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8. 箱子里有三个球，分别标有数1,2,3,各球除所标的数外其他均相同。从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回；再任意摸出一个球，记下数。问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由。
答案
8. 如图。积是偶数的可能性更大。
解析
【分析】
要判断两个数的积是奇数还是偶数的可能性大，首先明确本次是放回摸球试验，先找出所有等可能的结果，再依据“仅两个乘数都是奇数时乘积为奇数，只要有一个乘数为偶数乘积就为偶数”的规律，分别统计积为奇数、偶数的结果数，计算二者概率后比较大小即可得出结论。
【解析】
两次摸球为放回试验，所有等可能的结果共$3×3=9$种，分别计算对应乘积：
(1,1)积为1（奇数）；(1,2)积为2（偶数）；(1,3)积为3（奇数）；
(2,1)积为2（偶数）；(2,2)积为4（偶数）；(2,3)积为6（偶数）；
(3,1)积为3（奇数）；(3,2)积为6（偶数）；(3,3)积为9（奇数）。
统计可知：积为奇数的结果有4种，对应概率$P(奇)=\frac{4}{9}$；积为偶数的结果有5种，对应概率$P(偶)=\frac{5}{9}$。
因为$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，因此记录的两个数的积是偶数的可能性更大。
【答案】
积是偶数的可能性更大。
【知识点】
概率计算，奇偶性判断，可能性比较
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，结合乘法奇偶性的规律分类统计，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
要判断两个数的积是奇数还是偶数的可能性大，首先明确本次是放回摸球试验，先找出所有等可能的结果，再依据“仅两个乘数都是奇数时乘积为奇数，只要有一个乘数为偶数乘积就为偶数”的规律，分别统计积为奇数、偶数的结果数，计算二者概率后比较大小即可得出结论。
【解析】
两次摸球为放回试验，所有等可能的结果共$3×3=9$种，分别计算对应乘积：
(1,1)积为1（奇数）；(1,2)积为2（偶数）；(1,3)积为3（奇数）；
(2,1)积为2（偶数）；(2,2)积为4（偶数）；(2,3)积为6（偶数）；
(3,1)积为3（奇数）；(3,2)积为6（偶数）；(3,3)积为9（奇数）。
统计可知：积为奇数的结果有4种，对应概率$P(奇)=\frac{4}{9}$；积为偶数的结果有5种，对应概率$P(偶)=\frac{5}{9}$。
因为$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，因此记录的两个数的积是偶数的可能性更大。
【答案】
积是偶数的可能性更大。
【知识点】
概率计算，奇偶性判断，可能性比较
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，结合乘法奇偶性的规律分类统计，即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
9. 科技小组为同学们展示三款智能助手，它们的智能水平分为优等、中等、合格三个等级。某一时刻，三款智能助手以随机顺序先后启动，两名同学采用不同的选择方案。
同学甲：总是使用最先启动的那一款智能助手。
同学乙：先观察，不使用最先启动的那一款。如果第二款比第一款好，就使用第二款；如果第二款不比第一款好，就使用第三款。
（1）三款智能助手启动的先后顺序，共有哪几种不同的可能？
（2）你认为甲、乙两人谁的方案使用到优等智能助手的可能性更大？请说明理由。
同学甲：总是使用最先启动的那一款智能助手。
同学乙：先观察，不使用最先启动的那一款。如果第二款比第一款好，就使用第二款；如果第二款不比第一款好，就使用第三款。
（1）三款智能助手启动的先后顺序，共有哪几种不同的可能？
（2）你认为甲、乙两人谁的方案使用到优等智能助手的可能性更大？请说明理由。
答案
9. （1）列表：
| 第一款 | 第二款 | 第三款 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优等 | 中等 | 合格 |
| 优等 | 合格 | 中等 |
| 中等 | 优等 | 合格 |
| 中等 | 合格 | 优等 |
| 合格 | 优等 | 中等 |
| 合格 | 中等 | 优等 |
三款智能助手按启动的先后顺序，共有6种不同的可能。
（2）在6种可能性中，甲使用到优等智能助手的结果有2种，乙使用到优等智能助手的结果有3种，所以乙的方案更有可能使用到优等智能助手。
| 第一款 | 第二款 | 第三款 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优等 | 中等 | 合格 |
| 优等 | 合格 | 中等 |
| 中等 | 优等 | 合格 |
| 中等 | 合格 | 优等 |
| 合格 | 优等 | 中等 |
| 合格 | 中等 | 优等 |
三款智能助手按启动的先后顺序，共有6种不同的可能。
（2）在6种可能性中，甲使用到优等智能助手的结果有2种，乙使用到优等智能助手的结果有3种，所以乙的方案更有可能使用到优等智能助手。
解析
【分析】
（1）求解三款智能助手的启动顺序，本质是列举优等、中等、合格三个等级的所有排列情况，枚举时按固定顺序梳理，保证不重复、不遗漏即可。
（2）要比较甲、乙两人选到优等智能助手的可能性大小，只需先分别统计所有启动顺序中甲、乙能选到优等的情况数，再通过“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算两人的概率，比较概率大小就能得出结论。
【解析】
（1）我们按启动先后顺序，逐一列举所有可能的排列：
| 第一款 | 第二款 | 第三款 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优等 | 中等 | 合格 |
| 优等 | 合格 | 中等 |
| 中等 | 优等 | 合格 |
| 中等 | 合格 | 优等 |
| 合格 | 优等 | 中等 |
| 合格 | 中等 | 优等 |
综上，共有6种不同的可能。
（2）首先统计甲选到优等的情况：甲总是选择最先启动的第一款，上述6种情况中第一款为优等的有2种，因此甲选到优等的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
再统计乙选到优等的情况，结合乙的选择规则逐一分析：
①顺序为（优等，中等，合格）：第二款中等不比第一款优越好，选第三款合格，未选到优等；
②顺序为（优等，合格，中等）：第二款合格不比第一款优越好，选第三款中等，未选到优等；
③顺序为（中等，优等，合格）：第二款优等比第一款中等好，选第二款优等，选到优等；
④顺序为（中等，合格，优等）：第二款合格不比第一款中等好，选第三款优等，选到优等；
⑤顺序为（合格，优等，中等）：第二款优等比第一款合格好，选第二款优等，选到优等；
⑥顺序为（合格，中等，优等）：第二款中等比第一款合格好，选第二款中等，未选到优等。
符合条件的情况共3种，因此乙选到优等的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以乙的方案选到优等智能助手的可能性更大。
【答案】
（1）共有6种不同的可能，分别为（优等，中等，合格）、（优等，合格，中等）、（中等，优等，合格）、（中等，合格，优等）、（合格，优等，中等）、（合格，中等，优等）；
（2）乙的方案使用到优等智能助手的可能性更大。
【知识点】
枚举法，概率计算，可能性比较
【点评】
本题结合生活场景设计问题，考察基础的概率求解能力，解题的关键是有序枚举所有情况，准确对应不同选择规则下的符合条件的事件，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
（1）求解三款智能助手的启动顺序，本质是列举优等、中等、合格三个等级的所有排列情况，枚举时按固定顺序梳理，保证不重复、不遗漏即可。
（2）要比较甲、乙两人选到优等智能助手的可能性大小，只需先分别统计所有启动顺序中甲、乙能选到优等的情况数，再通过“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算两人的概率，比较概率大小就能得出结论。
【解析】
（1）我们按启动先后顺序，逐一列举所有可能的排列：
| 第一款 | 第二款 | 第三款 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优等 | 中等 | 合格 |
| 优等 | 合格 | 中等 |
| 中等 | 优等 | 合格 |
| 中等 | 合格 | 优等 |
| 合格 | 优等 | 中等 |
| 合格 | 中等 | 优等 |
综上，共有6种不同的可能。
（2）首先统计甲选到优等的情况：甲总是选择最先启动的第一款，上述6种情况中第一款为优等的有2种，因此甲选到优等的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
再统计乙选到优等的情况，结合乙的选择规则逐一分析：
①顺序为（优等，中等，合格）：第二款中等不比第一款优越好，选第三款合格，未选到优等；
②顺序为（优等，合格，中等）：第二款合格不比第一款优越好，选第三款中等，未选到优等；
③顺序为（中等，优等，合格）：第二款优等比第一款中等好，选第二款优等，选到优等；
④顺序为（中等，合格，优等）：第二款合格不比第一款中等好，选第三款优等，选到优等；
⑤顺序为（合格，优等，中等）：第二款优等比第一款合格好，选第二款优等，选到优等；
⑥顺序为（合格，中等，优等）：第二款中等比第一款合格好，选第二款中等，未选到优等。
符合条件的情况共3种，因此乙选到优等的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以乙的方案选到优等智能助手的可能性更大。
【答案】
（1）共有6种不同的可能，分别为（优等，中等，合格）、（优等，合格，中等）、（中等，优等，合格）、（中等，合格，优等）、（合格，优等，中等）、（合格，中等，优等）；
（2）乙的方案使用到优等智能助手的可能性更大。
【知识点】
枚举法，概率计算，可能性比较
【点评】
本题结合生活场景设计问题，考察基础的概率求解能力，解题的关键是有序枚举所有情况，准确对应不同选择规则下的符合条件的事件，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
