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1. 一次函数$y=kx+b$的图象如图5-4-7所示，这个函数的表达式为(
A.$y=2x+4$
B.$y=2x-4$
C.$y=-2x+4$
D.$y=-2x-4$
C
)。A.$y=2x+4$
B.$y=2x-4$
C.$y=-2x+4$
D.$y=-2x-4$
答案
1. C
解析
【分析】
要求一次函数的表达式，我们可以使用待定系数法求解：首先从函数图像中提取两个已知点的坐标，再将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值，从而确定函数表达式。也可结合一次函数的图像性质，先判断$k$、$b$的正负，用排除法快速筛选选项。
【解析】
解法1（待定系数法）：
观察图像可知，一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,2)$和点$(2,0)$，将两点分别代入解析式得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ 2k+b=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$2k+b-(k+b)=0-2$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$k+b=2$，得：$-2+b=2$，解得$b=4$。
因此这个一次函数的表达式为$y=-2x+4$。
解法2（排除法）：
一次函数图像从左上向右下倾斜，说明$y$随$x$的增大而减小，因此斜率$k＜0$，选项A、B中$k=2＞0$，排除A、B；
函数图像与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，说明截距$b＞0$，选项D中$b=-4＜0$，排除D。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象与性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一次函数的基础题型，既可以用待定系数法按步骤求解，也可以结合一次函数的图像性质用排除法快速得到答案，重点考查对一次函数基本性质的掌握和待定系数法的运用。
【难度系数】
0.8
要求一次函数的表达式，我们可以使用待定系数法求解：首先从函数图像中提取两个已知点的坐标，再将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值，从而确定函数表达式。也可结合一次函数的图像性质，先判断$k$、$b$的正负，用排除法快速筛选选项。
【解析】
解法1（待定系数法）：
观察图像可知，一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,2)$和点$(2,0)$，将两点分别代入解析式得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ 2k+b=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$2k+b-(k+b)=0-2$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$k+b=2$，得：$-2+b=2$，解得$b=4$。
因此这个一次函数的表达式为$y=-2x+4$。
解法2（排除法）：
一次函数图像从左上向右下倾斜，说明$y$随$x$的增大而减小，因此斜率$k＜0$，选项A、B中$k=2＞0$，排除A、B；
函数图像与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，说明截距$b＞0$，选项D中$b=-4＜0$，排除D。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象与性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一次函数的基础题型，既可以用待定系数法按步骤求解，也可以结合一次函数的图像性质用排除法快速得到答案，重点考查对一次函数基本性质的掌握和待定系数法的运用。
【难度系数】
0.8
2. 在弹性限度内,弹簧的长度 y(cm)是所挂物体质量 x(kg)的一次函数,如图 5-4-8 所示。某弹簧挂质量为 3 kg 的物体时,弹簧长度为 16 cm,挂质量为 9 kg 的物体时,弹簧长度为 19 cm,那么该弹簧不挂物体时的长度为 (
A.12 cm
B.13.5 cm
C.14 cm
D.14.5 cm
D
)。A.12 cm
B.13.5 cm
C.14 cm
D.14.5 cm
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题意可知弹簧长度y与所挂物体质量x满足一次函数关系，设函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），其中b就是弹簧不挂物体时的长度（即$x=0$时y的值）。接下来将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组求出b的值即可得到答案。
【解析】
设弹簧长度y与所挂物体质量x的一次函数解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
根据题意，将$ x=3, y=16 $和$ x=9, y=19 $分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 16 \\9k + b = 19\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$ 6k = 3 $，解得$ k = 0.5 $。
将$ k=0.5 $代入$ 3k + b = 16 $，得：$ 3×0.5 + b = 16 $，解得$ b = 14.5 $。
一次函数的常数项b是$x=0$时的y值，也就是弹簧不挂物体时的长度，因此该弹簧不挂物体时长度为14.5cm。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；二元一次方程组求解
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题的核心是理解一次函数解析式中参数的实际意义，熟练运用待定系数法代入已知点求解即可，同时考查了二元一次方程组的计算能力。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题意可知弹簧长度y与所挂物体质量x满足一次函数关系，设函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），其中b就是弹簧不挂物体时的长度（即$x=0$时y的值）。接下来将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组求出b的值即可得到答案。
【解析】
设弹簧长度y与所挂物体质量x的一次函数解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
根据题意，将$ x=3, y=16 $和$ x=9, y=19 $分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 16 \\9k + b = 19\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$ 6k = 3 $，解得$ k = 0.5 $。
将$ k=0.5 $代入$ 3k + b = 16 $，得：$ 3×0.5 + b = 16 $，解得$ b = 14.5 $。
一次函数的常数项b是$x=0$时的y值，也就是弹簧不挂物体时的长度，因此该弹簧不挂物体时长度为14.5cm。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；二元一次方程组求解
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，解题的核心是理解一次函数解析式中参数的实际意义，熟练运用待定系数法代入已知点求解即可，同时考查了二元一次方程组的计算能力。
【难度系数】
0.8
3. 已知直线 $ l_1: y = kx + b $ 与直线 $ l_2: y = -2x $ 没有交点，且与两坐标轴围成的图形面积为4，则直线 $ l_1 $ 对应的函数表达式为
y=-2x+4
y=-2x-4
。答案
3. y=-2x+4 或 y=-2x-4
解析
【分析】
首先，两条直线没有交点说明两直线平行，根据一次函数的性质，两平行直线的斜率k值相等，可先求出k的值；接着求出直线$l_1$与x轴、y轴的交点坐标，它与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长度分别是两个交点到原点的距离（即截距的绝对值），再结合已知的面积列方程求解b的值，注意b有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 确定k的值：
∵ 直线$l_1$与$l_2:y=-2x$没有交点，
∴ $l_1 // l_2$
一次函数中两平行直线的k值相等，
∴ $k=-2$，即$l_1$的表达式为$y=-2x+b$
2. 求$l_1$与两坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=b$，即$l_1$与y轴交点为$(0,b)$
当$y=0$时，$0=-2x+b$，解得$x=\frac{b}{2}$，即$l_1$与x轴交点为$(\frac{b}{2},0)$
3. 根据面积列方程求解b：
$l_1$与两坐标轴围成的直角三角形面积为4，直角边长分别为$|b|$和$|\frac{b}{2}|$
∴ $S=\frac{1}{2} × |b| × |\frac{b}{2}| =4$
化简得：$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$
解得$b=4$或$b=-4$
∴ 直线$l_1$的表达式为$y=-2x+4$或$y=-2x-4$
【答案】
$y=-2x+4$ 或 $y=-2x-4$
【知识点】
一次函数平行性质，坐标轴交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题的解题关键是先由“两直线无交点”判断出两直线平行，得到k值，再结合面积条件求解参数，注意计算面积时截距要取绝对值，否则容易漏掉负数解。
【难度系数】
0.6
首先，两条直线没有交点说明两直线平行，根据一次函数的性质，两平行直线的斜率k值相等，可先求出k的值；接着求出直线$l_1$与x轴、y轴的交点坐标，它与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长度分别是两个交点到原点的距离（即截距的绝对值），再结合已知的面积列方程求解b的值，注意b有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 确定k的值：
∵ 直线$l_1$与$l_2:y=-2x$没有交点，
∴ $l_1 // l_2$
一次函数中两平行直线的k值相等，
∴ $k=-2$，即$l_1$的表达式为$y=-2x+b$
2. 求$l_1$与两坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=b$，即$l_1$与y轴交点为$(0,b)$
当$y=0$时，$0=-2x+b$，解得$x=\frac{b}{2}$，即$l_1$与x轴交点为$(\frac{b}{2},0)$
3. 根据面积列方程求解b：
$l_1$与两坐标轴围成的直角三角形面积为4，直角边长分别为$|b|$和$|\frac{b}{2}|$
∴ $S=\frac{1}{2} × |b| × |\frac{b}{2}| =4$
化简得：$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$
解得$b=4$或$b=-4$
∴ 直线$l_1$的表达式为$y=-2x+4$或$y=-2x-4$
【答案】
$y=-2x+4$ 或 $y=-2x-4$
【知识点】
一次函数平行性质，坐标轴交点求解，三角形面积计算
【点评】
本题的解题关键是先由“两直线无交点”判断出两直线平行，得到k值，再结合面积条件求解参数，注意计算面积时截距要取绝对值，否则容易漏掉负数解。
【难度系数】
0.6
4. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶时间x(h)之间的函数关系如图5-4-9所示，根据图象提供的信息可知，乙车出发后追上甲车需要
1.5
h。答案
4. 1.5
解析
【分析】
这是一道结合一次函数图象的行程追及问题，解题思路如下：第一步，先从图象中提取甲、乙两车的行驶时间和总路程信息，分别求出两车离开A城的距离y关于甲车行驶时间x的函数解析式；第二步，两车相遇（乙追上甲）时行驶路程相等，令两个函数解析式相等，解方程求出此时对应的甲车行驶时间x；第三步，因为乙比甲晚出发1小时，用求得的x减去1，即可得到乙出发后追上甲的时长。
【解析】
解：由图象可知：
A、B两城相距300km，甲车从x=0出发，5小时行完全程，因此甲车速度为 $v_甲=\frac{300}{5}=60\ \mathrm{km/h}$，
所以甲车的距离函数为：$y_甲=60x$（$0≤ x≤5$）。
乙车从x=1出发，4小时行完全程，乙车行驶全程用时 $4-1=3\ \mathrm{h}$，因此乙车速度为 $v_乙=\frac{300}{3}=100\ \mathrm{km/h}$，
设甲车行驶时间为x h，则乙车行驶时间为$(x-1)\ \mathrm{h}$，因此乙车的距离函数为：$y_乙=100(x-1)$（$1≤ x≤4$）。
当乙车追上甲车时，两车行驶路程相等，即$y_甲=y_乙$，列方程：
$60x=100(x-1)$
解得：$x=2.5$
乙车出发时长为：$2.5 - 1 = 1.5\ \mathrm{h}$
【答案】
1.5
【知识点】
一次函数的应用；追及问题；一次函数解析式求解
【点评】
本题结合函数图象考查行程类追及问题，解题的核心是准确从图象中提取两车的出发时间、行驶总时长、总路程等关键信息，建立对应的函数关系，再利用追及问题“路程相等”的等量关系列方程求解，要注意所求为乙出发后的时长，避免直接将求得的x值作为答案。
【难度系数】
0.7
这是一道结合一次函数图象的行程追及问题，解题思路如下：第一步，先从图象中提取甲、乙两车的行驶时间和总路程信息，分别求出两车离开A城的距离y关于甲车行驶时间x的函数解析式；第二步，两车相遇（乙追上甲）时行驶路程相等，令两个函数解析式相等，解方程求出此时对应的甲车行驶时间x；第三步，因为乙比甲晚出发1小时，用求得的x减去1，即可得到乙出发后追上甲的时长。
【解析】
解：由图象可知：
A、B两城相距300km，甲车从x=0出发，5小时行完全程，因此甲车速度为 $v_甲=\frac{300}{5}=60\ \mathrm{km/h}$，
所以甲车的距离函数为：$y_甲=60x$（$0≤ x≤5$）。
乙车从x=1出发，4小时行完全程，乙车行驶全程用时 $4-1=3\ \mathrm{h}$，因此乙车速度为 $v_乙=\frac{300}{3}=100\ \mathrm{km/h}$，
设甲车行驶时间为x h，则乙车行驶时间为$(x-1)\ \mathrm{h}$，因此乙车的距离函数为：$y_乙=100(x-1)$（$1≤ x≤4$）。
当乙车追上甲车时，两车行驶路程相等，即$y_甲=y_乙$，列方程：
$60x=100(x-1)$
解得：$x=2.5$
乙车出发时长为：$2.5 - 1 = 1.5\ \mathrm{h}$
【答案】
1.5
【知识点】
一次函数的应用；追及问题；一次函数解析式求解
【点评】
本题结合函数图象考查行程类追及问题，解题的核心是准确从图象中提取两车的出发时间、行驶总时长、总路程等关键信息，建立对应的函数关系，再利用追及问题“路程相等”的等量关系列方程求解，要注意所求为乙出发后的时长，避免直接将求得的x值作为答案。
【难度系数】
0.7
5. 某市规定了每月用水 20 m³以内(含 20 m³)和 20 m³以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费 y(元)是关于用水量 x(m³)的函数，其图象如图 5-4-10 所示。
(1)某用户用水为 20 m³，应交水费
(2)当 x＞20 时，求 y 关于 x 的函数表达式；
(3)若小明家某月交水费 100 元，则小明家该月用水多少立方米？
(1)某用户用水为 20 m³，应交水费
50
元；(2)当 x＞20 时，求 y 关于 x 的函数表达式；
(3)若小明家某月交水费 100 元，则小明家该月用水多少立方米？
答案
5. (1) 50
(2) 解:当 x＞20 时,设 y 关于 x 的函数表达式为 y=kx+b(k≠0),
根据题图,函数图象经过点(20,50),(30,70),所以
$\begin{cases}20k+b=50,\\30k+b=70,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=10,\end{cases}$
所以 y 关于 x 的函数表达式为 y=2x+10(x＞20)。
(3) 解:因为水费 100 元大于 50 元,所以小明家该月的用水量大于 20 m³,
所以当 y=100 时,2x+10=100,解得 x=45,所以小明家该月用水 45 m³。
(2) 解:当 x＞20 时,设 y 关于 x 的函数表达式为 y=kx+b(k≠0),
根据题图,函数图象经过点(20,50),(30,70),所以
$\begin{cases}20k+b=50,\\30k+b=70,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=10,\end{cases}$
所以 y 关于 x 的函数表达式为 y=2x+10(x＞20)。
(3) 解:因为水费 100 元大于 50 元,所以小明家该月的用水量大于 20 m³,
所以当 y=100 时,2x+10=100,解得 x=45,所以小明家该月用水 45 m³。
解析
【分析】
(1) 直接观察函数图象，找到横坐标$x=20\ \mathrm{m}^3$对应的纵坐标$y$值，即为$20\ \mathrm{m}^3$水应交的水费；
(2) 当$x＞20$时，函数为一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从图象中选取$x＞20$时经过的两个点的坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值即可得到对应函数表达式，注意标注自变量取值范围；
(3) 先判断100元水费超过了$20\ \mathrm{m}^3$对应的50元，说明用水量超过$20\ \mathrm{m}^3$，将$y=100$代入$x＞20$时的函数表达式，解方程即可求出对应用水量。
【解析】
(1) 观察图象可知，当$x=20$时，$y=50$，因此用水$20\ \mathrm{m}^3$应交水费50元；
(2) 当$x＞20$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知函数图象经过点$(20,50)$和$(30,70)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}20k+b=50\\30k+b=70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$10k=20$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$20k+b=50$，得$40+b=50$，解得$b=10$，
因此当$x＞20$时，$y$关于$x$的函数表达式为$y=2x+10(x＞20)$；
(3) 因为$100＞50$，说明小明家该月用水量超过$20\ \mathrm{m}^3$，
将$y=100$代入$y=2x+10$得：$2x+10=100$，
移项得$2x=90$，解得$x=45$，
因此小明家该月用水$45\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50}$
(2) $\boldsymbol{y=2x+10(x＞20)}$
(3) $\boldsymbol{45\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象
【点评】
本题以生活中水费分段收费为背景，考查一次函数的实际应用，解题的关键是能从函数图象中准确读取有效信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，同时要注意分段函数需根据自变量的取值范围选择对应的关系式进行计算。
【难度系数】
0.8
(1) 直接观察函数图象，找到横坐标$x=20\ \mathrm{m}^3$对应的纵坐标$y$值，即为$20\ \mathrm{m}^3$水应交的水费；
(2) 当$x＞20$时，函数为一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从图象中选取$x＞20$时经过的两个点的坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值即可得到对应函数表达式，注意标注自变量取值范围；
(3) 先判断100元水费超过了$20\ \mathrm{m}^3$对应的50元，说明用水量超过$20\ \mathrm{m}^3$，将$y=100$代入$x＞20$时的函数表达式，解方程即可求出对应用水量。
【解析】
(1) 观察图象可知，当$x=20$时，$y=50$，因此用水$20\ \mathrm{m}^3$应交水费50元；
(2) 当$x＞20$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知函数图象经过点$(20,50)$和$(30,70)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}20k+b=50\\30k+b=70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$10k=20$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$20k+b=50$，得$40+b=50$，解得$b=10$，
因此当$x＞20$时，$y$关于$x$的函数表达式为$y=2x+10(x＞20)$；
(3) 因为$100＞50$，说明小明家该月用水量超过$20\ \mathrm{m}^3$，
将$y=100$代入$y=2x+10$得：$2x+10=100$，
移项得$2x=90$，解得$x=45$，
因此小明家该月用水$45\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50}$
(2) $\boldsymbol{y=2x+10(x＞20)}$
(3) $\boldsymbol{45\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象
【点评】
本题以生活中水费分段收费为背景，考查一次函数的实际应用，解题的关键是能从函数图象中准确读取有效信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，同时要注意分段函数需根据自变量的取值范围选择对应的关系式进行计算。
【难度系数】
0.8
