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(1)一个正方形的面积是30，估计它的边长在（
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
D
）A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
答案
(1) D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据正方形面积公式推出边长是面积的算术平方根，也就是√30；接下来要估算√30的大小，只需找到和30相邻的两个正整数的完全平方数，通过比较平方数的大小，就能确定√30的取值范围，进而得到边长的范围。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=30$，因此$a=\sqrt{30}$。
计算相邻整数的平方：$5^2=25$，$6^2=36$，
因为$25＜30＜36$，且被开方数越大，对应的算术平方根也越大，所以可得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。
因此正方形的边长在5与6之间。
【答案】
D
【知识点】
1.正方形面积计算 2.算术平方根的估算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查无理数的估算能力，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握常见整数的平方值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先根据正方形面积公式推出边长是面积的算术平方根，也就是√30；接下来要估算√30的大小，只需找到和30相邻的两个正整数的完全平方数，通过比较平方数的大小，就能确定√30的取值范围，进而得到边长的范围。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=30$，因此$a=\sqrt{30}$。
计算相邻整数的平方：$5^2=25$，$6^2=36$，
因为$25＜30＜36$，且被开方数越大，对应的算术平方根也越大，所以可得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。
因此正方形的边长在5与6之间。
【答案】
D
【知识点】
1.正方形面积计算 2.算术平方根的估算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查无理数的估算能力，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握常见整数的平方值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(2)在实数$0$，$-\sqrt{3}$，$-\dfrac{2}{3}$，$|-2|$中，最小的数是（
A.$-\dfrac{2}{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$0$
D.$|-2|$
B
）A.$-\dfrac{2}{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$0$
D.$|-2|$
答案
(2) B
解析
【分析】
解题时先按照以下步骤思考：第一步先化简题目中带绝对值的数，得到具体数值；第二步根据实数比较大小的基本规则，先区分正数、0、负数，明确正数＞0＞负数，因此最小的数一定在负数当中；第三步比较两个负数的大小，按照“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，先估算两个负数的绝对值大小，就能判断出更小的负数，最终确定最小的数。
【解析】
首先化简各数：$|-2|=2$。
根据实数大小比较的规则：正数大于0，0大于负数，可知$2＞0$，且0大于所有负数，因此最小的数在$-\sqrt{3}$和$-\dfrac{2}{3}$两个负数中。
接下来比较两个负数的大小：
计算两个数的绝对值：$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}\approx1.732$，$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}\approx0.667$。
因为$\sqrt{3}＞\dfrac{2}{3}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\sqrt{3}＜-\dfrac{2}{3}$。
将所有数从小到大排序为：$-\sqrt{3}＜-\dfrac{2}{3}＜0＜|-2|$，因此最小的数是$-\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较，绝对值化简，负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题关键是先将带绝对值、带根号的数化简后再比较，注意两个负数比较大小时不要直接根据负号后的数字大小判断，要先计算绝对值再按照规则比较，熟练掌握常见无理数的近似值能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先按照以下步骤思考：第一步先化简题目中带绝对值的数，得到具体数值；第二步根据实数比较大小的基本规则，先区分正数、0、负数，明确正数＞0＞负数，因此最小的数一定在负数当中；第三步比较两个负数的大小，按照“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，先估算两个负数的绝对值大小，就能判断出更小的负数，最终确定最小的数。
【解析】
首先化简各数：$|-2|=2$。
根据实数大小比较的规则：正数大于0，0大于负数，可知$2＞0$，且0大于所有负数，因此最小的数在$-\sqrt{3}$和$-\dfrac{2}{3}$两个负数中。
接下来比较两个负数的大小：
计算两个数的绝对值：$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}\approx1.732$，$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}\approx0.667$。
因为$\sqrt{3}＞\dfrac{2}{3}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\sqrt{3}＜-\dfrac{2}{3}$。
将所有数从小到大排序为：$-\sqrt{3}＜-\dfrac{2}{3}＜0＜|-2|$，因此最小的数是$-\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较，绝对值化简，负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题关键是先将带绝对值、带根号的数化简后再比较，注意两个负数比较大小时不要直接根据负号后的数字大小判断，要先计算绝对值再按照规则比较，熟练掌握常见无理数的近似值能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
(3)如图，在数轴上标注了四段范围，则表示$\sqrt{8}$的点落在（
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
C
）A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
答案
(3) C
解析
【分析】
要确定$\sqrt{8}$落在数轴的哪一段，需先估算$\sqrt{8}$的取值范围。我们可以采用“平方法”，分别计算数轴上各分界点的平方，再将8与这些平方值比较大小，即可确定$\sqrt{8}$所在的区间，对应找到对应的段即可。
【解析】
先计算各分界点的平方：
$2.6^2=6.76$，$2.7^2=7.29$，$2.8^2=7.84$，$2.9^2=8.41$，$3^2=9$
因为$7.84 ＜ 8 ＜ 8.41$，即$2.8^2 ＜ 8 ＜ 2.9^2$
对正数同时开平方，不等号方向不变，可得$2.8 ＜ \sqrt{8} ＜ 2.9$
对照数轴可知，$\sqrt{8}$落在段③。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算，实数与数轴，平方运算
【点评】
本题考查无理数的估算，运用平方法将无理数的范围转化为有理数的范围比较是解题的核心思路，掌握这种方法能快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.7
要确定$\sqrt{8}$落在数轴的哪一段，需先估算$\sqrt{8}$的取值范围。我们可以采用“平方法”，分别计算数轴上各分界点的平方，再将8与这些平方值比较大小，即可确定$\sqrt{8}$所在的区间，对应找到对应的段即可。
【解析】
先计算各分界点的平方：
$2.6^2=6.76$，$2.7^2=7.29$，$2.8^2=7.84$，$2.9^2=8.41$，$3^2=9$
因为$7.84 ＜ 8 ＜ 8.41$，即$2.8^2 ＜ 8 ＜ 2.9^2$
对正数同时开平方，不等号方向不变，可得$2.8 ＜ \sqrt{8} ＜ 2.9$
对照数轴可知，$\sqrt{8}$落在段③。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算，实数与数轴，平方运算
【点评】
本题考查无理数的估算，运用平方法将无理数的范围转化为有理数的范围比较是解题的核心思路，掌握这种方法能快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.7
(4)已知一个正方体水晶砖的体积为$100\ \mathrm{cm}^3$。它的棱长大约在（
A.4 cm与5 cm之间
B.5 cm与6 cm之间
C.6 cm与7 cm之间
D.7 cm与8 cm之间
A
）A.4 cm与5 cm之间
B.5 cm与6 cm之间
C.6 cm与7 cm之间
D.7 cm与8 cm之间
答案
(4) A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需结合正方体体积公式建立棱长与体积的关系，明确棱长是体积的立方根，再通过估算100的立方根的取值范围，即可确定棱长所在的区间。具体思路为：①回忆正方体体积公式：体积=棱长³，设棱长为$x$，可得$x^3=100$，即$x=\sqrt[3]{100}$；②找到两个连续整数，它们的立方分别小于100和大于100，根据立方根的性质，$\sqrt[3]{100}$就介于这两个整数之间。
【解析】
设正方体水晶砖的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=100$，因此$x=\sqrt[3]{100}$
计算相邻整数的立方：
$4^3=64$，$5^3=125$
因为$64＜100＜125$，根据立方根的大小比较规则（被开方数越大，对应的立方根越大），可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$
化简得$4＜x＜5$
即它的棱长大约在4 cm与5 cm之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算，实数大小比较
【点评】
本题是立方根估算的实际应用类基础题，解题的关键是熟记常见整数的立方值，结合体积公式建立关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需结合正方体体积公式建立棱长与体积的关系，明确棱长是体积的立方根，再通过估算100的立方根的取值范围，即可确定棱长所在的区间。具体思路为：①回忆正方体体积公式：体积=棱长³，设棱长为$x$，可得$x^3=100$，即$x=\sqrt[3]{100}$；②找到两个连续整数，它们的立方分别小于100和大于100，根据立方根的性质，$\sqrt[3]{100}$就介于这两个整数之间。
【解析】
设正方体水晶砖的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=100$，因此$x=\sqrt[3]{100}$
计算相邻整数的立方：
$4^3=64$，$5^3=125$
因为$64＜100＜125$，根据立方根的大小比较规则（被开方数越大，对应的立方根越大），可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$
化简得$4＜x＜5$
即它的棱长大约在4 cm与5 cm之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算，实数大小比较
【点评】
本题是立方根估算的实际应用类基础题，解题的关键是熟记常见整数的立方值，结合体积公式建立关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(5)比较2，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{7}$的大小，正确的是
(
A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
(
C
)A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
答案
(5) C
解析
【分析】
要比较2，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{7}$这三个正数的大小，可利用正数乘方的性质：对于两个正数，同次乘方后结果大的原数也大。我们可以分别将2与$\sqrt{5}$平方去掉二次根号，将2与$\sqrt[3]{7}$立方去掉三次根号，先比较得到的整数的大小，再还原对应原数的大小关系即可。
【解析】
① 比较2和$\sqrt{5}$的大小：
对两个正数分别平方，得$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$，
因为$4＜5$，所以$2＜\sqrt{5}$。
② 比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小：
对两个正数分别立方，得$2^3=8$，$(\sqrt[3]{7})^3=7$，
因为$7＜8$，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两次比较结果，可得$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较，平方根的性质，立方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，通过乘方将无理数转化为有理数比较的方法，是解决带根号实数大小比较问题的常用技巧，需熟练掌握其应用规则。
【难度系数】
0.8
要比较2，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{7}$这三个正数的大小，可利用正数乘方的性质：对于两个正数，同次乘方后结果大的原数也大。我们可以分别将2与$\sqrt{5}$平方去掉二次根号，将2与$\sqrt[3]{7}$立方去掉三次根号，先比较得到的整数的大小，再还原对应原数的大小关系即可。
【解析】
① 比较2和$\sqrt{5}$的大小：
对两个正数分别平方，得$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$，
因为$4＜5$，所以$2＜\sqrt{5}$。
② 比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小：
对两个正数分别立方，得$2^3=8$，$(\sqrt[3]{7})^3=7$，
因为$7＜8$，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两次比较结果，可得$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较，平方根的性质，立方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，通过乘方将无理数转化为有理数比较的方法，是解决带根号实数大小比较问题的常用技巧，需熟练掌握其应用规则。
【难度系数】
0.8
(1)若$\sqrt{5}$的值在两个整数$a$与$a+1$之间，则$a=$
2
。答案
(1) 2
解析
【分析】
解决这道题的核心是估算无理数$\sqrt{5}$的大小，我们可以先找到与5相邻的两个正整数的完全平方数，再利用算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根也越大）确定$\sqrt{5}$的取值范围，最后结合题目给出的范围条件即可求出a的值。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，
且$4＜5＜9$，
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
即$2＜\sqrt{5}＜3$，
又$\because \sqrt{5}$的值在整数$a$与$a+1$之间，
$\therefore a=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握估算无理数大小的常用方法：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是估算无理数$\sqrt{5}$的大小，我们可以先找到与5相邻的两个正整数的完全平方数，再利用算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根也越大）确定$\sqrt{5}$的取值范围，最后结合题目给出的范围条件即可求出a的值。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，
且$4＜5＜9$，
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
即$2＜\sqrt{5}＜3$，
又$\because \sqrt{5}$的值在整数$a$与$a+1$之间，
$\therefore a=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算；算术平方根的大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握估算无理数大小的常用方法：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
(2)写出一个比－3大的无理数：
$-\sqrt{2}$(答案不唯一)
.答案
(2) $-\sqrt{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，需要同时满足两个要求：①写出的数是无理数；②这个数比-3大。首先回忆无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有开方开不尽的数的方根、含π的数等类型。再结合实数大小比较的规则：正数都大于负数，负数比较大小时，绝对值越小的数越大。所以我们既可以选任意正的无理数（正无理数都大于-3），也可以选绝对值小于3的负无理数，只要符合这两个条件即可。
【解析】
首先明确所求数的两个判定条件：
1. 是无理数：无限不循环小数，例如开方开不尽的数的方根属于无理数；
2. 大于-3：若选负无理数，只需它的绝对值小于3即可。
举例：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，且$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，所以$-\sqrt{2}\approx-1.414$，满足$-1.414＞-3$，因此$-\sqrt{2}$符合要求。此外如$\sqrt{3}$、$π$等也都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$-\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的概念；实数的大小比较
【点评】
本题是开放性试题，重点考查对基础概念的掌握，只要同时满足“是无理数”和“大于-3”两个条件即可得分，灵活度较高。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需要同时满足两个要求：①写出的数是无理数；②这个数比-3大。首先回忆无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有开方开不尽的数的方根、含π的数等类型。再结合实数大小比较的规则：正数都大于负数，负数比较大小时，绝对值越小的数越大。所以我们既可以选任意正的无理数（正无理数都大于-3），也可以选绝对值小于3的负无理数，只要符合这两个条件即可。
【解析】
首先明确所求数的两个判定条件：
1. 是无理数：无限不循环小数，例如开方开不尽的数的方根属于无理数；
2. 大于-3：若选负无理数，只需它的绝对值小于3即可。
举例：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，且$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，所以$-\sqrt{2}\approx-1.414$，满足$-1.414＞-3$，因此$-\sqrt{2}$符合要求。此外如$\sqrt{3}$、$π$等也都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$-\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的概念；实数的大小比较
【点评】
本题是开放性试题，重点考查对基础概念的掌握，只要同时满足“是无理数”和“大于-3”两个条件即可得分，灵活度较高。
【难度系数】
0.9
(3)写出一个大于2且小于4的无理数：
$\sqrt{5}$(答案不唯一)
.答案
(3) $\sqrt{5}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出大于2且小于4的无理数，首先回忆无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的有开方开不尽的数、含π的数等。我们可以先将整数2和4转化为算术平方根的形式：$2=\sqrt{4}$，$4=\sqrt{16}$，此时只要找到一个被开方数在4和16之间、且不是完全平方数的数，它的算术平方根就是符合要求的无理数；也可以直接找大小在2到4之间的无限不循环小数，比如$π\approx3.14$也符合要求。
【解析】
第一步：将区间端点转化为算术平方根形式
因为$2=\sqrt{4}$，$4=\sqrt{16}$，所以我们要找的无理数$x$满足$\sqrt{4}＜x＜\sqrt{16}$。
第二步：选取符合要求的被开方数
只要被开方数大于4且小于16，且不是完全平方数，它的算术平方根就是无理数，且大小在2到4之间。例如选取被开方数为5，5不是完全平方数，$\sqrt{5}$是无理数，且$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{16}$，即$2＜\sqrt{5}＜4$，符合要求。
除此之外，$\sqrt{6}$、$\sqrt{7}$、$π$等也都是符合要求的答案，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的概念；实数的大小比较
【点评】
本题是开放性试题，核心考查对无理数概念的掌握和实数大小比较的方法，解题思路灵活，只要满足大小范围和无理数的定义即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要写出大于2且小于4的无理数，首先回忆无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的有开方开不尽的数、含π的数等。我们可以先将整数2和4转化为算术平方根的形式：$2=\sqrt{4}$，$4=\sqrt{16}$，此时只要找到一个被开方数在4和16之间、且不是完全平方数的数，它的算术平方根就是符合要求的无理数；也可以直接找大小在2到4之间的无限不循环小数，比如$π\approx3.14$也符合要求。
【解析】
第一步：将区间端点转化为算术平方根形式
因为$2=\sqrt{4}$，$4=\sqrt{16}$，所以我们要找的无理数$x$满足$\sqrt{4}＜x＜\sqrt{16}$。
第二步：选取符合要求的被开方数
只要被开方数大于4且小于16，且不是完全平方数，它的算术平方根就是无理数，且大小在2到4之间。例如选取被开方数为5，5不是完全平方数，$\sqrt{5}$是无理数，且$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{16}$，即$2＜\sqrt{5}＜4$，符合要求。
除此之外，$\sqrt{6}$、$\sqrt{7}$、$π$等也都是符合要求的答案，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的概念；实数的大小比较
【点评】
本题是开放性试题，核心考查对无理数概念的掌握和实数大小比较的方法，解题思路灵活，只要满足大小范围和无理数的定义即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
(4)若将三个数$-\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{11}$表示在数轴上，其中被如图所示的墨迹覆盖的数是
$\sqrt{7}$
。答案
(4) $\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先观察数轴确定墨迹覆盖的数的范围是大于1且小于3，接下来只需估算三个给出的无理数的取值范围，判断哪个数落在1到3之间即可：先排除负数$-\sqrt{3}$，再通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，分别估算$\sqrt{7}$和$\sqrt{11}$的范围，最终选出符合条件的数。
【解析】
1. 确定墨迹覆盖的数的范围：由数轴可得，被墨迹覆盖的数$x$满足$1＜x＜3$。
2. 分别估算三个数的范围：
$-\sqrt{3}$是负数，$-\sqrt{3}＜0$，不在$1＜x＜3$范围内，直接排除；
因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，符合$1＜x＜3$的要求；
因为$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，不在$1＜x＜3$范围内，排除。
综上，被墨迹覆盖的数是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
无理数估算，数轴的应用
【点评】
本题解题核心是掌握用“平方法”估算无理数的大致范围，再结合数轴给出的取值范围筛选对应数，属于基础类考题，掌握估算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴确定墨迹覆盖的数的范围是大于1且小于3，接下来只需估算三个给出的无理数的取值范围，判断哪个数落在1到3之间即可：先排除负数$-\sqrt{3}$，再通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，分别估算$\sqrt{7}$和$\sqrt{11}$的范围，最终选出符合条件的数。
【解析】
1. 确定墨迹覆盖的数的范围：由数轴可得，被墨迹覆盖的数$x$满足$1＜x＜3$。
2. 分别估算三个数的范围：
$-\sqrt{3}$是负数，$-\sqrt{3}＜0$，不在$1＜x＜3$范围内，直接排除；
因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，符合$1＜x＜3$的要求；
因为$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，不在$1＜x＜3$范围内，排除。
综上，被墨迹覆盖的数是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
无理数估算，数轴的应用
【点评】
本题解题核心是掌握用“平方法”估算无理数的大致范围，再结合数轴给出的取值范围筛选对应数，属于基础类考题，掌握估算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(5)满足$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$的整数x有
$-1, 0, 1, 2$
答案
(5) $-1, 0, 1, 2$
解析
【分析】
要找到满足不等式的整数x，首先需要确定-√3和√5分别介于哪两个相邻整数之间，将无理数构成的取值范围转化为整数区间，再从区间内找出所有整数即可。解题时可以利用“夹逼法”，通过找与被开方数相邻的完全平方数来估算无理数的大小。
【解析】
1. 估算-√3的取值范围：
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$。
2. 估算√5的取值范围：
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
3. 转化原不等式的范围：
原不等式$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$可转化为$-2＜x＜3$。
4. 找出区间内的整数：
满足$-2＜x＜3$的整数为$-1,0,1,2$。
【答案】
$-1, 0, 1, 2$
【知识点】
无理数的估算，不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题关键是准确确定两个无理数的相邻整数范围，再筛选出符合要求的整数。
【难度系数】
0.8
要找到满足不等式的整数x，首先需要确定-√3和√5分别介于哪两个相邻整数之间，将无理数构成的取值范围转化为整数区间，再从区间内找出所有整数即可。解题时可以利用“夹逼法”，通过找与被开方数相邻的完全平方数来估算无理数的大小。
【解析】
1. 估算-√3的取值范围：
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$。
2. 估算√5的取值范围：
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
3. 转化原不等式的范围：
原不等式$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$可转化为$-2＜x＜3$。
4. 找出区间内的整数：
满足$-2＜x＜3$的整数为$-1,0,1,2$。
【答案】
$-1, 0, 1, 2$
【知识点】
无理数的估算，不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题关键是准确确定两个无理数的相邻整数范围，再筛选出符合要求的整数。
【难度系数】
0.8
3. 比较下列各组数的大小.
(1)$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$；
(2)$-\sqrt{10}$与$-3$；
(3)$-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$与$-\sqrt{\dfrac{5}{7}}$；
(4)$-\sqrt{15}$与$-3.8$.
(1)$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$；
(2)$-\sqrt{10}$与$-3$；
(3)$-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$与$-\sqrt{\dfrac{5}{7}}$；
(4)$-\sqrt{15}$与$-3.8$.
答案
(1) $3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$
(2) $-\sqrt{10}＜-3$
(3) $-\sqrt{\dfrac{2}{3}}＞-\sqrt{\dfrac{5}{7}}$
(4) $-\sqrt{15}＜-3.8$
(2) $-\sqrt{10}＜-3$
(3) $-\sqrt{\dfrac{2}{3}}＞-\sqrt{\dfrac{5}{7}}$
(4) $-\sqrt{15}＜-3.8$
解析
【分析】
比较含二次根式的实数大小，常用平方法：正数范围内，两个数平方越大，原数越大；负数比较大小时，先比较两个数的绝对值大小，绝对值越大的负数反而越小。各小题解题思路如下：
(1) 两个数都是正数，分别平方后比较结果大小，即可得到原数的大小关系；
(2) 两个都是负数，先将3转化为$\sqrt{9}$，比较$\sqrt{10}$和$\sqrt{9}$的大小，再根据负数比较大小的规则判断；
(3) 两个都是负的二次根式，先通分比较两个被开方数的大小，得到两个根式的大小，再根据负数比较规则判断；
(4) 两个都是负数，先计算3.8的平方，和15比较得到$\sqrt{15}$和3.8的大小，再根据负数比较规则判断。
【解析】
(1) 分别计算两数的平方：
$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$，
$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$，
∵$18＞12$，且$3\sqrt{2}＞0$，$2\sqrt{3}＞0$，
∴$3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$。
(2) 先比较两数的绝对值：
$3=\sqrt{9}$，
∵$10＞9$，
∴$\sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-\sqrt{10}＜-3$。
(3) 先比较两数的绝对值：
通分被开方数：$\frac{2}{3}=\frac{14}{21}$，$\frac{5}{7}=\frac{15}{21}$，
∵$\frac{14}{21}＜\frac{15}{21}$，即$\frac{2}{3}＜\frac{5}{7}$，
∴$\sqrt{\frac{2}{3}}＜\sqrt{\frac{5}{7}}$，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-\sqrt{\frac{2}{3}}＞-\sqrt{\frac{5}{7}}$。
(4) 先比较两数的绝对值：
计算$3.8^2=14.44$，
∵$15＞14.44$，
∴$\sqrt{15}＞\sqrt{14.44}=3.8$，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-\sqrt{15}＜-3.8$。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$
(2) $-\sqrt{10}＜-3$
(3) $-\sqrt{\dfrac{2}{3}}＞-\sqrt{\dfrac{5}{7}}$
(4) $-\sqrt{15}＜-3.8$
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 二次根式的性质
3. 负数比较大小法则
【点评】
本题重点考察含二次根式的实数比较大小的方法，平方法是解决这类问题的常用技巧，解题时要注意负数比较大小的规则，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.8
比较含二次根式的实数大小，常用平方法：正数范围内，两个数平方越大，原数越大；负数比较大小时，先比较两个数的绝对值大小，绝对值越大的负数反而越小。各小题解题思路如下：
(1) 两个数都是正数，分别平方后比较结果大小，即可得到原数的大小关系；
(2) 两个都是负数，先将3转化为$\sqrt{9}$，比较$\sqrt{10}$和$\sqrt{9}$的大小，再根据负数比较大小的规则判断；
(3) 两个都是负的二次根式，先通分比较两个被开方数的大小，得到两个根式的大小，再根据负数比较规则判断；
(4) 两个都是负数，先计算3.8的平方，和15比较得到$\sqrt{15}$和3.8的大小，再根据负数比较规则判断。
【解析】
(1) 分别计算两数的平方：
$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$，
$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$，
∵$18＞12$，且$3\sqrt{2}＞0$，$2\sqrt{3}＞0$，
∴$3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$。
(2) 先比较两数的绝对值：
$3=\sqrt{9}$，
∵$10＞9$，
∴$\sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-\sqrt{10}＜-3$。
(3) 先比较两数的绝对值：
通分被开方数：$\frac{2}{3}=\frac{14}{21}$，$\frac{5}{7}=\frac{15}{21}$，
∵$\frac{14}{21}＜\frac{15}{21}$，即$\frac{2}{3}＜\frac{5}{7}$，
∴$\sqrt{\frac{2}{3}}＜\sqrt{\frac{5}{7}}$，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-\sqrt{\frac{2}{3}}＞-\sqrt{\frac{5}{7}}$。
(4) 先比较两数的绝对值：
计算$3.8^2=14.44$，
∵$15＞14.44$，
∴$\sqrt{15}＞\sqrt{14.44}=3.8$，
∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∴$-\sqrt{15}＜-3.8$。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$
(2) $-\sqrt{10}＜-3$
(3) $-\sqrt{\dfrac{2}{3}}＞-\sqrt{\dfrac{5}{7}}$
(4) $-\sqrt{15}＜-3.8$
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 二次根式的性质
3. 负数比较大小法则
【点评】
本题重点考察含二次根式的实数比较大小的方法，平方法是解决这类问题的常用技巧，解题时要注意负数比较大小的规则，避免因符号判断失误出错。
【难度系数】
0.8
