能的和的情况：
| 第一个转盘\第二个转盘 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
总共有16种等可能的结果，其中和是2的倍数或3的倍数的结果有：2、3、4、3、4、6、4、6、6、8，共10种。
根据概率公式可得所求概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率，2、3的倍数特征，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题型，通过列表法可以直观清晰地呈现所有等可能的结果，解题时需注意“或”关系的判断，只要满足其中一个条件就属于符合要求的结果，最终计算概率时注意约分化简。
【难度系数】
0.7
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，确定总等可能结果数：两个转盘各有4个等面积区域，分别自由转动一次，总共有$4×4=16$种等可能的结果；第二步，筛选符合条件的结果：逐一计算两个指针对应数字的和，找出和是2的倍数或3的倍数的结果数；第三步，根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
解：两个转盘的区域数字均为1、2、3、4，列表得出所有等可能的和的情况：
| 第一个转盘\第二个转盘 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
总共有16种等可能的结果，其中和是2的倍数或3的倍数的结果有：2、3、4、3、4、6、4、6、6、8，共10种。
根据概率公式可得所求概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率，2、3的倍数特征，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题型，通过列表法可以直观清晰地呈现所有等可能的结果，解题时需注意“或”关系的判断，只要满足其中一个条件就属于符合要求的结果，最终计算概率时注意约分化简。
【难度系数】
0.7
5. 如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有$-2,\sqrt{3},\frac{5}{7},π$四个实数，从中任取两张卡片。
（1）用适当的方法列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）。
（2）求取到的两个数都是无理数的概率。
（1）用适当的方法列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）。
（2）求取到的两个数都是无理数的概率。
答案
5. (1) 列表略。共6种可能:AB,AC,AD,BC,BD,CD。
(2) $\frac{1}{6}$
(2) $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
首先解决第(1)问：任取两张卡片不考虑先后顺序，我们可以按顺序枚举，先以A开头搭配后续卡片，再以B开头搭配A之后的卡片，最后C搭配剩余的D，就能保证结果不重复、不遗漏。再解决第(2)问：先根据无理数的定义识别出四个数中的无理数，再统计两张都是无理数的结果数，最后根据“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
解：(1) 任取两张卡片，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
(2) 先判断数的类型：-2是整数、$\frac{5}{7}$是分数，二者都属于有理数；$\sqrt{3}$和$π$是无限不循环小数，属于无理数，对应卡片B、D。
在6种等可能的结果中，两个数都是无理数的结果仅BD1种，
因此$P(\mathrm{取到的两个数都是无理数})=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) AB,AC,AD,BC,BD,CD；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
无理数的判定，列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题，核心考查两点：一是正确区分有理数和无理数，二是不重不漏列举所有等可能的事件结果，掌握这两点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：任取两张卡片不考虑先后顺序，我们可以按顺序枚举，先以A开头搭配后续卡片，再以B开头搭配A之后的卡片，最后C搭配剩余的D，就能保证结果不重复、不遗漏。再解决第(2)问：先根据无理数的定义识别出四个数中的无理数，再统计两张都是无理数的结果数，最后根据“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
解：(1) 任取两张卡片，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
(2) 先判断数的类型：-2是整数、$\frac{5}{7}$是分数，二者都属于有理数；$\sqrt{3}$和$π$是无限不循环小数，属于无理数，对应卡片B、D。
在6种等可能的结果中，两个数都是无理数的结果仅BD1种，
因此$P(\mathrm{取到的两个数都是无理数})=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) AB,AC,AD,BC,BD,CD；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
无理数的判定，列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题，核心考查两点：一是正确区分有理数和无理数，二是不重不漏列举所有等可能的事件结果，掌握这两点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
