8. 如图5-4-5，在平面直角坐标系中，正比例函数$y=2x$的图象$l_1$与一次函数$y=-x+b$的图象$l_2$交于点$M(1,m)$，点$P(t,0)(t≠1)$是$x$轴上的一个动点，过点$P$作垂直于$x$轴的直线，分别与直线$l_1$和$l_2$相交于$A,B$两点，以$AB$为边作矩形$ABCD$，且使顶点$C$落在直线$l_1$上。
(1)求$m$和$b$的值。
(2)填表5-4-1：
表5-4-1

类比上表，用含$t$的代数式表示点$D$的坐标。
(3)根据(2)中所求结果探究：当动点$P$在$x$轴上运动时，顶点$D$是否始终落在一条固定的直线上？请说明理由。

8. 解:(1)因为正比例函数 $y=2x$ 的图象 $l_1$ 与一次函数 $y=-x+b$ 的图象 $l_2$ 交于点 $M(1,m)$,所以 $m=2$,所以 $M(1,2)$,所以 $2=-1+b$,所以 $b=3$。
(2)$(2,-2)$ $(\dfrac{1}{2},4)$
当 $P(t,0)$ 时, $B(t,-t+3)$, $A(t,2t)$,
$C(-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{3}{2},-t+3)$,所以 $D(-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{3}{2},2t)$。
(3)结论:点 $D$ 始终落在直线 $y=-4x+6$ 上。理由:令 $x=-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{3}{2}$,$y=2t$,所以 $t=\dfrac{1}{2}y$,所以 $x=-\dfrac{1}{4}y+\dfrac{3}{2}$,所以 $4x=-y+6$,所以 $y=-4x+6$,所以点 $D$ 始终落在直线 $y=-4x+6$ 上。

【分析】
(1) 交点M同时在两个函数图象上，其坐标满足两个函数解析式：先将M(1,m)代入正比例函数y=2x即可求出m的值，再将求出的M点坐标代入一次函数y=-x+b就能算出b的值。
(2) 过P(t,0)且垂直x轴的直线上所有点横坐标均为t，将x=t分别代入两个函数解析式可得到A、B两点的坐标；矩形ABCD中AB为竖直边，因此邻边BC为水平边，即B、C两点纵坐标相等，再结合C在l₁上，可求出C点坐标；根据矩形对边平行相等的性质，D点横坐标与C相同、纵坐标与A相同，即可得到D点坐标的表达式，代入具体t值就能完成表格填写。
(3) 要判断D是否在固定直线上，只需将D点横、纵坐标的参数表达式消去参数t，推导得出y与x的固定函数关系，若为确定的一次函数解析式，即可说明D始终落在固定直线上。
【解析】
(1) 把点M(1,m)代入正比例函数y=2x，得：
$m=2×1=2$，即M点坐标为(1,2)
再将M(1,2)代入一次函数y=-x+b，得：
$2=-1+b$，解得$b=3$
(2) 当P(t,0)时，过P垂直x轴的直线为x=t：
将x=t代入y=2x，得A点坐标为$(t,2t)$
将x=t代入y=-x+3，得B点坐标为$(t,-t+3)$
矩形ABCD中，BC//x轴，因此C点纵坐标与B相同为$-t+3$，又C在l₁:y=2x上，代入得C点横坐标为$\frac{-t+3}{2}=-\frac{1}{2}t+\frac{3}{2}$，即C点坐标为$(-\frac{1}{2}t+\frac{3}{2},-t+3)$
由矩形对边相等，AD//BC，因此D点横坐标与C相同，纵坐标与A相同，即D点坐标为$(-\frac{1}{2}t+\frac{3}{2},2t)$
代入对应t值可得表格填写结果为$(2,-2)$、$(\frac{1}{2},4)$
(3) 顶点D始终落在固定直线上，理由如下：
设D点坐标为$(x,y)$，由D的坐标表达式得：
$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}t+\frac{3}{2}\\y=2t\end{cases}$
由$y=2t$得$t=\frac{1}{2}y$，将其代入x的表达式：
$x=-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}$
两边同乘4得：$4x=-y+6$，整理得$y=-4x+6$
因此无论t取何值，D点坐标都满足y=-4x+6，即始终落在这条固定直线上。
【答案】
(1) $m=2$，$b=3$
(2) 表格依次填$(2,-2)$、$(\frac{1}{2},4)$；D点坐标为$(-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{3}{2},2t)$
(3) 顶点D始终落在直线$y=-4x+6$上，理由见解析
【知识点】
一次函数图象与性质；矩形的性质；参数消元求解析式
【点评】
本题是一次函数与几何结合的典型题型，既考察了函数图象上点的坐标特征、函数参数求解的基础方法，也考察了矩形性质的应用、动点轨迹的探究思路，需要掌握用参数表示动点坐标、消参得到函数关系的解题方法，对综合运用函数和几何知识的能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6

9. 如图5-4-6,在平面直角坐标系中,直线$ l_1: y=-3x $与直线$ l_2: y=kx+b $交于点$ A(-1, m) $。关于甲、乙两人的说法,下列判断正确的是()。
甲: $ m = 3 $;乙: 关于$ x, y $的方程组$\begin{cases} y=-3x, \\ y=kx+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=-1 \end{cases}$。

A.只有甲的说法对
B.只有乙的说法对
C.甲、乙的说法都对
D.甲、乙的说法都不对

9. A

【分析】
要判断甲乙两人说法的正确性，可分两步思考：第一步判断甲的说法，已知点A在直线$l_1$上，将点A的横坐标代入$l_1$的解析式，就能求出$m$的值，验证甲的结论；第二步判断乙的说法，根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，结合交点A的坐标即可判断乙的结论，最终选出正确选项。
【解析】
1. 验证甲的说法：
已知点$A(-1,m)$在直线$l_1:y=-3x$上，将$x=-1$代入解析式得：
$m=-3×(-1)=3$，因此甲的说法正确。
2. 验证乙的说法：
两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，直线$l_1$与$l_2$的交点为$A(-1,3)$，因此方程组$\begin{cases} y=-3x \\ y=kx+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$，与乙给出的解不符，因此乙的说法错误。
综上，只有甲的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题核心考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题关键是明确两个一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，同时要熟练掌握代入法求一次函数上点的坐标，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

10.【获取新知】
图5-4-6
利用一次函数模型解决三点共线问题的方法:若A,B,C三点均在$y=kx+b$的图象上,则A,B,C三点共线;若A,B,C三点中有一点不在$y=kx+b$的图象上,则A,B,C三点不共线。
例:已知平面上三点$A(2,0),B(0,-4),C(1,-2)$,试判断A,B,C三点是否共线。
解:设直线AB对应的函数表达式为$y=kx+b$,由$A(2,0),B(0,-4)$求得直线AB对应的函数表达式为$y=2x-4$;
将$C(1,-2)$的坐标代入直线AB对应的函数表达式,发现$-2=2×1-4$,等式成立,
所以点C在直线AB上,即A,B,C三点共线。
【感悟新知】
(1)已知平面上三点$A(1,0),B(2,3),C(3,4)$,则A,B,C三点(填“共线”或“不共线”),若不共线,请求出$△ ABC$的面积。
【拓展应用】
(2)在平面直角坐标系中,$A(m,n+2),B(m+4,n),C(0,3)$三点共线,试求出$m,n$的关系式。

10. 解:(1)不共线 设直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$,把 $B(2,3)$,$C(3,4)$ 的坐标分别代入,得$\begin{cases}2k+b=3,\\3k+b=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$所以直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y=x+1$。因为当 $x=1$ 时,$y=x+1=2$,所以点 $A(1,0)$ 不在直线 $y=x+1$ 上,所以 $A,B,C$ 三点不共线。设直线 $BC$ 与 $x$ 轴的交点为点 $D$,如,当 $y=0$ 时,$x+1=0$,解得 $x=-1$,所以 $D(-1,0)$,
所以 $S_{△ ABC}=S_{△ CAD}-S_{△ BAD}=\dfrac{1}{2}×(1+1)×4-\dfrac{1}{2}×(1+1)×3=1$。
(2)设直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y=px+q$,把 $B(m+4,n)$,$C(0,3)$ 的坐标分别代入,得$\begin{cases}(m+4)p+q=n,\\q=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=\dfrac{n-3}{m+4},\\q=3,\end{cases}$所以直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y=\dfrac{n-3}{m+4}x+3$。因为点 $A,B,C$ 共线,所以点 $A(m,n+2)$ 在直线 $BC$ 上,所以 $n+2=\dfrac{n-3}{m+4}m+3$,整理得 $m+2n=2$,即 $m=-2n+2$。

【分析】
(1) 判断三点是否共线时，先利用待定系数法求出过B、C两点的一次函数解析式，再将点A的横坐标代入解析式，对比所得y值与点A的纵坐标是否一致，若不一致则三点不共线。求△ABC的面积时，采用割补法：先找到直线BC与x轴的交点D，将△ABC的面积转化为△CAD与△BAD的面积差计算即可。
(2) 已知三点共线，先设直线BC的函数表达式，将B、C两点坐标代入，用含m、n的式子表示出直线的系数，再把点A的坐标代入直线表达式，整理化简即可得到m和n的关系式。
【解析】
(1) 先判断三点是否共线：
设直线BC对应的函数表达式为$y=kx+b$，把$B(2,3)$，$C(3,4)$的坐标分别代入，得
$\begin{cases}2k+b=3\\3k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，所以直线BC对应的函数表达式为$y=x+1$。
当$x=1$时，$y=x+1=2≠0$，所以点$A(1,0)$不在直线$y=x+1$上，因此A、B、C三点不共线。
再求△ABC的面积：
设直线BC与x轴的交点为点D，，当$y=0$时，$x+1=0$，解得$x=-1$，所以$D(-1,0)$。
$S_{△ ABC}=S_{△ CAD}-S_{△ BAD}=\dfrac{1}{2}×(1+1)×4-\dfrac{1}{2}×(1+1)×3=1$。
(2) 设直线BC对应的函数表达式为$y=px+q$，把$B(m+4,n)$、$C(0,3)$的坐标分别代入，得
$\begin{cases}(m+4)p+q=n\\q=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}p=\dfrac{n-3}{m+4}\\q=3\end{cases}$，所以直线BC对应的函数表达式为$y=\dfrac{n-3}{m+4}x+3$。
因为A、B、C三点共线，所以点$A(m,n+2)$在直线BC上，将A点坐标代入解析式得：
$n+2=\dfrac{n-3}{m+4}· m + 3$
整理得$m+2n=2$，即$m=-2n+2$。
【答案】
(1) 不共线，$△ ABC$的面积为$1$；
(2) $m$与$n$的关系式为$\boldsymbol{m=-2n+2}$（或$m+2n=2$）。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、三点共线的判定、坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题围绕一次函数的应用展开，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也考查了数形结合思想的运用，需要学生熟练掌握一次函数与方程的关联，能灵活运用割补法求解图形面积，同时具备一定的含参数代数式的运算能力。
【难度系数】
0.65